1、第1章平行线【考点1 三线八角的判断】【例1】如图，同位角共有（）对A6B5C8D7【变式1-1】如图，图中的内错角有（）对A5B7C8D10【变式1-2】如图所示，若平面上4条两两相交，且无三线共点的4条直线，则共有同旁内角的对数为（）A12对B15对C24对D32对【变式1-3】如图，“4”字图中有a对同位角，b对内错角，c对同旁内角，则abc 【考点2 填写推理过程】【例2】（2021秋东坡区期末）如图，ABCD，点E在线段CD上，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F，连接BD，12，34求证：AFBC证明：理由如下：ABCD，4 （ ）34，（已知）3 （等量代换）12，（ ）1+
2、2+ （等式性质）即 （等式性质）3 （等量代换）AFBC（ ）【变式2-1】（2021秋洛江区期末）如图，已知ADBC于点D，EFBC于点F，3C试说明：12（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）解：3C，GDAC （ ），24 （ ）ADBC，EFBC，ADEF （ ），4 12 （ ）【变式2-2】（2021春普陀区校级月考）如图，点G在CD上，已知BAG+AGD180，EA平分BAG，FG平分AGC，请说明AEGF的理由解：因为BAG+AGD180（ ），AGC+AGD180（ ），所以BAGAGC（ ）因为EA平分BAG，所以1=12 （ ）因为FG平分AGC，所以2=12 ，
3、得12（ ），所以AEGF（ ）【变式2-3】（2021秋泉州期末）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）如图，已知：CD平分ACB，ACDE，CDEF，那么EF平分DEB吗？解：CD平分ACB（已知），12（ ），ACDE（已知），1 ，23（等量代换），CDEF（已知），43（ ），25（ ），45（等量代换）EF平分DEB【考点3 平行线的判定与性质综合证明题】【例3】（2021春镇江期中）已知：如图所示，BAC和ACD的平分线交于E，AE交CD于点F，1+290（1）求证：ABCD；（2）试探究2与3的数量关系，并说明理由【变式3-1】（2021秋建宁县期末）如图，一条直线分别与直线
4、BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A，G，H，D，且12，BC求证：（1）BFEC；（2）AD【变式3-2】（2021秋九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，EEMA，BQMBMQ（1）求证：EFBC；（2）若FPAC，2+C90，求证：1B；（3）若3+4180，BAF3F20，求B的度数【变式3-3】（2021秋安居区期末）如图，ADE+BCF180，AF平分BAD，BAD2F（1）AD与BC平行吗？请说明理由（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若BE平分ABC试说明：ABC2E；E+F90【考点4 平移中几何综合问题】【例4】（2021春和平区校级月考）已
5、知：ABCD，C在D的右侧，BE平分ABC，DE平分ADC，BE，DE所在直线交于点E，ADC70（1）则EDC （度）；（2）若ABCn，求BED的度数（用含n的式子表示）（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A右侧，其他条件不变，若ABCn，则BED （度）（用含n的式子表示）【变式4-1】（2021春曲周县期末）【探究】如图1，已知直线MNPQ，点A在MN上，点C在PQ上，点E在MN，PQ两平行线之间，则AEC + ；【应用】如图2，已知直线l1l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BCAE，CE分别是BAD，BCD的平分线，70，30（1）求AEC的度数；（2）将线
6、段AD沿CD方向平移，如图3所示，其他条件不变，求AEC的度数【变式4-2】（2021春奉化区校级期末）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DEAB，连接AE，BE70（1）请说明AEBC的理由（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ如图2，当DEDQ时，求Q的度数；在整个运动中，当Q2EDQ时，则Q 【变式4-3】（2021春天元区期末）已知BCOA，BA100，试回答下列问题：（1）如图所示，试说明OBAC；（2）如图，若点E，F在BC上，且满足FOCAOC，并且OE平分BOF则EOC的度数等于 （在横线上填上答案即可）；（3）在（2）的条件下，若
7、平行移动AC，如图，那么OCB：OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（4）在（3）的条件下，在平行移动AC的过程中，若使OEBOCA，此时OCA的度数等于 （在横线上填上答案即可）【考点5 平行线中的辅助线构造】【例5】（2021秋西乡县期末）（1）【问题】如图1，若ABCD，BEP25，PFC150求EPF的度数；（2）【问题迁移】如图2，ABCD，点P在AB的上方，问PEA，PFC，EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知EPF，PEA的平分线和PFC的平分线交于点G，用含有的式子表示G的度数【变式5-1】（
8、2021秋济阳区期末）如图，ABCD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0EPF180（1）试问：AEP，CFP，EPF满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论如图1，当点P在EF的左侧时，猜想AEP，CFP，EPF满足的数量关系，并说明理由；如图2，当点P在EF的右侧时，直接写出AEP，CFP，EPF满足的数量关系为 （2）如图3，QE，QF分别平分PEB，PFD，且点P在EF左侧若EPF100，则EQF的度数为 ；猜想EPF与EQF的数量关系，并说明理由【变式5-2】（2021秋农安县期末）已知直线
9、ABCD，P为平面内一点，连接PA、PD（1）如图1，已知A50，D150，求APD的度数；（2）如图2，判断PAB、CDP、APD之间的数量关系为 （3）如图3，在（2）的条件下，APPD，DN平分PDC，若PAN+12PABAPD，求AND的度数【变式5-3】（2021秋南岗区校级期中）已知，ABDE，点C在AB上方，连接BC、CD（1）如图1，求证：BCD+CDEABC；（2）如图2，过点C作CFBC交ED的延长线于点F，探究ABC和F之间的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分ABC，求BGDCGF的值【考点6 与平行线有
10、关的实际问题】【例6】（2021秋罗湖区期末）请解答下列各题：（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射此时12，34由条件可知：13，依据是 ，24，依据是 反射光线BC与EF平行，依据是 （2）解决问题：如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且142，则2 ；3 【变式6-1】（2021秋嵩县期末）图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射
11、光线n与垂线EF所夹的锐角12（1）在图1中，证明：12（2）图2中，AB，BC是平面镜，入射光线m经过两次反射后得到反射光线n，已知130，460，判断直线m与直线n的位置关系，并说明理由（3）图3是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？【变式6-2】（2020秋开江县期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图、图中都有12，34设镜子AB与BC的夹角ABC（1）如图，若90，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由（2）如图，若90180，入射光线EF与反射光线GH的
12、夹角FMH探索与的数量关系，并说明理由（3）如图，若130，设镜子CD与BC的夹角BCD为钝角，入射光线EF与镜面AB的夹角1x（0x90）已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出BCD的度数（可用含x的代数式表示）【变式6-3】（2021春广宁县期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1
13、度，假定主道路是平行的，即PQMN，且BAM：BAN2：1（1）填空：BAN ；（2）如图2，若灯B射线先转动30s，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，设灯A转动t秒（0t90），则MAM ，PBP ；（用含t的式子表示）在的条件下，若AMBP，则t 秒（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前若射出的光束交于点C，过C作ACD交PQ于点D，且ACD120，则在转动过程中，请探究BAC与BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由【考点7 平行线中的旋转问题】【例7】（2021秋三水区期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图），其中
14、ACBDCE90，A30，B60，DE45，设ACEx（1）填空：BCE ，ACD ；（用含x的代数式表示）（2）若BCD5ACE，求ACE的度数；（3）若三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，当BCE等于多少度时CDAB？【变式7-1】（2021秋太仓市期末）如图所示，已知直线AB直线CD，直线EF分别交直线AB、CD于点A，C且BAC60，现将射线AB绕点A以每秒2的转速逆时计旋转得到射线AM同时射线CE绕点C以每秒3的转速顺时针旋转得到射线CN，当射线CN旋转至与射线CA重合时，则射线CN、射线AM均停止转动，设旋转时间为t（秒）（1）在旋转过程中，若射线AM与射线CN相交，设
15、交点为P当t20（秒）时，则CPA ；若CPA70，求此时t的值；（2）在旋转过程中，是否存在AMCN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由【变式7-2】（2021春醴陵市期末）钱塘江汛期来临前，防汛指挥部准备在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是3度/秒，灯B转动的速度是1度/秒假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQMN（1）当A灯转动t秒时（0t60），用t的代数式表示灯A射线转动的角度大小；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射
16、线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？【变式7-3】（2021春莱山区期末）我区正在打造某河流夜间景观带，计划在河两岸设置两座可以旋转的射灯如图1，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定河两岸是平行的，即PQMN，且BAM2BAN（1）BAN 度（2）灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN需要 秒；（3）若灯B射线BD（交MN于点D）先转动30秒，灯A射线AC（交PQ于点C）才开始转动设AC转动时间为t秒，当AC到达AN之前时，如图2所示
17、PBD 度，MAC 度（用含有t的代数式表示）；求当AC转动几秒时，两灯的光束射线ACBD？（4）在BD到达BQ之前，是否还存在某一时刻，使两灯的光束射线ACBD？若存在，直接写出转动时间，若不存在，请说明理由【考点8 与平行线有关的综合题】【例8】（2021秋丰泽区期末）已知ABCD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，连接PM、PN、PQ，PQ平分MPN，如图（1）若PMA、PQC，求NPQ的度数（用含，的式子表示）；（2）过点Q作QEPN交PM的延长线于点E，过E作EF平分PEQ交PQ于点F，如图，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条
18、件下，连接EN，如图，若NEF=12PMA，求证：NE平分PNQ【变式8-1】（2020秋仁寿县期末）如图已知AMCN，点B为平面内一点，ABBC于点B，过点B作BDAM于点D，设BCN（1）若30，求ABD的度数；（2）如图，若点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，使得BE平分ABD、BF平分DBC，求EBF的度数；（3）如图，在（2）问的条件下，若CF平分BCH，且BFC3BCN，求EBC的度数【变式8-2】（2021秋香坊区校级期中）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足DBFDEF，BDGBGD，DG平分BDE（1）如图1，当点G在点F右侧时，求证：BDEF；（2）如图
19、2，当点G在点F左侧时，求证：DGEBDG+FEG；（3）如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分BDG，交BC于点M，DN平分PDM，交EF于点N，连接NG，若DGNG，BDNGEDN，求B的度数【变式8-3】（2021秋南岗区校级期末）已知：直线ABCD，一块三角板EFH，其中EFH90，EHF60（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若221，求1的度数；（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定E、AFE、MHE的数量关系；（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落
20、在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交CEH的角平分线于点Q，若QHFT15，且EFTETF，求证：PQFH 第1章平行线【考点1 三线八角的判断】【例1】如图，同位角共有（）对A6B5C8D7【分析】根据同位角的概念解答即可【解答】解：同位角有6对，4与7，3与8，1与7，5与6，2与9，1与3，故选：A【变式1-1】如图，图中的内错角有（）对A5B7C8D10【分析】根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则
21、这样一对角叫做内错角可得答案【解答】解：内错角有：1和2，3和4，3和ABF，1和11，7和6，5和6，4和10，7和8，9和8，10和CBH，共10对，故选：D【变式1-2】如图所示，若平面上4条两两相交，且无三线共点的4条直线，则共有同旁内角的对数为（）A12对B15对C24对D32对【分析】一条直线与另3条直线相交（不交于一点），有3个交点每2个交点决定一条线段，共有3条线段4条直线两两相交且无三线共点，共有3412条线段每条线段两侧各有一对同旁内角，可知同旁内角的总对数【解答】解：平面上4条直线两两相交且无三线共点，共有3412条线段又每条线段两侧各有一对同旁内角，共有同旁内角1222
22、4（对）故选：C【变式1-3】如图，“4”字图中有a对同位角，b对内错角，c对同旁内角，则abc 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义，找出相应角的对数，再代入求解即可【解答】解：同位角有：ABD与ECD，共1对，则a1；内错角有：ABC与BCF，共1对，则b1；同旁内角有：ABC与ECB，共1对，则c1；abc1故答案为：1【考点2 填写推理过程】【例2】（2021秋东坡区期末）如图，ABCD，点E在线段CD上，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F，连接BD，12，34求证：AFBC证明：理由如下：ABCD，4ABF （ 两直线平行，同位角相等）34，（已知）3ABF（等量代换）12
23、，（ 已知）1+DBF2+DBF（等式性质）即 ABFCBD（等式性质）3CBD（等量代换）AFBC（ 内错角相等，两直线平行）【分析】根据平行线的性质推出4ABF，求出3ABF，根据1+DBF2+DBF推出ABFCBD，求出CBDC3，根据平行线的判定得出即可【解答】证明：理由如下：ABCD，4ABF （两直线平行，同位角相等 ）34，（已知）3ABF（等量代换）12，（已知 ）1+DBF2+DBF（等式性质）即ABFCBD（等式性质）3CBD（等量代换）AFBC（内错角相等，两直线平行 ）故答案为：ABF；两直线平行，同位角相等；ABF；已知；DBF；DBF；ABF；CBD；CBD；内错角
24、相等，两直线平行【变式2-1】（2021秋洛江区期末）如图，已知ADBC于点D，EFBC于点F，3C试说明：12（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）解：3C，GDAC （ 同位角相等，两直线平行），24 （ 两直线平行，内错角相等）ADBC，EFBC，ADEF （ 垂直于同一直线的两条直线平行），4112 （ 等量代换）【分析】由已知条件可证得ACDG，由平行线的性质可得24，再由ADBC，EFBC可得ADEF，则有14，即可得12【解答】解：3C，GDAC （同位角相等，两直线平行），24 （两直线平行，内错角相等）ADBC，EFBC，ADEF （垂直于同一直线的两条直线平行），41
25、12 （等量代换）故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直于同一直线的两条直线平行；1；等量代换【变式2-2】（2021春普陀区校级月考）如图，点G在CD上，已知BAG+AGD180，EA平分BAG，FG平分AGC，请说明AEGF的理由解：因为BAG+AGD180（ 已知），AGC+AGD180（ 邻补角的定义），所以BAGAGC（ 同角的补角相等）因为EA平分BAG，所以1=12BAG（ 角平分线的定义）因为FG平分AGC，所以2=12AGC，得12（ 等量代换），所以AEGF（ 内错角相等，两直线平行）【分析】根据邻补角的定义及题意得出BAGAGC，再根据角平分线的定
26、义得到12，即可判定AEGF【解答】解：因为BAG+AGD180（已知），AGC+AGD180（邻补角的定义），所以BAGAGC（同角的补角相等），因为EA平分BAG，所以1=12BAG（角平分线的定义），因为FG平分AGC，所以2=12AGC，得12（等量代换），所以AEGF（内错角相等，两直线平行）故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；BAG；角平分线的定义；AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行【变式2-3】（2021秋泉州期末）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）如图，已知：CD平分ACB，ACDE，CDEF，那么EF平分DEB吗？解：CD平分ACB（已知），12（ 角平
27、分线的定义），ACDE（已知），13，23（等量代换），CDEF（已知），43（ 两直线平行，内错角相等），25（ 两直线平行，同位角相等），45（等量代换）EF平分DEB【分析】利用角平分线的定义、平行线的性质等知识点，逐个分析得结论【解答】解：CD平分ACB（已知），12（角平分线的定义），ACDE（已知），13，23（等量代换），CDEF（已知），43（两直线平行，内错角相等），25（两直线平行，同位角相等），45（等量代换）故答案为：角平分线的定义；3；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等【考点3 平行线的判定与性质综合证明题】【例3】（2021春镇江期中）已知：如图所示，B
28、AC和ACD的平分线交于E，AE交CD于点F，1+290（1）求证：ABCD；（2）试探究2与3的数量关系，并说明理由【分析】（1）根据角平分线定义得出BAC21，ACD22，根据1+290得出BAC+ACD180，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质和角平分线定义得出13，即可求出答案【解答】（1）证明：BAC和ACD的平分线交于E，BAC21，ACD22，1+290，BAC+ACD180，ABCD；（2）解：2+390，理由如下：AF平分BAC，BAF1，ABCD，BAF3，13，1+290，2+390【变式3-1】（2021秋建宁县期末）如图，一条直线分别与直线BE、直线CE
29、、直线BF、直线CF相交于A，G，H，D，且12，BC求证：（1）BFEC；（2）AD【分析】（1）由12直接可得结论；（2）根据BFEC，BC，可得BBFD，从而ABCD，即得AD【解答】证明：（1）12（已知），BFEC（同位角相等，两直线平行）；（2）BFEC（已证），CBFD（两直线平行，同位角相等），BC（已知），BBFD（等量代换），ABCD（内错角相等，两直线平行），AD（两直线平行，内错角相等）【变式3-2】（2021秋九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，EEMA，BQMBMQ（1）求证：EFBC；（2）若FPAC，2+C90，求证：1B；（3）若3+4180
30、，BAF3F20，求B的度数【分析】（1）根据，EEMA，BQMBMQ，结合对顶角相等可得EBQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；（2）根据垂直的定义可得PGC90，由两直线平行同旁内角互补可得EAC+C180，结合2+C90，可求得BAC90，利用同位角相等两直线平行可得ABFP，进而可证明结论；（3）根据同旁内角互补可判定ABFP，结合BAF3F20可求解F的度数，根据平行线的性质可得BF，即可求解【解答】（1）证明：EEMA，BQMBMQ，EMABMQ，EBQM，EFBC；（2）证明：FPAC，PGC90，EFBC，EAC+C180，2+C90，BACPGC90，ABFP，1B；（
31、3）解：3+4180，4MNF，3+MNF180，ABFP，F+BAF180，BAF3F20，F+3F20180，解得F50，ABFP，EFBC，B1，1F，BF50【变式3-3】（2021秋安居区期末）如图，ADE+BCF180，AF平分BAD，BAD2F（1）AD与BC平行吗？请说明理由（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若BE平分ABC试说明：ABC2E；E+F90【分析】（1）由ADE+BCF180结合邻补角互补，可得出BCFADC，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出ADBC；（2）根据角平分线的定义及BAD2F，可得出BAFF，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出AB
32、EF；（3）由ABEF，利用“两直线平行，内错角相等”可得出ABEE，结合角平分线的定义可得出ABC2E；由ADBC，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出BAD+ABC180，再结合BAD2F，ABC2E可得出E+F90【解答】解：（1）ADBC，理由如下：ADE+BCF180，ADE+ADC180，BCFADC，ADBC（2）ABEF，理由如下：AF平分BAD，BAD2F，BAF=12BADF，ABEF（3）ABC2E，理由如下：ABEF，ABEEBE平分ABC，ABC2ABE2EE+F90，理由如下：ADBC，BAD+ABC180BAD2F，ABC2E，2E+2F180，E+F90【考点
33、4 平移中几何综合问题】【例4】（2021春和平区校级月考）已知：ABCD，C在D的右侧，BE平分ABC，DE平分ADC，BE，DE所在直线交于点E，ADC70（1）则EDC35（度）；（2）若ABCn，求BED的度数（用含n的式子表示）（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A右侧，其他条件不变，若ABCn，则BED12n35或215-12n（度）（用含n的式子表示）【分析】（1）根据角平分线的定义即可求EDC的度数；（2）过点E作EFAB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求BED的度数；（3）BED的度数改变分三种情况讨论，分别过点E作EFAB，先由角平分线的定义可得：ABE=12A
34、BC=12n，CDE=12ADC35，然后根据平行线的性质即可得到BED的度数【解答】解：（1）DE平分ADC，ADC70，EDC=12ADC=127035故答案为：35；（2）过点E作EFAB，ABCD，ABCDEF，ABEBEF，CDEDEF，BE平分ABC，DE平分ADC，ABCn，ADC70，ABE=12ABC=12n，CDE=12ADC35，BEDBEF+DEF=12n+35；（3）分三种情况：如图所示，过点E作EFAB，BE平分ABC，DE平分ADC，ABCn，ADC70，ABE=12ABC=12n，CDG=12ADC35，ABCD，ABCDEF，BEFABE=12n，CDGDEF
35、35，BEDBEFDEF=12n35如图所示，过点E作EFAB，BE平分ABC，DE平分ADC，ABCn，ADC70，ABE=12ABC=12n，CDE=12ADC35，ABCD，ABCDEF，BEF180ABE180-12n，CDEDEF35，BEDBEF+DEF180-12n+35215-12n如图所示，过点E作EFAB，BE平分ABC，DE平分ADC，ABCn，ADC70，ABG=12ABC=12n，CDE=12ADC35，ABCD，ABCDEF，BEFABG=12n，CDEDEF35，BEDBEFDEF=12n35综上所述，BED的度数为12n35或215-12n故答案为：12n35或
36、215-12n【变式4-1】（2021春曲周县期末）【探究】如图1，已知直线MNPQ，点A在MN上，点C在PQ上，点E在MN，PQ两平行线之间，则AECNAE+QCE；【应用】如图2，已知直线l1l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BCAE，CE分别是BAD，BCD的平分线，70，30（1）求AEC的度数；（2）将线段AD沿CD方向平移，如图3所示，其他条件不变，求AEC的度数【分析】【探究】如图1中，作ETMN利用平行线的性质求解即可【应用】（1）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出ECD以及AEF的度数即可得出答案；（2）利用平行线的性质结合角平分线的定义得出BAE以及A
37、EF的度数即可得出答案【解答】解：【探究】如图1中，作ETMNMNPQ，ETMN，MNETPQ，NAEAET，ECQCET，AECAET+CETEAN+QCE故答案为：NAE，QCE【应用】解：（1）过点E作EFl1，l1l2，EFl2，l1l2，BCD，70，BCD70，CE是BCD的角平分线，ECD=127035，EFl2，FECECD35，同理可求AEF15，AECAEF+CEF50；（2）过点E作EFl1，l1l2，EFl2，l1l2，BCD，70，BCD70，CE是BCD的角平分线，ECD=127035，EFl2，FECECD35，l1l2，BAD+180，30，BAD150，AE平分BAD，BAE=1215075，EFl1，BAE+AEF180，AEF105，AEC105+35140【变式4-2】（2021春奉化区校级期末）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DEAB，连接AE，BE70（1）请说明AEBC的理由（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ如图2，当DEDQ时，求Q的度数；在整个运动中，当Q2EDQ时，则Q1403或140【分析】（1）根据平行线的性质得到BAE+E180，等量代换得到BAE+B180，于是得到结论；（2）如图2，过D作DFAE交AB于F，如图3，过D作DFAE交