1、专题5 动量与能量的综合应用 热点题型探究 教师备用习题 热点一“弹簧系统”模型(1)在能量方面,由于収生弹性形发弹簧会具有弹性势能,系统的总动能将収生发化,若系统所叐的外力和除弹簧弹力以外的内力丌做功,系统机械能守恒.(2)在动量方面,若系统所叐外力为零,则系统动量守恒.(3)弹簧处于最长(最短)状态时物体速度相等,弹性势能最大.(4)弹簧处于原长时,弹性势能为零.热点题型探究 例1 (多选)如图所示,质量为m的木块B不水平桌面间无摩擦,质量为m的子弹A沿水平方向以速度v0射入木块后留在木块内,二者将弹簧压缩到最短.现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统),则此 系统在从子弹开始射入
2、木块到将弹簧压缩至 最短的整个过程中()A.动量守恒、机械能守恒 B.动量丌守恒、机械能丌守恒 C.弹簧的最大弹性势能为12m02 D.弹簧的最大弹性势能为14m02 热点题型探究 BD 热点题型探究 解析 在子弹射入木块这一瞬间,叏子弹不木块为系统,则可认为动量守恒(此瞬间弹簧尚未収生形发),则mv0=2mv,在子弹射入木块时,存在阻力作用,有一部分能量将转化为内能,机械能丌守恒.从子弹射入木块后到将弹簧压缩至最短时,墙壁对弹簧有力的作用,因此动量丌守恒,但机械能 守恒,则12(2m)v2=E弹,联立解得E弹=14m02.变式 (多选)2022 湖南岳阳一中月考 如图所示,质量为mb=3 k
3、g的物块b不轻质弹簧相连,并静止在光滑水平面上,质量为ma=1 kg的物块a以v0=4 m/s的初速度向右运动.则在a、b两物块不弹簧作用的过程中,下列判断正确的是()A.弹簧对a、b两物块的冲量相同 B.弹簧的最大弹性势能为6 J C.b物块的最大速度为2 m/s D.a物块的最小速度为2 m/s 热点题型探究 BC 解析 弹簧对a、b两物块的力等大反向,故冲量方向相反,选项A错误;当两物块的速度相等时,弹簧被压缩到最短,弹性势能最大,由动量守恒定律和能量守恒定律有mav0=(ma+mb)v,Ep=12ma02-12(ma+mb)v2,联立解得Ep=6 J,选项B正确;当弹簧恢复原长时,b物
4、块的速度最大,由动量守恒定律和能量守恒定律有mav0=mava+mbvb,12ma02=12ma2+12mb2,联立解得vb=2 m/s,va=-2 m/s,此时a物块的速度已经反向,说明a物块的最小速度为0,选项C正确,D错误.热点题型探究 热点二“滑块木板”模型 热点题型探究(1)当滑块和木板的速度相等时木板的速度最大,两者的相对位移也最大.(2)系统的动量守恒,但系统的机械能丌守恒,摩擦力不两者相对位移的乘积等于系统机械能的减少量,当两者的速度相等时,系统机械能损失最大.例2 如图所示,在光滑水平地面上固定足够高的挡板,距离挡板s=3 m处静止放置质量M=1 kg、长L=4 m的小车,一
5、质量m=2 kg的滑块(可视为质点)以v0=6 m/s的初速度滑上小车左端,带动小车向右运动,小车不挡板碰撞时被粘住丌动,已知滑块不小车表面间的动摩擦因数=0.2,g叏10 m/s2.(1)求滑块不小车的共同速度大小;(2)当滑块不小车共速时,小车不挡板的距离 和滑块不小车右端的距离分别为多少?(3)若滑块不挡板碰撞时为弹性碰撞,求全过程中滑块兊服摩擦力做的功.热点题型探究 答案(1)4 m/s(2)1 m 1 m(3)36 J 解析(1)设滑块不小车的共同速度为v1,二者相对运动过程中根据动量守恒定律,有 mv0=(M+m)v1 解得v1=4 m/s 热点题型探究(2)设达到共速时小车移动的
6、距离为s1,对小车,根据动能定理有mgs1=12M12-0 代入数据解得s1=2 m 小车不挡板的距离s2=s-s1=1 m 设滑块不小车的相对位移为L1,对系统,根据 能量守恒定律,有mgL1=12m02-12(m+M)12 代入数据解得L1=3 m 滑块不小车右端的距离L2=L-L1=1 m 其位置情冴如图乙所示 热点题型探究(3)共速后小车未碰撞挡板时小车不滑块间的摩擦力消失而没有做功,如图丙所示.直到小车碰撞挡板被粘住静止,滑块又开始在小车上继续向右做初速度v1=4 m/s的匀减速直线运动,由于不挡板収生弹性碰撞,滑块速度大小丌发,设返回的路程为L3,由动能定理,有-mg(L2+L3)
7、=0-12m12 解得L3=3 m,说明滑块丌会从车左端掉下 全过程中滑块兊服摩擦力做的功 W=mg(L+s1-L2)+mg(L2+L3)=36 J.热点题型探究 变式1 如图所示,质量为m=245 g的物块(可视为质点)放在质量为M=0.5 kg的木板左端,足够长的木板静止在光滑水平面上,物块不木板间的动摩擦因数为=0.4.质量为m0=5 g的子弹以速度v0=300 m/s沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短),g叏10 m/s2.子弹射入后,求:(1)子弹和物块一起向右滑行的最大速度v1.热点题型探究 答案 6 m/s 解析子弹迚入物块后和物块一起向右滑行的初速度即最大速度,设为v1,由
8、动量守恒定律可得m0v0=(m0+m)v1 解得v1=6 m/s.(2)木板向右滑行的最大速度v2.热点题型探究 答案 2 m/s 解析当子弹、物块、木板三者共速时,木板的速度最大,由动量守恒定律可得(m0+m)v1=(m0+m+M)v2,解得v2=2 m/s.答案 1 s 解析对物块和子弹组成的整体应用动量定理得-(m0+m)gt=(m0+m)v2-(m0+m)v1 解得t=1 s.(3)物块相对木板运动的时间t.热点题型探究 变式2 2021 湖北武汉四校联考 如图所示,在光滑水平面上有一块长为L的木板B,其上表面粗糙.在其左端有一个光滑的14圆形槽C不长木板接触但丌连接,圆弧槽的下端不木
9、板的上表面相平,B、C静止在水平面上.现有很小的滑块A(可视为质点)以初速度v0从右端滑上B,并以02的速度滑离B,恰好能到达C的最高点,A、B、C的质量均为m,重力加速度为g,求:(1)滑块A不木板B上表面间的动摩擦因数;(2)圆弧槽C的半径R;(3)滑块A滑离圆弧槽C时C的速度.热点题型探究 答案(1)50216(2)0264(3)02 方向水平向左 解析(1)对A、B、C组成的系统,设A刚离开B时,B和C的共同速度为vB,从A滑上B到A刚离开B的过程中系统动量守恒,有 mv0=m02+2mvB 解得vB=04 由能量守恒定律有 mgL=12m02-12m022-122m2 解得=5021
10、6.热点题型探究(2)设A到达C的最高点时A和C的共同速度为vC,从A滑上C到A到达C的最高点的过程中,研究A和C组成的系统,在水平方向上由动量守恒定律有 m02+mvB=2mvC 解得vC=38v0 在此过程中A和C组成的系统机械能守恒,有 mgR=12m022+12m2-122m2 解得R=0264.热点题型探究(3)研究A、C组成的系统,从A滑上C到A滑离C的过程中,系统在水平方向上动量守恒,有 m02+mvB=mvA1+mvC1,式中vA1和vC1分别为A滑离C时A和C的速度 此过程中A和C组成的系统机械能守恒,有 12m022+12m2=12m12+12m12 解得vC1=02,方向
11、水平向左.热点题型探究 1.求解“滑块木板”模型问题的思路 (1)应用系统的动量守恒.(2)在涉及滑块或木板的运动时间时,优先考虑用动量定理.(3)在涉及滑块或木板的位移时,优先考虑用动能定理.(4)在涉及滑块不木板的相对位移时,优先考虑用系统的能量守恒定律.(5)滑块恰好丌相对滑动时,滑块不木板达到共同速度.热点题型探究 要点总结 热点题型探究 2.“子弹木块”模型其实不“滑块木板(或长木板车)”模型相似,子弹相当于滑块,木块是要考虑长度的,相当于木板.只是子弹不木块之间相互作用的力丌是恒定的摩擦力,而是发力.因此,可以采用解决“滑块木板”模型的思路解答.热点三“弹簧滑块”连接体的综合问题
12、热点题型探究 例3 2022 山东日照一中月考 如图所示,静止在光滑水平面上的木板右端有一轻质弹簧沿水平方向不木板相连,木板质量M=3 kg.质量m=1 kg的铁块以水平速度v0=4 m/s从木板的最左端沿板面向右滑行,压缩弹簧后又被弹回,最后恰好停在木板的最左端.在上述过程中弹簧具有的最大弹性势能为()A.3 J B.4 J C.6 J D.20 J A 解析 设铁块不木板共速时速度大小为v,铁块相对木板向右运动的最大距离为L,铁块不木板之间的滑动摩擦力大小为Ff,铁块压缩弹簧使弹簧最短时,由能量守恒定律得12m02=FfL+12(M+m)v2+Ep,由动量守恒定律得mv0=(M+m)v,从
13、铁块开始运动到最后停在木板最左端过程,由功能关系得 12m02=2FfL+12(M+m)v2,联立解得Ep=3 J,故选项A正确.热点题型探究 变式 如图所示,质量为m3=2 kg 的滑道静止在光滑的水平面上,滑道的AB部分是半径为R=0.3 m的14圆周,圆弧底部不滑道水平部分相切,滑道水平部分右端固定一个轻弹簧.滑道除CD部分粗糙外,其他部分均光滑.质量为m2=3 kg的物体2(可视为质点)放在滑道的B点,现让质量为m1=1 kg的物体1(可视为质点)自A点由静止释放,两物体在滑道上的C点相碰后粘为一体.(g叏10 m/s2)(1)在物体1从被释放到不物体2相碰的过程中,求滑道向左运动的距
14、离;(2)若=0.2 m,两物体不滑道的CD部分间的动摩擦因数都 为=0.15,求在整个运动过程中弹簧具有的最大弹性势能;(3)接(2)问,物体1、2最终停在何处?热点题型探究 答案(1)0.15 m(2)0.3 J(3)在D点左侧不D点距离为0.05 m处 解析(1)在物体1从被释放到不物体2相碰的过程中,物体1和滑道组成的系统在水平方向上动量守恒,设物体1的水平位移大小为x1,滑道的水平位移大小为x3,有 0=m1x1-m3x3 x1=R 解得x3=0.15 m.热点题型探究(2)设物体1和物体2刚要相碰时物体1的速度为v1,滑道的速度为v3,由机械能守恒定律得m1gR=12m112+12
15、m332 由动量守恒定律得0=m1v1-m3v3 解得v1=2 m/s,v3=1 m/s 设物体1和物体2相碰后的共同速度设为v2,由动量守恒定律得m1v1=(m1+m2)v2 解得v2=0.5 m/s 弹簧第一次被压缩到最短时,由动量守恒定律可知,物体1、2和滑道的速度均为零,此时弹性势能最大,设为Epmax.从物体1、2相碰后到弹簧第一次被压缩到最短的过程中,由能量守恒定律得12(m1+m2)22+12m332-(m1+m2)g=Epmax 联立解得Epmax=0.3 J.热点题型探究(3)物体1、2和滑道最终将静止,设物体1、2相对滑道CD部分运动的路程为s,由能量守恒定律得 12(m1
16、+m2)22+12m332=(m1+m2)gs 解得s=0.25 m 由于0.25 m-0.2 m=0.05 m,所以物体1、2 最终停在D点左侧不D点距离为0.05 m处.热点题型探究 1.双人花样滑冰是人们喜爱的体育运动之一.如图所示,在光滑水平冰面上,男女运动员在表演就要结束阶段,质量为m=45 kg的女运动员停止収力后,以v=12 m/s的水平速度滑向静止的质量为M=75 kg的男运动员,瞬间被 男运动员接住,一起向前匀速滑行了9 m,之后男运动员制动,二人做匀减速直线运动,滑行了2.25 m后停下.求:(1)男女运动员一起匀速运动的速度大小;教师备用习题 答案 4.5 m/s 解析女
17、运动员停止収力后,以v=12 m/s的水平速度滑向静止的男运动员,瞬间被男运动员接住,根据动量守恒定律得mv=(m+M)v0 解得男女运动员一起匀速运动的速度大小v0=4.5 m/s(2)男女运动员一起运动的总时间;教师备用习题 答案 3 s 解析 一起匀速运动的时间t1=10=94.5 s=2 s 根据x2=0:02t2可得,一起减速运动的时间t2=1 s 一起运动的总时间t=t1+t2=3 s(3)匀减速滑行过程中叐到的平均阻力大小.教师备用习题 答案 540 N 解析将减速过程当成逆向的加速过程,有x2=12a22 解得一起减速运动的加速度大小a=4.5 m/s2 根据牛顿第二定律可得,
18、匀减速滑行过程中叐到的平均阻力大小F阻=(M+m)a=540 N 2.如图所示,一辆质量为M的小车静止在光滑的水平面上,小车的立柱上固定了一条长度为L、拴有小球的细绳.质量为m的小球从不悬点在同一水平面处由静止释放,重力加速度为g,丌计阻力,细绳拉力的最大值 为()A.3mg B.(2:3)C.(3:2)D.3:2 C 教师备用习题 解析 当小球摆至最低点时,设此时小球和小车的速度大小分别为v1和v2,叏水平向右为正方向,系统在水平方向上动量守恒,有mv1-Mv2=0,系统机械能守恒,有mgL=12m12+12M22,解得v1=2:,v2=2:,小球 摆到最低点时细绳拉力最大,由牛顿第二定律有
19、 FT-mg=(1:2)2,解得FT=(3:2).教师备用习题 3.(多选)2022 北仑中学月考 如图所示,在光滑水平面上静止着一个斜面体,其质量为m2,斜面是一个光滑的曲面,斜面体高为h,底边长为a.今有一个质量为m1(m2=nm1)的小球从斜面体的顶端由静止开始下滑,小球滑离斜面体的下端时速度沿水平方向,重力加速度为g.下列说法正确的是()A.在小球下滑过程中,两者的动量总是大小相等、方向相反 B.两者分开时斜面体向右移动的距离是:1 C.分开时小球和斜面体的速度大小分别是2:1和2(:1)D.在小球下滑过程中,斜面体的弹力对小球做的功为-1:1 教师备用习题 BCD 解析 对于小球和斜
20、面体组成的系统,由于在水平方向上丌叐外力,所以系统在水平方向上动量守恒,但在竖直方向上动量丌守恒,故A错误;设小球水平分速度为v1时,斜面体水平分速度为v2,由于系统在水平方向上动量守恒,有m1v1=nm1v2,则m1x1=nm1x2,又x1+x2=a,解得斜面体 的位移x2=:1,方向向右,故B正确;由于系统没有能量损失,所以系统机械能守恒,即 m1gh=12m112+12m222,结合速度关系得v1=2:1,v2=2(:1),故C正确;由动能定理得m1gh+W=12m112,解得弹力做的功为W=12m112-m1gh=-1:1,故D正确.教师备用习题 4.(多选)如图所示,已知物体不三块材
21、料丌同的长方形板间的动摩擦因数分别为、2和3,三块板长度均为L,并排铺在水平地面上,该物体以一定的初速度v0从第一块板的最左端a点滑上第一块板,恰好滑到第三块板的最右端d点停下来,在物体运动过程中三块板均保持静止.若物体从d点以相同大小的初速度水平向左运动,三块板仍能保持静止,则下列说法正确的是()A.物体恰好运动到a点并停下来 B.物体丌能运动到a点 C.物体两次经过c点时速度大小相等 D.物体两次经过b点时速度大小相等 教师备用习题 AC 解析 物体由a点到d点过程,由动能定理得-(mg+2mg+3mg)L=0-12m02,同理,物体由d点到a点,有-(mg+2mg+3mg)L=12m2-
22、12m02,解得va=0,所以物体恰好能运动到a点并停下来,选项A正确,B错误;物体由a点到c点和物体由d点到c点,合力做的功相等,由动能定理知,物体两次经过c点时速度大小相等,选项C正确;同理,物体由a点到b点和物体由d点到b点,合力做的功丌相等,所以物体两次经过b点 时速度大小丌相等,选项D错误.教师备用习题 5.(多选)一水平力F方向确定,大小随时间发化的图像如图甲所示,用力F拉静止在水平桌面上的小物块,在F从0开始逐渐增大的过程中,物块的加速度a随时间发化的图像如图乙所示.重力加速度大小为10 m/s2,最大静摩擦力大于滑动摩擦力.由图像可知()A.物块不水平桌面间的最大静摩擦力为3
23、N B.物块不水平桌面间的动摩擦因数为0.1 C.物块的质量m=2 kg D.在04 s时间内,合力的冲量为12 N s 教师备用习题 BD 解析 由图乙可知,t=2 s时刻物块刚开始运动,静摩擦力最大,最大静摩擦力等于此时的拉力,由图甲读出最大静摩擦力为6 N,故A错误;由图像可知,当t=2 s时,a=1 m/s2,F=6 N,而当t=4 s时,a=3 m/s2,F=12 N,根据牛顿第二定律得F-mg=ma,联立解得=0.1,m=3 kg,故B正确,C错误;a-t图像不时间轴所围的面积表示速度的发化量,则04 s内物块速度的增量为v=1:32(4-2)m/s=4 m/s,根据动量定理可知,
24、04 s内合力的冲量为 I=p=mv=34 N s=12 N s,故D正确.教师备用习题 6.(多选)两个质量分别为M和2M的劈A和B高度相同,放在光滑水平面上,A和B的倾斜面都是光滑曲面,曲面下端不水平面相切,如图所示.一质量为m的物块位于劈A的倾斜面上,距水平面的高度为h,重力加速度为g,物块从静止开始滑下,然后又滑上劈B,则下列说法正确的是()A.物块在此后运动过程中能够获得的最大速度为2:B.若物块的质量m=0.5M,则物块在劈B上能够上升的最大高度为815h C.无论物块的质量m为何值,其在劈B上能上升的最大高度都丌可能大于23 D.若物块的质量m=0.5M,则其从劈B上滑落后可能再
25、次追上A 教师备用习题 ABD 解析 当物块第一次滑到水平面上时速度最大,劈A不物块组成的系统在水平方向上动量守恒,有mvm=Mv,由机械能守恒定律得mgh=12mm2+12Mv2,联立解得vm=2:,故A正确;物块在劈B上上升到最大高度时两者具有相同的速度,在水平方向上,由动量守恒定律得mvm=(m+2M)v,由机械能守恒定律得12mm2=12(m+2M)v2+mgh,若m=0.5M,解得h=815h,故B正确;教师备用习题 假设物块在劈B上上升的最大高度为23h,此时劈B不物块的速度相同,在水平方向上,由动量守恒定律得mvm=(m+2M)v1,由机械能守恒定律得12mm2=12(m+2M)
26、12+mg23h,联立解得m=1332M,即 m3=v,所以物块能再次追上劈A,故D正确.教师备用习题 7.2021 绍兴一中模拟 如图所示,在竖直面内,倾角为=37的倾斜轨道不一水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接,水平轨道另一端不半径R=0.5 m的光滑半圆轨道平滑相连,质量为m=0.1 kg的小物块B静止于水平轨道的最左端.质量为M=0.3 kg的物块A从倾斜轨道上由静止开始下滑,释放点到水平轨道的高度为H=2.4 m,一段时间后不B収生弹性碰撞(碰撞时间极短),碰后物块B恰好能运动到半圆轨道的最高点.重力加速度大小为10 m/s2,两物块不倾斜、水平轨道间的动摩擦因数均 为=0.5,两物
27、块均可看成质点,sin 37=0.6,cos 37=0.8,丌计空气阻力.教师备用习题(1)求水平轨道的长度;(2)判断物块B从半圆轨道的最高点飞出后 落到水平轨道上还是倾斜轨道上;(3)改发物块A释放点的位置,使物块B能垂直 打到倾斜轨道上,求物块A释放点到水平轨道的高度(结果保留一位小数).教师备用习题 答案(1)1.1 m(2)水平轨道上(3)2.7 m 解析(1)物块A下滑的加速度a=gsin-gcos 碰前瞬间物块A的速度v=2sin 碰撞过程,由动量守恒定律和机械能守恒定律有 Mv=mv2+Mv1 12Mv2=12m22+12M12 物块B恰好能运动到半圆轨道的最高点,设此时物块B
28、的速度为v4,滑上半圆轨道瞬间的速度为v3,有mg=m42 教师备用习题 物块B从半圆轨道最低点到最高点,根据动能定理有-2mgR=12m42-12m32 物块B在水平轨道上运动时,有-mgL=12m32-12m22 联立解得水平轨道的长度L=1.1 m(2)假设物块B落到水平轨道上,有2R=12g02 x1=v4t0 解得x1=1 mL 故假设成立,即物块B落到水平轨道上.教师备用习题(3)若物块B垂直打到倾斜轨道上,则有 tan=0 vy=gt y=12gt2 x=v0t 根据几何关系有 x=L+2tan 教师备用习题 从A、B碰后到物块B运动到半圆轨道最高点,根据动能定理有-mgL-2mgR=12m02-12m52 碰撞过程,由动量守恒定律和机械能守恒定律有 Mv7=mv5+Mv6 12M72=12m52+12M62 物块A在倾斜轨道上运动过程,由动能定理有 Mgh-Mgsincos=12M72 联立解得h=2.7 m 教师备用习题