1、 2.4二元一次方程组的应用（二）【知识点1 调配与配套问题】1.比例问题:如果甲、乙数量比为a:b，则；2.“二合一”问题:如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍，即； 3.“三合一”问题:如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品c件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：.【题型1 调配问题】【例1】（2021春夏津县期末）为庆祝建党100周年，更加深入了解党的光荣历史，我校团委计划组织全校共青团员到曾家岩周公馆、红岩村纪念馆、烈士墓渣滓洞一线开展红色研学之旅计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆
2、，并空出4个座位设计划调配30座客车x辆，全校共青团员共有y人，则根据题意可列出方程组为（）Ay-30x=836(x-1)-y=4By-30x=8y-36(x-1)=4C30x-y=836x-1-y=4D30x-y=8y-(36x-1)=4【变式1-1】（2021春沈丘县期末）乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的三分之一调入甲组，则甲组比乙组多15人，设甲组原有x人，乙组原有y人，则可得方程组为 【变式1-2】（2021春永定区期中）在抗击新冠肺炎疫情期间，各省市积极组织医护人员支援武汉某省组织医护人员统一乘车去武汉，原计划调配45座客车若干辆，则有30人没有座位；若调配同样数量的60座客
3、车，则有45个座位无人坐（1）该省有多少医护人员支援武汉？（2）若同时调配45座和60座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【变式1-3】（2020恩平市模拟）北京和上海都有检测新冠肺炎病毒的仪器可供外地使用，其中北京有10台，上海有4台（1）已知武汉需要8台，温州需要6台，从北京、上海将仪器运往武汉、温州的费用如表所示，有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种运送方案，使武汉、温州能得到所需仪器，而且运费正好够用（2）为了节约运送资金，中央防控工作组统一调配仪器，分配到温州的仪器不能超过5台，则如何调配？运费表 单位：（元/台）终点起点温州武汉北京40
4、0800上海300500【题型2 配套问题】【例2】（2020松北区二模）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问安排 名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套【变式2-1】（2020春义乌市期末）为紧急安置50名雅安地震灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，且所有帐篷都住满人，则搭建方案共有 种【变式2-2】（2020春甘南县期中）某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎样调配劳力才能使挖出来的土能及时运走且不窝工？【变式2-3】（2020春浦东新区期末）某服装厂生产一批某种款
5、式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只现计划用132m这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【知识点2 古代问题】1和差倍分问题：较大量较小量+多余量，总量倍数倍量2盈不足问题：每次数量份数盈总数量，每次数量份数+亏总数量3鸡兔同笼问题：注意鸡有两只脚，兔有四只脚【题型3 和差倍分问题】【例3】（2021洛阳三模）九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等交易其一，金轻十三两问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两问：每枚黄
6、金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（）A9x=11y9x-y=11y-x+13B9x=11y9x-y=11y-x-13C9x=11y8x+y=10y+x+13D9x=11y8x+y=10y+x-13【变式3-1】（2021泰安）九章算术中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为 【变式3-2】
7、（2020南陵县一模）九章算术中有这样一题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数、鸡价各几何？大意为：现有若干人合伙出钱买一只鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题【变式3-3（2020泉州二模）我国古代数学著作九章算术记载这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，问几何？”其大意为：现有木棍，不知道它的长短，用绳子去量，绳子多了4尺5寸；把绳子对折后再量，绳子又短了1尺，问：木棍有多长？【题型4 盈不足问题】【例4】（2021朝阳一模）九章算术中“盈不足术
8、”问题的原文为：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文为：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？”设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列方程组为（）A8x-y=37x-y=4B8x-y=3y-7x=4Cy-8x=37x-y=4Dy-8x=3y-7x=4【变式4-1】（2021赣州模拟）九章算术是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差
9、16钱问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为 【变式4-2】（2021江西模拟）中国的九章算术是世界现代数学的两大源泉之一书中有一盈不足问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百问人数、金价各几何？”译文：今有数人共同买金子，每人出400，多出来3400；每人出300，多出来100，问：共有多少人？金价是多少？请解决这个问题【变式4-3】（2021春桂平市期末）九章算术是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成书中有如下问题：今有其买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？大意是：有几个
10、人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少4元钱，问有多少人？该物品价值多少元？【知识点4 图形与表格问题】1图表信息题的关键信息隐藏在图形和表格中，需读懂图中所提供的数据，提炼图中所给的信息，从中找出相等关系，再选取适当量为元列出方程组2图形问题，其等量关系的确定一般借助图形的边长(周长)和面积，具体方法是根据单个图形的形状，按图形的拼接方式确定边长(周长)和面积之间的等量关系【题型5 从图表中获取问题】【例5】（2021春沂水县期末）已知关于x，y的二元一次方程2x3yt，其取值如下表，则p的值为（）xmm+2ynn3t5pA16B17C18D19【变式5-1】（
11、2021春博兴县期末）篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，下表是某队全部比赛结束后的部分统计结果：胜负合计场数y10积分2x16表中x，y满足的二元一次方程组是（）Ax+y=102x-y=16Bx+y=102x+y=16Cx-y=102x+y=16D4x+y=162x+y=16【变式5-2】（2020春五华区校级月考）新房装修后，甲居民购买家居用品的清单如下表，因污水导致部分信息无法识别，根据下表解决问题：家居用品名称单价（元）数量（个）金额（元）挂钟30260垃圾桶15塑料鞋架40艺术饰品a2120电热水壶351b合计8310（1）直接写出a ，b ；（2）甲居民购
12、买了垃圾桶，塑料鞋架各几个？（3）若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品，共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？【变式5-3】（2020徐州）小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：（1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？商品名单价（元）数量（个）金额（元）签字笔326自动铅笔1.5记号笔4软皮笔记本29圆规3.51合计828【题型6 从几何图形中获取信息】【例6】（2021春漳州期末）如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成一个周长为68的大长方形ABC
13、D求大长方形ABCD的面积【变式6-1】（2021春上城区期末）如图，在长方形ABCD中，放入8个完全相同的小长方形（1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？（2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？【变式6-2】（2021春九龙坡区校级期末）小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为他爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包装盒（纸片厚度不计）如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖（1）若小语用长40cm，宽34cm的长方形纸片恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等，
14、则该茶叶盒的容积是多少？（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒200元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利1800元，求这批茶叶共进了多少盒？【变式6-3】（2021春天河区校级月考）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）（1）如果加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁
15、容器各有多少个？（2）如果加工成有盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）现工厂有35块铁板，每块铁板都可以裁剪成长方形铁片和正方形铁片，且有以下三种裁剪方式方式：每块铁板可裁成3张长方形铁片；方式：每块铁板可裁成4张正方形铁片；方式；每块铁板可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少铁盒？ 2.4二元一次方程组的应用（二）【知识点1 调配与配套问题】1.比例问题:如果甲、乙数量比为a:b，则；2.“二合一”问题:如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍，即； 3.“三合一”问题:如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品
16、c件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：.【题型1 调配问题】【例1】（2021春夏津县期末）为庆祝建党100周年，更加深入了解党的光荣历史，我校团委计划组织全校共青团员到曾家岩周公馆、红岩村纪念馆、烈士墓渣滓洞一线开展红色研学之旅计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位设计划调配30座客车x辆，全校共青团员共有y人，则根据题意可列出方程组为（）Ay-30x=836(x-1)-y=4By-30x=8y-36(x-1)=4C30x-y=836x-1-y=4D30x-y=8y-(36x-1)=4【分析】根据“调配3
17、0座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位”列出方程即可【解答】解：设计划调配30座客车x辆，全校共青团员共有y人，根据题意得：y-30x=836(x-1)-y=4，故选：A【变式1-1】（2021春沈丘县期末）乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的三分之一调入甲组，则甲组比乙组多15人，设甲组原有x人，乙组原有y人，则可得方程组为 y=12xx+13y=23y+15【分析】此题中的等量关系有：乙组人数是甲组人数的一半；乙组人数的三分之一调入甲组，即甲组现有（x+13y）人，乙组现有人数23y人，此时甲组比乙组多15人【解答】解：根据乙组人数是甲
18、组人数的一半，则y=12x；根据乙组人数的三分之一调入甲组时甲组比乙组多15人，得方程x+13y=23y+15可列方程组为y=12xx+13y=23y+15【变式1-2】（2021春永定区期中）在抗击新冠肺炎疫情期间，各省市积极组织医护人员支援武汉某省组织医护人员统一乘车去武汉，原计划调配45座客车若干辆，则有30人没有座位；若调配同样数量的60座客车，则有45个座位无人坐（1）该省有多少医护人员支援武汉？（2）若同时调配45座和60座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【分析】（1）设调配客车x辆，该省有y名医护人员支援武汉，由题意：原计划调配45座客车若干辆，
19、则有30人没有座位；若调配同样数量的60座客车，则有45个座位无人坐列出方程组，解方程组即可；（2）设调配45座客车m辆，调配60座客车n辆，由题意：同时调配45座和60座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，列出二元一次方程，求正整数解即可【解答】解：（1）设调配客车x辆，该省有y名医护人员支援武汉，依题意得：y=45x+30y=60x-45，解得：x=5y=255答：该省有255名医护人员支援武汉；（2）设调配45座客车m辆，调配60座客车n辆，依题意得：45m+60n255，解得：n=17-3m4，m，n均为正整数，m=3n=2答：需要调配45座客车3辆、60座客车2辆【变式1-3
20、】（2020恩平市模拟）北京和上海都有检测新冠肺炎病毒的仪器可供外地使用，其中北京有10台，上海有4台（1）已知武汉需要8台，温州需要6台，从北京、上海将仪器运往武汉、温州的费用如表所示，有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种运送方案，使武汉、温州能得到所需仪器，而且运费正好够用（2）为了节约运送资金，中央防控工作组统一调配仪器，分配到温州的仪器不能超过5台，则如何调配？运费表 单位：（元/台）终点起点温州武汉北京400800上海300500【分析】（1）等量关系为：400北京运往温州的台数+800北京运往武汉的台数+300上海运往温州的台数+500上海运往武汉的台数8000，温州
21、需要6台，把相关数值代入求解即可；（2）本着节约运送资金和分配到温州的仪器不能超过5台分析即可得到调配方案【解答】解：（1）解：设从北京运往温州x台，从上海运往温州y台依题意，得x+y=6400x+(10-x)800+300y+(4-y)500=8000，）解得x=4y=2，从北京运往武汉：10x1046（台），从上海运往武汉：4y422（台），答：从北京运往温州4台，运往武汉6台；从上海运往温州2台，运往武汉2台；（2）由表格中的数据可得出，上海运送到温州的费用最低，设北京运送到温州x台，则北京运武汉（10x）台，上海运温州（5x）台，上海运武汉（x1）台，总费用为y，根据题意得，y400x
22、+800（10x）+300（5x）+500（x1）200x+9000，x越大y越小，当x5时，运费最少，且分配到温州的仪器不能超过5台，所以为了节约资金，从上海配送4台到温州，从北京配送5台到温州，武汉5台【题型2 配套问题】【例2】（2020松北区二模）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问安排25名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套【分析】设需安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，根据平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，可列成方程组求解【解答】解：设需安排
23、x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，由题意得，x+y=85316x=210y，解得：x=25y=60即安排25名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套故答案为：25【变式2-1】（2020春义乌市期末）为紧急安置50名雅安地震灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，且所有帐篷都住满人，则搭建方案共有4种【分析】可设6人的帐篷有x顶，4人的帐篷有y顶根据两种帐篷容纳的总人数为50人，可列出关于x、y的二元一次方程，根据x、y均为非负整数，求出x、y的取值根据未知数的取值即可判断出有几种搭建方案【解答】解：设6人的帐篷有x顶，4人的帐篷有y顶，依题意，有：6x+4y50，整
24、理得y12.51.5x，因为x、y均为非负整数，所以12.51.5x0，解得：0x813，从1到7的奇数共有4个，所以x的取值共有4种可能，即共有4种搭建方案故答案为：4【变式2-2】（2020春甘南县期中）某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎样调配劳力才能使挖出来的土能及时运走且不窝工？【分析】设有x名员工挖土，根据某工地调来72名员工挖土和运土，已知3人挖的1人恰好能全部运走，调配员工使挖出的土能够及时运走，可列出方程，进而求出即可【解答】解：设x人挖土，y人运土，由题意可得出：x+y=72x=3y，解得：x=54y=18答：54人挖土，18人运土，才能使挖
25、出来的土能及时运走且不窝工【变式2-3】（2020春浦东新区期末）某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只现计划用132m这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【分析】设用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖，根据共用去132m这种布料，每2m的布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，衣身和衣袖恰好配套，据此列方程组求解【解答】解：设用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖，由题意得x+y=132x232=y25，解得：x=60y=72答：用60m布料做衣身，用72m布料做衣袖恰好配套【知识点2 古代问题】1和差倍分问题
26、：较大量较小量+多余量，总量倍数倍量2盈不足问题：每次数量份数盈总数量，每次数量份数+亏总数量3鸡兔同笼问题：注意鸡有两只脚，兔有四只脚【题型3 和差倍分问题】【例3】（2021洛阳三模）九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等交易其一，金轻十三两问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（）A9x=11y9x-y=11y-x+13B9x=11y9x-y=11y-x-13C9x=11y8x+y=10y
27、+x+13D9x=11y8x+y=10y+x-13【分析】直接利用“黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，以及两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”分别得出等式得出答案【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得：9x=11y8x+y=10y+x-13故选：D【变式3-1】（2021泰安）九章算术中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50问甲、乙各有多
28、少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为 x+12y=5023x+y=50【分析】根据乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50和题目中所设的未知数，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得，x+12y=5023x+y=50，故答案为：x+12y=5023x+y=50【变式3-2】（2020南陵县一模）九章算术中有这样一题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数、鸡价各几何？大意为：现有若干人合伙出钱买一只鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱问买鸡的人数、鸡的价格
29、各是多少？请解答上述问题【分析】设有x人合伙买鸡，鸡的价格为y文钱，根据“如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论【解答】解：设有x人合伙买鸡，鸡的价格为y文钱，依题意，得：9x-y=11y-6x=16，解得：x=9y=70答：买鸡的人数为9人、鸡的价格为70文钱【变式3-3（2020泉州二模）我国古代数学著作九章算术记载这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，问几何？”其大意为：现有木棍，不知道它的长短，用绳子去量，绳子多了4尺5寸；把绳子对折后再量，绳子又短了1尺，问：木
30、棍有多长？【分析】设木棍长x尺，绳子长y尺，根据“用绳子去量，绳子多了4尺5寸；把绳子对折后再量，绳子又短了1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论【解答】解：设木棍长x尺，绳子长y尺，依题意，得：y-x=4.5x-12y=1，解得：x=6.5y=11答：木棍长6尺5寸【题型4 盈不足问题】【例4】（2021朝阳一模）九章算术中“盈不足术”问题的原文为：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文为：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？”设共同购买该物品的有x人，该物品
31、的价格是y元，则根据题意，列方程组为（）A8x-y=37x-y=4B8x-y=3y-7x=4Cy-8x=37x-y=4Dy-8x=3y-7x=4【分析】根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”可得方程组【解答】解：设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列方程组为8x-y=3y-7x=4，故选：B【变式4-1】（2021赣州模拟）九章算术是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱
32、数为y，可列方程组为 9x-11=y6x+16=y【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案【解答】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：9x-11=y6x+16=y故答案是：9x-11=y6x+16=y【变式4-2】（2021江西模拟）中国的九章算术是世界现代数学的两大源泉之一书中有一盈不足问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百问人数、金价各几何？”译文：今有数人共同买金子，每人出400，多出来3400；每人出300，多出来100，问：共有多少人？金价是多少？请解决这个问题【分析】设共有x人，金价是y，根据“每人出400
33、，多出来3400；每人出300，多出来100”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出人数及金价【解答】解：设共有x人，金价是y，依题意得：400x-y=3400300x-y=100，解得：x=33y=9800答：共有33人，金价是9800【变式4-3】（2021春桂平市期末）九章算术是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成书中有如下问题：今有其买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少4元钱，问有多少人？该物品价值多少元？【分析】设有x人
34、，该物品的价值为y元，根据“如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少4元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出购物的人数及该物品的价值【解答】解：设有x人，该物品的价值为y元，依题意得：8x-y=3y-7x=4，解得：x=7y=53答：有7人，该物品的价值为53元【知识点4 图形与表格问题】1图表信息题的关键信息隐藏在图形和表格中，需读懂图中所提供的数据，提炼图中所给的信息，从中找出相等关系，再选取适当量为元列出方程组2图形问题，其等量关系的确定一般借助图形的边长(周长)和面积，具体方法是根据单个图形的形状，按图形的拼接方式确定边长(周长)和面积之间的等量关系【题型5
35、从图表中获取问题】【例5】（2021春沂水县期末）已知关于x，y的二元一次方程2x3yt，其取值如下表，则p的值为（）xmm+2ynn3t5pA16B17C18D19【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案【解答】解：由题意可知：2m-3n=52(m+2)-3(n-3)=p，p2m3n+135+1318，故选：C【变式5-1】（2021春博兴县期末）篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，下表是某队全部比赛结束后的部分统计结果：胜负合计场数y10积分2x16表中x，y满足的二元一次方程组是（）Ax+y=102x-y=16Bx+y=102x+y=16Cx-y=102x+
36、y=16D4x+y=162x+y=16【分析】由题意可得胜x场，负y场，合计10场，则x+y10；胜一场得2分，负一场得1分，合计16分，则2x+y16即可求解【解答】解：由题意得：x+y=102x+y=16，故选：B【变式5-2】（2020春五华区校级月考）新房装修后，甲居民购买家居用品的清单如下表，因污水导致部分信息无法识别，根据下表解决问题：家居用品名称单价（元）数量（个）金额（元）挂钟30260垃圾桶15塑料鞋架40艺术饰品a2120电热水壶351b合计8310（1）直接写出a60，b35；（2）甲居民购买了垃圾桶，塑料鞋架各几个？（3）若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品，共
37、花费150元，则有哪几种不同的购买方案？【分析】（1）利用单价总价数量及总价单价数量，即可求出a，b的值；（2）设甲居民购买垃圾桶x个，塑料鞋架y个，根据甲居民购买家居用品的清单表中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设甲居民再次购买m个艺术饰品，n个垃圾桶，根据总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案【解答】解：（1）a120260，b35135故答案为：60；35（2）设甲居民购买垃圾桶x个，塑料鞋架y个，依题意，得：2+x+y+2+1=860+15x+40y+120+35=310，解得：x=1y=2答：甲居民
38、购买垃圾桶1个，塑料鞋架2个（3）设甲居民再次购买m个艺术饰品，n个垃圾桶，依题意，得：60m+15n150，n104m又m，n均为正整数，m=1n=6或m=2n=2，共有2种购买方案，方案1：购买1个艺术饰品，6个垃圾桶；方案2：购买2个艺术饰品，2个垃圾桶【变式5-3】（2016徐州）小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：（1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？商品名单价（元）数量（个）金额（元）签字笔326自动铅笔1.5记号笔4软皮笔记本29圆规3.51合计8
39、28【分析】（1）利用总的购买数量为8，进而得出等式，再利用总金额为28元得出等式组成方程组求出答案；（2）根据题意设小丽购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，根据共花费15元得出等式92m+1.5n15，进而得出二元一次方程的解【解答】解：（1）设小丽购买自动铅笔x支，记号笔y支，根据题意可得：x+y=8-(2+2+1)1.5x+4y=28-(6+9+3.5)，解得：x=1y=2，答：小丽购买自动铅笔1支，记号笔2支；（2）设小丽购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，根据题意可得：92m+1.5n15，m，n为正整数，m=1n=7或m=2n=4或m=3n=1，答：共3种方案：1本软皮笔记本与7支自动
40、铅笔；2本软皮笔记本与4支自动铅笔；3本软皮笔记本与1支自动铅笔声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布【题型6 从几何图形中获取信息】【例6】（2021春漳州期末）如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成一个周长为68的大长方形ABCD求大长方形ABCD的面积【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的对边相等及大长方形的周长为68，列出x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的计算公式即可求出大长方形的面积【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意，得：2x=5y2(2x+x+y)=68，解得：x=10y=4，S大长方形2x（x+y）210
41、（10+4）280答：大长方形的面积为280【变式6-1】（2021春上城区期末）如图，在长方形ABCD中，放入8个完全相同的小长方形（1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？（2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？【分析】（1）设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，观察图形，根据小长方形长与宽之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值；（2）利用阴影部分的面积大长方形的面积8小长方形的面积，即可求出结论【解答】解：（1）设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，依题意，得：x+4y=18x+y=12，解得：x=10y=2，答：每个小长方形的长和宽分别是10厘米，2厘米；（2）
42、每个小长方形的长和宽分别是10厘米，2厘米，图中阴影部分面积为18（12+2）821092（平方厘米）答：图中阴影部分面积为92平方厘米【变式6-2】（2021春九龙坡区校级期末）小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为他爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包装盒（纸片厚度不计）如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖（1）若小语用长40cm，宽34cm的长方形纸片恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等，则该茶叶盒的容积是多少？（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒20
43、0元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利1800元，求这批茶叶共进了多少盒？【分析】（1）由一个“接口”宽加上4个盒底边长等于34，两个“接口”宽加上4.5个盒底边长等于40，列出方程组，解方程组即可得出答案；（2）设第一个月销售了m盒茶叶，第二个月销售了n盒茶叶，分别表示出第一个月和第二个月的利润，相加等于1800，再根据m和n均为正整数及整除的性质，即可得出答案【解答】解：（1）设“接口”的宽度为xcm，盒底边长为ycm，
44、由题意得：x+4y=342x+4.5y=40，解得：x=2y=8，2.5820（c），88201280（cm3），答：茶叶盒的容积是1280cm3；（2）设第一个月销售了m盒茶叶，第二个月销售了n盒茶叶，由题意得：20018%m+（20018%6）n1800，6m+5n300，m、n为正整数，mn2m，m为5的倍数，m=20n=36或m=25n=30，m+n56或55，答：这批茶叶共进了56或55盒【变式6-3】（2021春天河区校级月考）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）（1）如果加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？（2）如果加工成有盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）现工厂有35块铁板，每块铁板都可以裁剪成长方形铁片和正方形铁片，且有以下三种裁剪方式方式：每块铁板可裁成3