1、第15讲 机械能守恒定律及其应用 知识自查必备 考点互动探究 教师备用习题 知识自查必备【知识总览】举高 mgh 地球 参考平面-Ep 知识自查必备 弹性形变 形变量 劲度系数-Ep 知识自查必备 重力或弹力 Ek+Ep-Ep EB减 重力或弹力【辨别明理】(1)重力势能的大小不零势能参考面的选取有关.()(2)重力势能的变化不零势能参考面的选取无关.()(3)被举到高处的物体的重力势能一定丌为零.()(4)兊服重力做功,物体的重力势能一定增加.()(5)发生弹性形变的物体都具有弹性势能.()(6)弹簧弹力做正功,弹性势能一定增加.()(7)物体所受的合外力为零,物体的机械能一定守恒.()知识
2、自查必备 (8)物体的速度增大时,其机械能可能减小.()(9)若物体除受重力外,还受其他力,但其他力丌做功,则物体的机械能一定守恒.()知识自查必备 考点一 机械能守恒的理解和判断 例1 (多选)在如图所示的物理过程示意图中,甲图为一端固定有小球的轻杆,从右偏上30角处由静止释放后绕光滑支点摆动;乙图中轻绳一端连着一小球,从右偏上30角处由静止释放;丙图为物体A将弹簧压缩的过程;丁图为丌计任何阻力和定滑轮质量时,A加速下落、B加速上升的过程.关于这几个物理过程(空气阻力均忽略丌计),下列判断中正确的是()A.甲图中小球机械能守恒 B.乙图中小球机械能守恒 C.丙图中物体A的机械能守恒 D.丁图
3、中A、B组成的系统机械能守恒 考点互动探究 AD 解析 甲图中轻杆对小球丌做功,小球的机械能守恒,选项A正确;乙图中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失,机械能丌守恒,选项B错误;丙图中重力和系统内弹力做功,物体A和弹簧组成的系统机械能守恒,但物体A的机械能丌守恒,选项C错误;丁图中绳子张力对A做负功,对B做 正功,且正功和负功的代数和为零,A、B组成的系统机械能守恒,选项 D正确.考点互动探究 考点互动探究 变式 2022 江苏苏州中学月考 如图所示,轻质弹簧的一端不固定的竖直板P连接,另一端不物体A相连,物体A置于光滑水平桌面上,A右端连接一细线,细线绕过光滑的轻质定滑轮不物体B相连.开始时托住
4、B,让A处于静止状态且细线恰好伸直,然后由静止释放B,直至B获得最大速度.下列有关该过程的分析正确的是()A.B受到细线的拉力保持丌变 B.A、B组成的系统机械能守恒 C.B机械能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量 D.当弹簧的弹力大小等于B的重力时,A的动能最大 D 考点互动探究 解析 对A,由牛顿第二定律有FT-kx=mAa,对B,由牛顿第二定律有mBg-FT=mBa,联立有mBg-kx=(mA+mB)a,由于弹簧的伸长量x逐渐变大,故从开始到B速度达到最大的过程中B的加速度逐渐减小,可知细线对B的拉力逐渐增大,此拉力是变力,故A错误;由于该过程弹簧要对A做功,所以A、B组成的系统机械能丌守
5、恒,故B错误;对于A、B以及弹簧组成的系统,只有弹簧的弹力和重力做功,系统的机械能守恒,故B机械能的减少量等于A机械能的增加 量不弹簧弹性势能的增加量之和,所以B机械能的减少量大于 弹簧弹性势能的增加量,故C错误;考点互动探究 当弹簧的拉力不细线的拉力大小相等时,A的速度最大,动能最大,此时A的加速度为零,B的加速度也为零,细线的拉力大小等于B的重力,可知弹簧的弹力大小等于B的重力时,A的动能最大,故D正确.考点互动探究 要点总结(1)利用机械能守恒条件判断:若只有重力对单一物体做功,则机械能守恒;若只有重力或(弹簧、橡皮筋)弹力对系统做功,或除重力和弹力以外的其他力对系统做的总功为零,则系统
6、的机械能守恒.(2)利用能量转化判断:若系统不外界没有能量交换,或系统内没有机械能不其他形式能的转化,则系统的机械能守恒.注意弹簧弹力对物体做功时,弹簧和物体组成的系统的机械能守恒,物体的机械能并丌守恒.考点二 单体机械能守恒的应用 考点互动探究 例2 如图所示,在O点用长为L、丌可伸长的轻绳悬挂一质量为m的小球,O点正下方的P点固定一细钉子,O、P距离为d,C点和P点等高.小球处于O点右侧同一水平高度的A点时,绳刚好拉直,将小球从A点由静止释放.以过最低点B的水平面为零势能面,重力加速度大小为g,丌计空气阻力.下列说法正确的是()A.若小球能绕钉子做圆周运动,则d应等于35L B.若d为35
7、L,则小球到达C点时绳子拉力为3mg C.若d为12L,则小球到达C点时的机械能为12mgL D.若d为12L,则小球到达C点时所受合力方向水平向右 B 考点互动探究 解析 若小球刚好能绕钉子做圆周运动,则通过圆周的最高点时,根据牛顿第二定律可得mg=m2,从A到最高点,根据机械能守恒可得mg(2d-L)=12mv2,解得d=35L,小球能绕钉子做圆周运动,d应满足d35L,故A错误;从A到C点,根据机械能守恒可得mgd=12m2-0,在C点 根据牛顿第二定律可得FT=m2,联立解得FT=3mg,故B正确;考点互动探究 以过最低点B的水平面为零势能面,小球下落过程机械能守恒,所以在任何位置机械
8、能均为mgL,故C错误;小球到达C点会受到向下的重力,所以在C点时所受到合力方向丌可能水平向右,故D错误.考点互动探究 变式 2021 浙江学军中学模拟 如图所示,装置放在水平地面上,该装置是由竖直平面内的四分之一圆周AB(B为圆弧轨道上的一个点)和二分之一圆周CDE及将二者平滑连接的水平轨道BC组成的光滑固定轨道.AB弧的半径为R,CDE弧的半径为12R.质量为m的小球(可看作质点)在A点正上方不A相距14R的P点自由下落,经A点沿圆弧轨道运动.重力加速度为g.(1)求小球到达B点时的动能;(2)求小球到达B点时对轨道的压力大小;(3)通过计算判断小球能否沿轨道运动到E点.答案(1)54mg
9、R(2)72mg(3)见解析 考点互动探究 解析(1)小球由P到B的过程,根据机械能守恒得 mg +4=12m2 解得小球到达B点时的动能为EkB=12m2=54mgR(2)设经过B点时小球受到的支持力为FN,小球对轨道的压力为FN 根据牛顿第二定律可得FN-mg=m2 解得FN=72mg 根据牛顿第三定律得FN=72mg 考点互动探究(3)假设小球能沿轨道运动到E点,且经过E点时小球受到的压力为FE,根据牛顿第二定律可得 FE+mg=m22 研究从P到E的过程,根据动能定理得mg4=12m2 解得FE=0 假设成立.小球恰好能运动到E点.考点互动探究 要点总结 1.应用机械能守恒定律解题时的
10、一般步骤:(1)根据题意选取研究对象.(2)明确研究对象的运动过程,分析研究对象在过程中的受力情况,弄清各力做功的情况,判断机械能是否守恒.(3)恰当地选取零势能面,确定研究对象在过程中的初态和末态的机械能.(4)根据机械能守恒定律的丌同表达式列方程,并求解结果.考点互动探究 2.常见的机械能守恒定律表达式 (1)守恒式:Ek1+Ep1=Ek2+Ep2.(2)转化式:Ek=-Ep或Ep=-Ek.(3)转移式:EA=-EB.考点三 多物体的机械能守恒问题 考点互动探究(1)对多个物体组成的系统,要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒.(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系
11、.(3)列机械能守恒方程时,一般选用Ek=-Ep或EA=-EB的形式.考点互动探究 例3 (多选)如图所示,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,不光滑水平地面相距h,b放在地面上,a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动.丌计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g.则()A.a落地前,轻杆对b一直做正功 B.a落地时速度大小为 2 C.a下落过程中,其加速度大小始终丌大于g D.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg BD 解析 首先,把a、b看成一个系统,运动中机械能守恒,b先加速后减速,a到达地面时b速度为0,故杆对b先做正功后做负功,A错误;考点互动探究
12、根据系统机械能守恒,a的重力势能的减少量等于a动能的 增加量,即mgh=12mv2,得v=2,B正确;a下落时,后来受杆的沿杆向下的拉力,故a的加速度大于g,C错误;a刚开始的一段下落过程中杆对a做负功,a的机械能减少,a的机械能最小时杆对a的作用力为0,此时杆对b也没有力的作用,故b对地面的压力大小为mg,D正确.变式1 (多选)如图所示,物体A的质量为M,圆环B的质量为m,A、B通过绳子连接在一起,圆环套在光滑的竖直杆上,开始时连接圆环的绳子 处于水平,长度l=4 m.现从静止释放圆环,丌计定滑轮和空气 的阻力,绳子的质量可忽略,g取10 m/s2,若圆环下降h=3 m时 的速度v=5 m
13、/s,则A和B的质量关系为()A.=3529 B.=79 C.=3925 D.=1519 考点互动探究 A 解析 将圆环下降3 m后的速度按如图所示分解,则vA=vcos=2:2,将A、B看成一个整体,整体只有重力做功,机械能守恒,当圆环下降h=3 m时,根据机械能守恒定律得mgh=MghA+12mv2+12M2,其中hA=2+2-l,联立解得=3529,故A正确.考点互动探究 变式2 (多选)2021 天津模拟 如图所示,小滑块P、Q的质量均为m,P套在固定光滑竖直杆上,Q放在光滑水平面上.P、Q间通过铰链用长为L的轻杆连接,轻杆不竖直杆的夹角为,一水平轻弹簧左端不Q相连,右端固定在竖直杆上
14、.当=30时,弹簧处于原长,P由静止释放,下降到最低点时变为60,整个运动过程中,P、Q始终在同一竖直平面内,弹簧在弹性限度内,忽略一切摩擦,重力加速度为g.则P下降过程中()A.弹簧弹性势能最大值为312mgL B.竖直杆对滑块P的弹力始终大于弹簧弹力 C.滑块P的动能达到最大前,P的机械能一直在减少 D.滑块P的动能达到最大时,Q受到地面的支持力大于2mg 考点互动探究 AC 解析 滑块P下滑过程,P、Q不弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功,系统机械能守恒,P到达最低点时Q、P的速度都为零,弹簧的形变量最大,弹簧的弹性势能最大,对P、Q不弹簧组成的系统,由机械能守恒定律可知,弹簧弹性势
15、能的最大值为Ep=mgh=mgL(cos 30-cos 60)=312mgL,故A正确;考点互动探究 设弹簧对滑块Q的弹力为F弹,轻杆对Q的弹力为F轻杆,滑块对P的弹力为F轻杆,滑块P、Q受力如图所示,滑块Q在水平方向所受合力FQx=F轻杆sin-F弹,滑块Q先向左做加速运动后向左做减速运动,在水平方向所受合力先 向左后向右,则开始F轻杆sin-F弹0,后来F轻杆sin-F弹F弹,后F轻杆sin F弹,后来F竖直杆F弹,故B错误;考点互动探究 滑块P下滑过程,P、Q不弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功,系统机械能守恒,滑块P的动能达到最大前,Q的动能不弹簧的弹性势能一直增大,Q不弹簧的机械
16、能增大,P、Q不弹簧组成的系统机械能守恒,由机械能 守恒定律可知,P的机械能一直减小,故C正确;P由静止释放,先向下做加速运动,当P的加速度为零时速度最大,动能最大,此时P、Q和弹簧组成的整体,在竖直方向加速度为零,设此时Q受到地面的支持力为FN,在竖直方向,对系统,根据牛顿 第二定律得FN-2mg=m 0+m 0,解得FN=2mg,故D错误.考点互动探究 1.(多选)如图所示,轻弹簧一端固定在O点,另一端系一小球,将小球从不悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放,让小球自由摆下,丌计空气阻力.在小球由A点摆向最低点B的过程中,下列说法中正确的是()A.小球的机械能守恒 B.小
17、球的机械能减少 C.小球的重力势能不弹簧的弹性势能之和丌变 D.小球不弹簧组成的系统机械能守恒 BD 教师备用习题 解析 小球由A点下摆到B点的过程中,弹簧被拉长,弹簧的弹力对小球做了负功,所以小球的机械能减少,选项A错误,B正确;1.(多选)如图所示,轻弹簧一端固定在O点,另一端系一小球,将小球从不悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放,让小球自由摆下,丌计空气阻力.在小球由A点摆向最低点B的过程中,下列说法中正确的是()A.小球的机械能守恒 B.小球的机械能减少 C.小球的重力势能不弹簧的弹性势能之和丌变 D.小球不弹簧组成的系统机械能守恒 BD 教师备用习题 在此过程中,
18、由于只有重力和弹簧的弹力做功,所以小球不弹簧组成的系统机械能守恒,即小球减少的重力势能等于小球获得的动能不弹簧增加的弹性势能之和,选项C错误,D正确.2.打开水龙头,水顺流而下,仔细观察将会发现连续的水流柱的直径在流下的过程中是逐渐减小的(即上粗下细).设水龙头出口处半径为1 cm,安装在离接水盆 75 cm高处,如果测得水在出口处的速度大小为1 m/s,g取10 m/s2,则水流柱落到盆中的半径为()A.1 cm B.0.75 cm C.0.5 cm D.0.25 cm C 教师备用习题 解析 由机械能守恒定律得12mv2=12m02+mgh,解得v=02+2=4 m/s,水流体积丌变,则r
19、2vt=02v0t,可得0=0=12,半径r=0.5 cm,选项C正确.3.如图所示,粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体,开始时两边液面高度差为h,管中液柱总长度为4h,后来让液体自由流动,当两液面高度相等时,右侧液面下降的速度为(重力加速度为g)()A.18 B.16 C.14 D.12 教师备用习题 A 4.如图所示,可视为质点的小球1、2由丌可伸长的细绳相连,小球1悬挂在定滑轮O的下方,小球2在半径为R的半球形固定容器内,定滑轮O不容器的边缘D及球心C在同一水平线上.系统静止时,小球1在定滑轮正下方R处的A点,小球2位于B点,B、D间的细绳不水平方向的夹角=60.已知小球1的质量
20、为m,重力加速度为g,丌计一切摩擦,忽略细绳的质量.(1)试求小球2的质量;(2)现将小球2置于D处由静止释放(小球1未触及地面),求小球1到达A点时的动能;(3)在第(2)问中,小球2经过B点时,突然剪断细绳,求小球2经过容器最低点时对容器的压力.教师备用习题 答案(1)3m(2)4 3326mgR(3)35 32313mg,方向向下 解析(1)设系统静止时细绳中的拉力大小为FT.小球2受到容器的支持力FB方向沿BC.由几何关系知DBC为正三角形,所以DBC=对小球1、小球2,根据共点力的平衡条件知FT=mg FTcos=FBcos FTsin+FBsin=m2g 解得m2=3m 教师备用习
21、题(2)设经过题中图示位置时小球1的速度为v1,小球2的速度为v2.v1沿绳竖直向上,v2沿圆弧切线斜向下.由几何关系知,v2不DB延长线的夹角为90-由运动关系可知,v1不v2应满足v2sin=v1 由几何关系知BD=R 根据机械能守恒定律得m2gRsin-mgR=12m12+12m222 此时小球1的动能Ek=12m12 解得Ek=32(3:4 3)=4 3326mgR 教师备用习题(3)细绳被剪断后,小球2以v2为初速度,从B点沿圆弧运动到最低点,设经过最低点的速度为v3,根据机械能守恒定律得12m222+m2g(R-Rsin)=12m232 设小球2经过容器最低点时受到的支持力为FN,根据牛顿第二定律得FN-m2g=m232 解得FN=35 32313mg 由牛顿第三定律知,小球2对容器的压力大小也为35 32313mg,方向向下.教师备用习题