1、 3.4乘法公式【知识点1 乘法公式】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。【题型1 乘法公式的基本运算】【例1】（2021锦江区校级开学）下列运算正确的是（）A（x+y）（y+x）x2y2B（x+y）2x2+2xy+y2C（xy）2x22xyy2D（x+y）（yx）x2y2【变式1-1】（2021春龙岗区校级期中）下列关系式中，正
2、确的是（）A（ab）2a2b2B（a+b）（ab）a2b2C（a+b）2a2+b2D（ab）2a2+2ab+b2【变式1-2】（2021春舞钢市期末）下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（）A（m+1）（1+m）B（2a+3b5c）（2a3b5c）C20212019D（x3y）（3yx）【变式1-3】（2021春龙岗区校级月考）下列各式，能用平方差公式计算的是（）A（2a+b）（2ba）B（a2b）（a+2b）C（2a3b）（2a+3b）D（13a+1）（-13a-1）【题型2 完全平方公式（求系数的值）】【例2】（2021春仪征市期中）若多项式4x2mx+9是完全平方式，则m的值是（）A
3、6B12C12D6【变式2-1】（2021春南山区校级期中）如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（）A4B16C4D16【变式2-2】（2021春新城区校级期末）已知：（xmy）2x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为 【变式2-3】（2021春邗江区期中）若x22（m1）x+4是一个完全平方式，则m 【题型3 完全平方公式的几何背景】【例3】（2021春兴宾区期末）有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（）A13B19C11D21【变式3-1】（
4、2021春芝罘区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（）A4a（a+b）4a2+4abB（a+b）（ab）a2b2C（a+b）2a2+2ab+b2D（a+b）2（ab）24ab【变式3-2】（2021春岚山区期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（）A3B6C12D18【变式3-3】（2021春深圳期中）有两个正方形A，B现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和1
5、2，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（）A28B29C30D31【题型4 平方差公式的几何背景】【例4】（2021庐江县开学）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（ba）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（）Aa2+b2（a+b）（ab）B（ab）2a22ab+b2C（a+b）2a2+2ab+b2Da2b2（a+b）（ab）【变式4-1】（2021春博山区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）这两
6、个图能解释下列哪个等式（）A（x1）2x22x+1B（x+1）（x1）x21C（x+1）2x2+2x+1Dx（x1）x2x【变式4-2】（2021春洪江市期末）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（）A（a2b）2a24ab+b2B（a+2b）2a2+4ab+b2C（a2b）（a+2b）a24b2D（a+b）2a2+2ab+b2【变式4-3】（2020春阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个
7、含字母a，b的等式 【题型5 乘法公式（求代数式的值）】【例5（2021春邗江区校级期末）若xy1，且xy3（1）求（x2）（y+2）的值；（2）求x2xy+y2的值【变式5-1】（2021宁波模拟）已知（2x+y）258，（2xy）218，则xy 【变式5-2】（2021春驿城区期末）已知ab9，ab14，则a2+b2的值为 【变式5-3】（2021春聊城期末）已知：ab6，a2+b220，求下列代数式的值：（1）ab；（2）a3b2a2b2ab3【题型6 乘法公式的综合运算】【例6】（2020秋东湖区期末）实践与探索如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成
8、一个长方形（如图2所示）（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）Aa2b2（a+b）（ab）Ba22ab+b2（ab）2Ca2+aba（a+b）（2）请应用这个公式完成下列各题：已知4a2b224，2a+b6，则2ab 计算：1002992+982972+4232+2212【变式6-1】（2021滦南县二模）【阅读理解】我们知道：（a+b）2a2+2ab+b2，（ab）2a22ab+b2，得：（a+b）2（ab）24ab，所以ab=(a+b)24-(a-b)24=(a+b2)2-(a-b2)2利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算例：5149=(51+492)2-(51-492)
9、2=502-12=250012499【发现运用】根据阅读解答问题（1）填空：10298（102+982）2（102-982）2；（2）请运用你发现的规律计算：19.220.8【变式6-2】（2021春平顶山期末）我们将（a+b）2a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2（a+b）22ab，ab=(a+b)2-(a2+b2)2等根据以上变形解决下列问题：（1）已知a2+b28，（a+b）248，则ab （2）已知，若x满足（25x）（x10）15，求（25x）2+（x10）2的值（3）如图，四边形ABED是梯形，DAAB，EBAB，ADAC，BEBC，连接CD，CE，若ACBC10，则图中阴影
10、部分的面积为 【变式6-3】（2021春滨江区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1： ；方法2： ；（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知：a+b5，（ab）213，求ab的值；已知（2021a）2+（a2020）25，求（2021a）（a2020）的值 3.4乘法公式【知识点1
11、乘法公式】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。【题型1 乘法公式的基本运算】【例1】（2021锦江区校级开学）下列运算正确的是（）A（x+y）（y+x）x2y2B（x+y）2x2+2xy+y2C（xy）2x22xyy2D（x+y）（yx）x2y2【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可【解答】解：A、结果是x2y2，原计算
12、正确，故本选项符合题意；B、结果是x22xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；C、结果是x2+2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；D、结果是y2x2，原计算错误，故本选项不符合题意；故选：A【变式1-1】（2021春龙岗区校级期中）下列关系式中，正确的是（）A（ab）2a2b2B（a+b）（ab）a2b2C（a+b）2a2+b2D（ab）2a2+2ab+b2【分析】根据完全平方公式判断即可【解答】解：A选项，原式a22ab+b2，故该选项计算错误；B选项，原式（a+b）2a22abb2，故该选项计算错误；C选项，原式a2+2ab+b2，故该选项计算错误；D选项，原式（a+b）2
13、（a+b）2a2+2ab+b2，故该选项计算正确；故选：D【变式1-2】（2021春舞钢市期末）下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（）A（m+1）（1+m）B（2a+3b5c）（2a3b5c）C20212019D（x3y）（3yx）【分析】平方差公式，要求有一项完全相同，另一项互为相反项根据公式的结构特点解答即可【解答】解：不能用平方差公式计算的是（x3y）（3yx）（x3y）（x3y）（x3y）2，故选：D【变式1-3】（2021春龙岗区校级月考）下列各式，能用平方差公式计算的是（）A（2a+b）（2ba）B（a2b）（a+2b）C（2a3b）（2a+3b）D（13a+1）（-13a-
14、1）【分析】只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；【解答】解：A既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B原式（2b+a）（2ba），符合平方差公式，故本选项符合题意；C原式（2a3b）（2a3b），只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；D原式（13a+1）（13a+1）只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B【题型2 完全平方公式（求系数的值）】【例2】（2021春仪征市期中）若多项式4x2mx+9是完全平方式，则m的值是（）A6B12C12D6【分析】根据完全平方公式得到4x2m
15、x+9（2x3）2或4x2mx+9（2x+3）2，即4x2mx+9x212x+9或4x2mx+9x2+12x+9，从而得到m的值【解答】解：多项式4x2mx+9是一个完全平方式，4x2mx+9（2x3）2或4x2mx+9（2x+3）2，即4x2mx+9x212x+9或4x2mx+9x2+12x+9，m12或m12，故选：C【变式2-1】（2021春南山区校级期中）如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（）A4B16C4D16【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值【解答】解：x2+8x+m2是一个完全平方式，m216，解得：m4故选：C【变式2-2】（2021春新城区校
16、级期末）已知：（xmy）2x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为 4【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值【解答】解：（xmy）2x2+kxy+4y2x2+kxy+（2y）2（m、k为常数），m2，（x2y）2x24xy+4y2x2+kxy+4y2，k4故答案为：4【变式2-3】（2021春邗江区期中）若x22（m1）x+4是一个完全平方式，则m3或1【分析】根据完全平方公式得出2（m1）x2x2，求出m即可【解答】解：x22（m1）x+4是一个完全平方式，2（m1）x2x2，解得：m3或1故答案为：3或1【题型3 完全平方公式的几何背景】【例3】（2021春兴宾
17、区期末）有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（）A13B19C11D21【分析】设A，B两个正方形的边长各为a、b，则由题意得（ab）23，（a+b）2（a2+b2）2ab16，所以正方形A，B的面积之和为a2+b2（ab）2+2ab，代入即可计算出结果【解答】解：设A，B两个正方形的边长各为a、b，则图甲得（ab）2a22ab+b23，由图乙得（a+b）2（a2+b2）（a2+2ab+b2）（a2+b2）2ab16，正方形A，B的面积之和为，a2+b2（a22ab+b2）
18、+2ab（ab）2+2ab3+1619，故选：B【变式3-1】（2021春芝罘区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（）A4a（a+b）4a2+4abB（a+b）（ab）a2b2C（a+b）2a2+2ab+b2D（a+b）2（ab）24ab【分析】由观察图形可得阴影部分的面积为4ab，也可以表示为（a+b）2（ab）2，可得结果【解答】解：图形中大正方形的面积为（a+b）2，中间空白正方形的面积为（ab）2，图中阴影部分的面积为（a+b）2（ab）2，又图中阴影部分的面积还可表示为4ab，（a+b）2（ab）24ab
19、，故选：D【变式3-2】（2021春岚山区期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（）A3B6C12D18【分析】设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a3b，则（ab）4b16，解得b2即可就得最后结果【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a3b，则（ab）（3bb）（2b）4b416，解得b2或b2（不合题意，舍去），每个小长方形的面积为，ab3bb3212，故选：C【变式3-3】（2021春深圳期中）有两个正方形A，B现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙若图
20、甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（）A28B29C30D31【分析】设正方形A，B的边长各为a、b（ab），得图甲中阴影部分的面积为（ab）2a2ab+b1，可解得ab1，图乙中阴影部分的面积为（a+b）2（a2+b2）2ab12，可得（a+b）（ab）+4ab1+21225，可得a+b5，所以图丙中阴影部分的面积为（2a+b）（3a+2b）a+4abb（a+b）（ab）+4ab，代入就可计算出结果【解答】解：设正方形A，B的边长各为a、b（ab），得图甲中阴影部分的面积为（ab）2a2ab+b1，解得ab1或ab1（舍去），
21、图乙中阴影部分的面积为（a+b）2（a2+b2）2ab12，可得（a+b）a+2ab+ba2ab+b+4ab（ab）+4ab1+21225，解得a+b5或a+b5（舍去），图丙中阴影部分的面积为（2a+b）（3a+2b）a+4abb（a+b）（ab）+22ab51+2125+2429，故选：B【题型4 平方差公式的几何背景】【例4】（2021庐江县开学）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（ba）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（）Aa2+b2（a+b）（ab）B（ab）2a22ab+b2C（a+b）2a2+2ab+b2Da2b2（a
22、+b）（ab）【分析】分别表示图1、图2中阴影部分的面积，根据两者面积相等，即可得出结论【解答】解：图1中的阴影部分面积为：a2b2，图2中阴影部分面积为：12（2b+2a）（ab），a2b2=12（2b+2a）（ab），即a2b2（a+b）（ab），故选：D【变式4-1】（2021春博山区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）这两个图能解释下列哪个等式（）A（x1）2x22x+1B（x+1）（x1）x21C（x+1）2x2+2x+1Dx（x1）x2x【分析】用代数式分别表示出图1
23、和图2中白色部分的面积，由此得出等量关系即可【解答】解：图1的面积为：（x+1）（x1），图2中白色部分的面积为：x21，（x+1）（x1）x21，故选：B【变式4-2】（2021春洪江市期末）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（）A（a2b）2a24ab+b2B（a+2b）2a2+4ab+b2C（a2b）（a+2b）a24b2D（a+b）2a2+2ab+b2【分析】利用大正方形面积减去4个小正方形面积即可得出图（1）中阴影部分的面积；根据矩形的面积公式可得图（2）的面积，据此可得结果
24、【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a24b2；图（2）中长方形的长是a+2b，宽是a2b，面积是（a+2b）（a2b）a24b2，（a2b）（a+2b）a24b2故选：C【变式4-3】（2020春阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式a2b2（a+b）（ab）【分析】分别表示出两个图形的面积，再根据面积相等得出等式即可【解答】解：图1面积为a2b2，图2的面积为（a+b）（ab），因此有：a2b2（a+b）（ab），故答案为：a2b2（a+b）（ab）【题型5 乘法公式（求
25、代数式的值）】【例5（2021春邗江区校级期末）若xy1，且xy3（1）求（x2）（y+2）的值；（2）求x2xy+y2的值【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，将各自的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）xy1，xy3，（x2）（y+2）xy+2（xy）41+641；（2）xy1，xy3，x2xy+y2（xy）2+xy9+（1）8【变式5-1】（2021宁波模拟）已知（2x+y）258，（2xy）218，则xy5【分析】由（2x+y）2（2xy）242xy进行解答【解答】解：（2x+y）258，（2xy）218，（2x
26、+y）2（2xy）242xy，58188xy，xy5故答案是：5【变式5-2】（2021春驿城区期末）已知ab9，ab14，则a2+b2的值为 53【分析】运用完全平方公式（ab）2a2+b22ab可解决此题【解答】解：ab9，ab14，（ab）2a2+b22aba2+b22（14）81a2+b281+（28）53故答案为53【变式5-3】（2021春聊城期末）已知：ab6，a2+b220，求下列代数式的值：（1）ab；（2）a3b2a2b2ab3【分析】（1）把ab6两边平方，展开，即可求出ab的值；（2）先分解因式，再整体代入求出即可【解答】解：（1）ab6，a2+b220，（ab）236
27、，a22ab+b236，2ab362016，ab8；（2）a2+b220，ab8，a3b2a2b2ab3ab（a2+2ab+b2）（8）（2016）32【题型6 乘法公式的综合运算】【例6】（2020秋东湖区期末）实践与探索如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）上述操作能验证的等式是 A；（请选择正确的一个）Aa2b2（a+b）（ab）Ba22ab+b2（ab）2Ca2+aba（a+b）（2）请应用这个公式完成下列各题：已知4a2b224，2a+b6，则2ab4计算：1002992+982972+4232+2212【分析】（1）
28、分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；（2）利用平方差公式将4a2b2（2a+b）（2ab），再代入计算即可；利用平方差公式将原式转化为1+2+3+99+100即可【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2b2，图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（ab）的长方形，因此面积为（a+b）（ab），所以有a2b2（a+b）（ab），故答案为：A；（2）4a2b224，（2a+b）（2ab）24，又2a+b6，6（2ab）24，即2ab4，故答案为：4；1002992（100+99）（10099）100+99，982972（98+97）（9897）98+97，22
29、12（2+1）（21）2+1，原式100+99+98+97+4+3+2+15050【变式6-1】（2021滦南县二模）【阅读理解】我们知道：（a+b）2a2+2ab+b2，（ab）2a22ab+b2，得：（a+b）2（ab）24ab，所以ab=(a+b)24-(a-b)24=(a+b2)2-(a-b2)2利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算例：5149=(51+492)2-(51-492)2=502-12=250012499【发现运用】根据阅读解答问题（1）填空：10298（102+982）2（102-982）2；（2）请运用你发现的规律计算：19.220.8【分析】（1）根据规律解答即可
30、；（2）根据规律计算19.220.8即可【解答】解：（1）10298=(102+982)2-(102-982)2；故答案为：（102+982），（102-982）；（2）19.220.8=(19.2+20.82)2-(19.2-20.82)2=2020.824000.64399.36【变式6-2】（2021春平顶山期末）我们将（a+b）2a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2（a+b）22ab，ab=(a+b)2-(a2+b2)2等根据以上变形解决下列问题：（1）已知a2+b28，（a+b）248，则ab20（2）已知，若x满足（25x）（x10）15，求（25x）2+（x10）2的值（3
31、）如图，四边形ABED是梯形，DAAB，EBAB，ADAC，BEBC，连接CD，CE，若ACBC10，则图中阴影部分的面积为 10【分析】（1）将a2+b28，（a+b）248代入题干中的推导公式就可求得结果；（2）设25xa，x10b，则（25x）2+（x10）2a2+b2（a+b）22ab，再代入计算即可；（3）设ADACa，BEBCb，则图中阴影部分的面积为12（a+b）（a+b）-12a-12b=12（a+b）（a+b）=122abab10【解答】（1）a2+b28，（a+b）248，ab=(a+b)2-(a2+b2)2=48-82=20，（2）设25xa，x10b，由（a+b）2a2
32、+2ab+b2进行变形得，a2+b2（a+b）22ab，（25x）2+（x10）2（25x）+（x10）2（25x）（x10）152（15）225+30255，（3）设ADACa，BEBCb，则图中阴影部分的面积为12（a+b）（a+b）-12（a+b）=12（a+b）（a+b）=122abab10【变式6-3】（2021春滨江区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：（a
33、+b）2；方法2：a2+b2+2ab；（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 （a+b）2a2+b2+2ab；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知：a+b5，（ab）213，求ab的值；已知（2021a）2+（a2020）25，求（2021a）（a2020）的值【分析】（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；（2）由（1）直接可得关系式；（3）由（ab）2a2+b22ab13，（a+b）2a2+b2+2ab25，两式子直接作差即可求
34、解；设2021ax，a2020y，可得x+y1，再由已知可得x2+y25，先求出xy2，再求（2021a）（a2020）2即可【解答】解：（1）方法一：大正方形的边长为（a+b），S（a+b）2；方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，Sb2+ab+ab+a2a2+b2+2ab；故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由（1）可得（a+b）2a2+b2+2ab；故答案为：（a+b）2a2+b2+2ab；（3）（ab）2a2+b22ab13，（a+b）2a2+b2+2ab25，由得，4ab12，解得：ab3；设2021ax，a2020y，x+y1，（2021a）2+（a2020）25，x2+y25，（x+y）2x2+2xy+y21，2xy1（x2+y2）154，解得：xy2，（2021a）（a2020）2