1、 3.2整式的乘法【知识点1 整式的乘法】单项式单项式：系数相乘，字母相乘单项式多项式：乘法分配律多项式多项式：乘法分配律【题型1 整式乘法中的求值问题】【例1】（2021开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（）A37B13C20D36【变式1-1】（2021春潍坊期末）若（x+a）（x5）x2+bx10，则aba+b的值是（）A11B7C6D55【变式1-2】（2020秋播州区期末）若x+y2，xy1，则（12x）（12y）的值是 【变式1-3】（2021春江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2
2、+8x24；乙错把a看成了a，得到结果：2x2+14x+20（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果【题型2 整式乘法中的不含某项问题】【例2】（2021春蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项（1）分别求m，n的值（2）求m2020n2021的值【变式2-1】（2021春通川区校级月考）若多项式x2+mx8和x23x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值【变式2-2】（2021春金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x23x+4）展开式中不含x3和x2项（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1
3、）小题的值时，求（m+n）（m2mn+n2）的值【变式2-3】（2021春太湖县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式axy+6+3x5y1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式（a+3）x6y+5，所以a+30，则a3【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x3）m+2m23x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A（2x+1）（x1）x（13y），Bx2+xy1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照
4、图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系【题型3 整式乘法的计算】【例3】（2020秋河北区期末）计算：（1）-12x2y(13x3y2-34x2y+16)（2）（x1）（2x+1）2（x5）（x+2）【变式3-1】（2021春九龙坡区校级期中）计算：（1）2x2y（x-12y+1）；（2）（x2y）（yx）【变式3-2】（2021春海陵区校级月考）计算：（1）3x2（2x4y）+2x（x2xy）（2）（3x+2y）（2x3y）3x（3x2y）【
5、变式3-3】（2021春未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（xa）（4x+3）2x，由于小奇将第一个多项式中的“a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9（1）求a的值（2）请计算出这道题的正确结果【题型4 整式乘法的应用】【例4】（2021春铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果已知A，B两区初始显示的分别是25和16（如图所示）例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25a，16+3a（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 （2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a
6、2时，代数式乘积的值【变式4-1】（2021春碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3ab）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（ab）米，小路的宽均为2米活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；（2）当a10，b4时，需要铺设草坪的面积是多少？【变式4-2】（2021春成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多
7、少元？（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）【变式4-3】（2021春莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等求该正方形的边长（用含m的代数式表示）若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由【知识点2 整式的除法】单项式单项式：系数相除，
8、字母相除多项式单项式：除法性质多项式多项式：大除法【题型5 整式除法的应用】【例5】（2021春上城区期末）一个长方形的面积是15x3y510x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（）A2y33xy2+4B3y32xy2+4C3y3+2xy2+4D2xy23y3+4【变式5-1】（2020台湾）计算2x23除以x+1后，得商式和余式分别为何？（）A商式为2，余式为5B商式为2x5，余式为5C商式为2x+2，余式为1D商式为2x2，余式为1【变式5-2】（2020秋袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a24ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为 【变式5-3
9、】（2021春潍坊期末）若多项式A除以2x23，得到的商式为3x4，余式为5x+2，则A 【题型6 整式乘法中的规律探究】【例6】（2020秋邹城市期末）观察下列各式（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1）（x3+x2+x+1）x41（1）分解因式：x51 ；（2）根据规律可得（x1）（xn1+x+1） （其中n为正整数）；（3）计算：（31）（350+349+348+32+3+1）【变式6-1】（2021春包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m1）（m+1） ，（m1）（m2+m+1） （2）化简：（m1）（m3+m2+m+1），写出化简过程（3）化简：（m1
10、）（mn+mn1+mn2+1） （n为正整数，mn+mn1+mn2+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+3100的值【变式6-2】（2021春合肥期中）观察以下等式：（x+1）（x2x+1）x3+1（x+3）（x23x+9）x3+27（x+6）（x26x+36）x3+216（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2xy+y2）（xy）（x2+xy+y2）【变式6-3】（2020秋石狮市校级月考）探究应用：（1）计算：（x1）（x2+x+1） ；（2xy）（4
11、x2+2xy+y2） （2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为： （3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 A（m+2）（m2+2m+4）B（m2n）（m2+2mn+2n2）C（3n）（9+3n+n2）D（mn）（m2+2mn+n2）（4）设A1091，利用上述规律，说明A能被37整除 3.2整式的乘法【知识点1 整式的乘法】单项式单项式：系数相乘，字母相乘单项式多项式：乘法分配律多项式多项式：乘法分配律【题型1 整式乘法中的求值问题】【例1】（2021开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能
12、是（）A37B13C20D36【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可【解答】解：（x+p）（x+q）x2+（p+q）x+pq，（x+p）（x+q）x2+mx+36，p+qm，pq36，3649，则p+q13，36136，则p+q37，36218，则p+q20，36312，则p+q15，3666，则p+q12，p+q不可能为36，即m不可能为36故选：D【变式1-1】（2021春潍坊期末）若（x+a）（x5）x2+bx10，则aba+b的值是（）A11B7C6D55【分析】先利用多项式乘多项式法则计算等式的左边，根据等式得到a、b的值，代入计算出代数式ab
13、a+b的值【解答】解：（x+a）（x5）x2+（a5）x5a，又（x+a）（x5）x2+bx10，x2+（a5）x5ax2+bx10a5b，5a10a2，b3aba+b2（3）2311故选：A【变式1-2】（2020秋播州区期末）若x+y2，xy1，则（12x）（12y）的值是 【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，整理后整体带入求值即可【解答】解：（12x）（12y）12y2x+4xy12（x+y）+4xy，当x+y2，xy1时原式122+4（1）7故答案为：7【变式1-3】（2021春江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x24；乙错把a看成
14、了a，得到结果：2x2+14x+20（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果【分析】（1）根据题意得出（2x+a）（x+6）2x2+（12+a）x+6a2x2+8x24，（2xa）（x+b）2x2+（a+2b）xab2x2+14x+20，得出12+a8，a+2b14，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可【解答】解：（1）甲错把b看成了6，（2x+a）（x+6）2x2+12x+ax+6a2x2+（12+a）x+6a2x2+8x24，12+a8，解得：a4；乙错把a看成了a，（2xa）（x+b）2x2+2bxaxab2x2
15、+（a+2b）xab2x2+14x+20，2ba14，把a4代入，得b5；（2）当a4，b5时，（2x+a）（x+b）（2x4）（x+5）2x2+10x4x202x2+6x20【题型2 整式乘法中的不含某项问题】【例2】（2021春蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项（1）分别求m，n的值（2）求m2020n2021的值【分析】（1）先展开整理原式，再根据题意建立关于m、n的等式，分别求解即可得出结论（2）同底数幂乘法的逆运算，使n2021变为n2020n，再利用积的乘方逆运算即可求出原式的值【解答】解：（1）原式2mx2+mx4x2+x2+
16、n，（2m+1）x2+mx4x+n2，由题意 2m+10，n20，m=-12，n2（2）原式m2020n2020n，（mn）2020n，由（1）得m=-12，n2，原式（-122）20202，2【变式2-1】（2021春通川区校级月考）若多项式x2+mx8和x23x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值【分析】利用多项式的乘法法则将两个多项式的乘积展开，令x2项和x3项的系数为0，结论可得【解答】解：由题意：（x2+mx8）（x23x+n）x43x3+nx2+mx33mx2+mnx8x2+24x8nx4+（m3）x3+（n3m8）x2+（mn+24）x8n乘积中不含x2和x3的项，m3
17、0，n3m80m3，n17m+n20【变式2-2】（2021春金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x23x+4）展开式中不含x3和x2项（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2mn+n2）的值【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；（2）先利用多项式乘以多项式的法则将（m+n）（m2mn+n2）展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x23x+4）x53x4+（m+4）x3+（n3m）x2+
18、（4m3n）x+4n，根据展开式中不含x2和x3项得：m+4=0n-3m=0，解得：m=-4n=-12即m4，n12；（2）（m+n）（m2mn+n2）m3m2n+mn2+m2nmn2+n3m3+n3，当m4，n12时，原式（4）3+（12）36417281792【变式2-3】（2021春太湖县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式axy+6+3x5y1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式（a+3）x6y+5，所以a+30，则a3【理解应用】（1）若关于x的
19、多项式（2x3）m+2m23x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A（2x+1）（x1）x（13y），Bx2+xy1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m3）x3m+2m2，令x系数为0，即可求出m；（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x
20、（5y2）9，根据其值与x无关得出5y20，即可得出答案；（3）设ABx，由图可知S1a（x3b），S22b（x2a），即可得到S1S2关于x的代数式，根据取值与x可得a2b【解答】解：（1）（2x3）m+2m23x2mx3m+2m23x（2m3）x+2m23m，其值与x的取值无关，2m30，解得，m=32，答：当m=32时，多项式（2x3）m+2m23x的值与x的取值无关；（2）A（2x+1）（x1）x（13y），Bx2+xy1，3A+6B3（2x+1）（x1）x（13y）+6（x2+xy1）3（2x22x+x1x+3xy6x2+6xy66x26x+3x33x+9xy6x2+6xy615xy
21、6x93x（5y2）9，3A+6B的值与x无关，5y20，即y=25；（3）设ABx，由图可知S1a（x3b），S22b（x2a），S1S2a（x3b）2b（x2a）（a2b）x+ab，当AB的长变化时，S1S2的值始终保持不变S1S2取值与x无关，a2b0a2b【题型3 整式乘法的计算】【例3】（2020秋河北区期末）计算：（1）-12x2y(13x3y2-34x2y+16)（2）（x1）（2x+1）2（x5）（x+2）【分析】（1）根据单项式与多项式相乘的法则计算即可；（2）根据多项式与多项式相乘的法则计算即可【解答】解：（1）-12x2y(13x3y2-34x2y+16)=-12x2y1
22、3x3y2+12x2y34x2y-12x2y16 4x5y3+9x4y22x2y；（2）（x1）（2x+1）2（x5）（x+2）2x2+x2x12（x2+2x5x10）2x2x12x2+6x+205x+19【变式3-1】（2021春九龙坡区校级期中）计算：（1）2x2y（x-12y+1）；（2）（x2y）（yx）【分析】（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（2）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加【解答】解：（1）原式2x3yx2y2+2x2y；（2）原式xyx22y2+2xy3
23、xyx22y2【变式3-2】（2021春海陵区校级月考）计算：（1）3x2（2x4y）+2x（x2xy）（2）（3x+2y）（2x3y）3x（3x2y）【分析】（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可【解答】解：（1）原式6x3+12x2y+2x32x2y4x3+10x2y；（2）原式6x29xy+4xy6y29x2+6xy3x2+xy6y2【变式3-3】（2021春未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（xa）（4x+3）2x，由于小奇将第一个多项式中的“a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9（1）求a的值（2
24、）请计算出这道题的正确结果【分析】（1）根据题意列出关系式，根据多项式相等的条件即可求出a的值；（2）列出正确的算式，计算即可得到结果【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（4x+3）2x4x2+（3+4a2）x+3a4x2+13x+9；1+4a13，解得：a3；（2）正确的算式为（x3）（4x+3）2x4x29x92x4x211x9【题型4 整式乘法的应用】【例4】（2021春铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果已知A，B两区初始显示的分别是25和16（如图所示）例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25a，16
25、+3a（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 （2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a2时，代数式乘积的值【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）利用多项式乘多项式法则进行计算，然后将a2代入求值【解答】解：（1）A区显示的结果为：25aa2a+25；B区显示的结果为：16+3a+3a6a16；（2）（2a+25）（6a16）12a2+32a+150a40012a2+182a400，当a2时，原式1222+182240084【变式4-1】（2021春碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3ab）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD
26、长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（ab）米，小路的宽均为2米活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；（2）当a10，b4时，需要铺设草坪的面积是多少？【分析】（1）用大长方形的面积减去小正方形的面积和四个长方形的面积即可；（2）将a10，b4代入（1）中结果计算可得答案【解答】解：（1）草坪的面积为：（3ab）（a+2b）（ab）23ab（ab）2a+2b（ab）23a2+5ab2b2a2b2+2ab2a23b22a2+7ab3b24a6b（平方米）；（2）当a10，b4时，草坪的面积为：2
27、102+710434241064368（平方米）【变式4-2】（2021春成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每平方米地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可；（2）求出客
28、厅与卧室的面积，乘以高h，即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可【解答】解：（1）由题意知，两个卧室以外的部分面积为：3yy+2y（3xxy）3y2+4xy2y2y2+4xy（平方米）购买地砖所需的费用为：（y2+4xy）aay2+4axy（元）（2）客厅贴墙纸的面积为：（2y+6y）h8yh，两个卧室贴墙纸的面积为：（4x+6y）h4xh+6yh，贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh14yh+4xh（平方米），购买墙纸所需的费用为：（14yh+4xh）b14yhb+4xhb（元）【变式4-3】（2021春莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所
29、示，面积分别为S1，S2（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等求该正方形的边长（用含m的代数式表示）若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由【分析】（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；（2）根据正方形和长方形的周长公式计算求解；根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解【解答】解：（1）由题意：S1（m+2）（m+6）m2+6m+2m+12m2+8m+12，S2（m+5）（m+3）m2+5m+3m+15m2+8m+
30、15，S1S2（m2+8m+12）（m2+8m+15）m2+8m+12m28m1530，S1S2，故答案为：，（2）甲的周长为2（m+2+m+6）4m+16，正方形的周长与甲的周长相等，正方形的边长为4m+164=m+4，由可得，正方形的面积S3（m+4）2，S3S2（m+4）2（m2+8m+15）m2+8m+16m28m151，S3与S2的差（即S3S2）是常数，这个常数是1【知识点2 整式的除法】单项式单项式：系数相除，字母相除多项式单项式：除法性质多项式多项式：大除法【题型5 整式除法的应用】【例5】（2021春上城区期末）一个长方形的面积是15x3y510x4y4+20x3y2，一边长
31、是5x3y2，则它的另一边长是（）A2y33xy2+4B3y32xy2+4C3y3+2xy2+4D2xy23y3+4【分析】利用长方形的面积公式，列出相应的式子，结合整式的除法法则进行运算即可【解答】解：（15x3y510x4y4+20x3y2）（5x3y2）15x3y5（5x3y2）10x4y4（5x3y2）+20x3y2（5x3y2）3y32xy2+4故选：B【变式5-1】（2020台湾）计算2x23除以x+1后，得商式和余式分别为何？（）A商式为2，余式为5B商式为2x5，余式为5C商式为2x+2，余式为1D商式为2x2，余式为1【分析】先将被除式2x23补0，再列竖式计算即可【解答】解
32、：被除式2x23缺项，补0后变为2x2+0x3，长除法计算为：故选：D【变式5-2】（2020秋袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a24ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为 【分析】直接利用整式的除法运算法则分别计算得出答案【解答】解：一个长方形的面积是6a24ab+2a，且它的一条边长为2a，长方形的另一边长为：（6a24ab+2a）2a3a2b+1，故长方形的周长为：2（3a2b+1+2a）10a4b+2故答案为：10a4b+2【变式5-3】（2021春潍坊期末）若多项式A除以2x23，得到的商式为3x4，余式为5x+2，则A 【分析】根据题意列出关系式，计算即可得到结
33、果【解答】解：多项式A除以2x23，得到的商为3x4，余式为5x+2，A（2x23）（3x4）+5x+26x38x29x+12+5x+26x38x24x+14故答案为：6x38x24x+14【题型6 整式乘法中的规律探究】【例6】（2020秋邹城市期末）观察下列各式（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1）（x3+x2+x+1）x41（1）分解因式：x51 ；（2）根据规律可得（x1）（xn1+x+1） （其中n为正整数）；（3）计算：（31）（350+349+348+32+3+1）【分析】（1）观察各式，得到因式结果即可；（2）利用得出的规律计算即可；（3）利用得出的规律
34、计算即可得到结果【解答】解：（1）原式（x1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）（x1）（xn1+x+1）xn1；（3）原式3511故答案为：（1）（x1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）xn1【变式6-1】（2021春包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m1）（m+1） ，（m1）（m2+m+1） （2）化简：（m1）（m3+m2+m+1），写出化简过程（3）化简：（m1）（mn+mn1+mn2+1） （n为正整数，mn+mn1+mn2+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+3100的值【分析】（1）（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（
35、3）根据（1）（2）得出的规律可直接得出答案；（4）根据（3）的出的规律可直接代数进行计算即可【解答】解：（1）（m1）（m+1）m21；（m1）（m2+m+1）m31；故答案为：m21；m31；（2）（m1）（m3+m2+m+1）m4+m3+m2+mm3m2m1m41；（3）（m1）（mn1+mn2+m2+m+1）mn+11；故答案为：mn+11；（4）根据（3）得出的规律可得：1+3+32+33+3100=3101-13-1，=3101-12【变式6-2】（2021春合肥期中）观察以下等式：（x+1）（x2x+1）x3+1（x+3）（x23x+9）x3+27（x+6）（x26x+36）x3
36、+216（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2xy+y2）（xy）（x2+xy+y2）【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2ab+b2）a3+b3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可【解答】解：（1）（a+b）（a2ab+b2）a3+b3；故答案为：a2ab+b2；（2）（a+b）（a2ab+b2）a3a2b+
37、ab2+a2bab2+b3a3+b3；（3）（x+y）（x2xy+y2）（xy）（x2+xy+y2）x3+y3（x3y3）2y3【变式6-3】（2020秋石狮市校级月考）探究应用：（1）计算：（x1）（x2+x+1） ；（2xy）（4x2+2xy+y2） （2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为： （3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 A（m+2）（m2+2m+4）B（m2n）（m2+2mn+2n2）C（3n）（9+3n+n2）D（mn）（m2+2mn+n2）（4）设A1091，利用上述规律，说明A能被37整除【分析】（1）用多项式乘以多
38、项式的法则计算即可；（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；（3）判断各选项是否符合公式的特点；（4）公式的逆用，求得A中有37的因数即可【解答】解：（1）（x1）（x2+x+1）x3+x2+xx2x1x31；（2xy）（4x2+2xy+y2）8x3+4x2y+2xy24x2y2xy2y38x3y3；故答案为：x31；8x3y3；（2）从第（1）问发现的规律是：（ab）（a2+ab+b2）a3b3，故答案为：（ab）（a2+ab+b2）a3b3；（3）A第一个多项式不是减法，不符合题意；B最后一项应该是4n2，不符合题意；C符合题意；D第二个多项式的第二项应该为mn，不符合题意故选：C（4）A1091（103）31（1031）（106+103+12）9991001001333371001001，A能被37整除