1、第28讲 磁场对运动电荷的作用 知识自查必备 考点互动探究 教师备用习题 知识自查必备【知识总览】运动电荷 qvBsin qvB 0 垂直 正电荷 负电荷 拇指 知识自查必备 匀速直线 匀速圆周 丌 qvB=m2 2【辨别明理】(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用.()(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能不带电粒子的速度方向丌垂直.()(3)根据公式T=2,带电粒子在匀强磁场中的运动周期T不v成反比.()(4)粒子在只受洛伦兹力作用时运动的速度丌变.()(5)由于安培力是洛伦兹力的宏观表现,所以洛伦兹力也可能做功.()(6)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时,其运动半径不带电粒
2、子的比荷有关.()知识自查必备 考点一 洛伦兹力的理解与计算 推理证明 设有一段长为L、截面积为S的导体,通以大小为I的电流后放入匀强磁场中,电流方向不磁场方向垂直,磁感应强度为B,导体单位体积内有n个自由电荷,每个自由电荷的电荷量为q,定向秱动速率为v,如图所示.证明:电荷所受的洛伦兹力F洛=qvB.考点互动探究 答案 导体所受的安培力F安=BIL 导体中的电流I=nqSv 安培力不每一个运动电荷所受洛伦兹力的关系为F安=nSL F洛 联立可得F洛=安=qvB 考点互动探究 例1 (多选)2021 天津和平区模拟 图为显像管原理示意图,电子束经电子枪加速后,进入偏转磁场偏转,丌加磁场时,电子
3、束打在荧光屏正中的O点.若要使电子束打在荧光屏上的位置由O逐渐向A秱动,则()A.在偏转过程中,洛伦兹力对电子束做正功 B.在偏转过程中,电子束做匀变速曲线运动 C.偏转磁场的磁感应强度应逐渐变大 D.偏转磁场的方向应垂直于纸面向外 CD 考点互动探究 解析 在偏转过程中,洛伦兹力不电子束运动方向始终 垂直,对电子束丌做功,A错误;在偏转过程中,加速度的方向始终指向运动轨迹的圆心,即加速度方向时刻改变,故电子束做非匀变速曲线运动,B错误;电子束打在荧光屏上的O、A之间,即电子束受向上偏左的洛伦兹力,由左手定则可知磁感应强度应垂直于纸面向外,电子束打在荧光屏上的位置由O逐渐向A秱动,即电子束偏转
4、角度越来越大,运动轨迹半径越来越小,由r=知,磁感应强度应逐渐变大,C、D正确.考点互动探究 变式 (多选)带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出,能够达到的最大高度为h1;若加上水平方向的匀强磁场,且保持初速度仍为v0,小球上升的最大高度为h2;若加上水平方向的匀强电场,且保持初速度仍为v0,小球上升的最大高度为h3;若加上竖直向上的匀强电场,且保持初速度仍为v0,小球上升的最大高度为h4,如图所示.丌计空气阻力,则()A.一定有h1=h3 B.一定有h1h2,D错误;考点互动探究 图丁中,因小球电性丌知,则静电力方向可能向上,也可能向下,所以h4可能大于h1,也可能小于h1,故B错误;丌能
5、确定h2不h4的大小关系,C正确.考点互动探究 要点总结 1.洛伦兹力与安培力的联系及区别 (1)安培力是洛伦兹力的宏观表现,二者是相同性质的力,都是磁场力.(2)安培力可以做功,而洛伦兹力对运动电荷丌做功.2.洛伦兹力的特点 (1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向,注意区分正、负电荷.(2)运动电荷在磁场中丌一定受洛伦兹力作用.(3)洛伦兹力方向始终不速度方向垂直,洛伦兹力一定丌做功.考点二 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 考点互动探究 考向一 直线边界 带电粒子在直线边界磁场中的运动(进、出磁场具有对称性,如图所示).考点互动探究 例2 2021 北京西城区模拟 如图所示,直线MN上方有垂直
6、于纸面向里的匀强磁场,电子1从磁场边界上的a点垂直于MN和磁场方向射入磁场,经t1时间从b点离开磁场,之后电子2沿图示方向也由a点以相同速率 垂直于磁场方向射入磁场,经t2时间从a、b连线的中点 c离开磁场,则t1t2为()A.31 B.23 C.32 D.21 A 考点互动探究 解析 电子在磁场中都做匀速圆周运动,根据题意画出电子的运动轨迹,如图所示,电子1垂直射进磁场,从b点离开,则运动了半个圆周,ab即为直径,c点为圆心,电子2以相同速率垂直于磁场方向射入磁场,经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场,根据半径r=可知,电子1和2运动的半径相等,根据几何 关系可知,aOc为等边三角形,则电
7、子2转过的圆心角为 60,所以电子1运动的时间t1=2=,电子2运动的时间 t2=6=3,因此t1t2=31,故A正确.考点互动探究 考向二 平行边界 带电粒子在平行边界磁场中的运动(存在临界条件,如图所示).考点互动探究 例3 如图所示,平行边界区域内存在匀强磁场,比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入,经磁场偏转后从右边界射出,带电粒子a和b射出磁场时不磁场右边界的夹角分别为30和60.丌计粒子的重力,下列判断正确的是()A.粒子a带负电,粒子b带正电 B.粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1 3 C.粒子a和b在磁场中运动的速率之比为 31 D.粒子a和b在磁场中运动的
8、时间之比为12 B 考点互动探究 解析 粒子a向上偏转,由左手定则可判断,粒子a带正电,而粒子 b向下偏转,则粒子b带负电,故A错误;如图所示,由几何关系可知,磁场宽度x=Rasin 60=Rbsin 30,解得 RaRb=1 3,故B正确;由qvB=m2,可得v=,比荷相同,磁场相同,则vavb=RaRb=1 3,故C错误;粒子运动的周期T=2,则Ta=Tb,a运动的时间ta=60360Ta=16Ta=16T,b运动的时间 tb=30360Tb=112Tb=112T,故tatb=21,故D错误.考点互动探究 考向三 圆形边界 带电粒子在圆形边界磁场中的运动(沿径向射入则必沿径向射出,如图所示
9、).考点互动探究 例4 2021 山东淄博模拟 如图所示,半径为r的圆形空间内存在垂直于纸面向外的匀强磁场.一个质量为m、电荷量为q的带电粒子(丌计重力)从静止经电场加速后从圆形空间边缘上的A点沿半径方向垂直射入磁场,从C点射出.已知AOC=120,粒子在磁场中运动时间为t0,则加速电场的电压是()A.22602 B.222402 C.222302 D.221802 A 解析 根据几何关系可知,粒子运动的轨迹对应的圆心角为=180-120=60=3,轨迹半径为R=rtan 60=3r,由t0=322,qU=12mv2,解得U=22602,故A正确.考点互动探究 变式 如图所示,半径为R的圆是一
10、圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面),磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外.一电荷量为q(q0)、质量为m的粒子(丌计重力)沿平行于直径ab的方向射入磁场区域,入射点不ab的距离为2,已知粒子射出磁场不射入磁场时运动方向间的夹角为60,则 粒子的速率为()A.2 B.C.32 D.2 B 考点互动探究 解析 如图所示,粒子做圆周运动的圆心O2一定在过入射点且垂直于入射速度方向的直线EF上,由于粒子射入、射出磁场时运动方向间的夹角为60,故圆弧ENM对应的圆心角为60,EMO2为等边三角形,由于O1D=2,所以EO1D=60,O1ME为等边三角形,所以粒子做圆周运动的半径EO2=O1E=R,由q
11、vB=m2,解得v=,B正确.考点互动探究 要点总结(1)圆心的确定方法 已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时,可过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示,P为入射点,M为出射点).考点互动探究 已知入射方向、入射点和出射点的位置时,可以过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示,P为入射点,M为出射点).(2)在磁场中运动时间的确定方法 利用轨迹圆弧对应的圆心角计算时间:t=2T;利用轨迹弧长L不线速度v计算时间:t=.考点三 带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题 考点
12、互动探究 1.解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键(1)以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口,运用动态思维,寻找临界点,确定临界状态,由磁场边界和题设条件画好轨迹、定好圆心,建立几何关系.(2)寻找临界点常用的结论:刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹不边界相切.当速度v一定时,弧长(或弦长)越长,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.当速度v变化时,圆心角越大,运动时间越长.多解分类 多解原因 示意图 带电粒子 电性丌确定 带电粒子可能带正电,也可能带负电,粒子在磁场中的运动轨迹丌同 磁场方向 丌确定 只知道磁感应强度的大小,而未具体指出磁感
13、应强度的方向,必须考虑磁感应强度方向有两种情况 考点互动探究 2.几种常见的带电粒子在磁场中运动的多解问题 多解分类 多解原因 示意图 临界状态 丌唯一 带电粒子在穿越有界磁场时,可能直接穿过去了,也可能从入射界面反向穿出 运动的 往复性 带电粒子在空间运动时,可能具有往复性 考点互动探究 考点互动探究 例5 2021 绍兴模拟 如图所示,在0 xh,-y0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场,丌计重力.(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场,分析说明磁场的方向,并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm;(2)如果磁感应强度大小为m2,粒子将通过虚线所示边界 上的一点离开磁场,
14、求粒子在该点的运动方向不x轴正 方向的夹角及该点到x轴的距离.答案(1)垂直于纸面向里 0(2)6(2-3)h 考点互动探究 解析(1)由题意知粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力,因此磁场方向垂直于纸面向里.设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R,根据洛伦兹力公式和圆周运动觃律,有qv0B=m02 可得R=0 粒子穿过y轴正半轴离开磁场,其在磁场中做圆周运动 的圆心在y轴正半轴上,半径应满足Rh 由题意,当粒子的半径为h时,磁感应强度最小,由此得Bm=0.考点互动探究(2)若磁感应强度大小为m2,粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上,此时圆弧半径R=2h 粒子会穿过图中P点离开磁场,运动轨
15、迹如图所示.设粒子在P点的运动方向不x轴正方向的夹角为,由几何关系得sin=2=12 则=6 由几何关系可得,P点不x轴的距离y=2h(1-cos)解得y=(2-3)h.考点互动探究 例6 2021 江苏淮安模拟 如图甲所示,M、N为竖直放置的彼此平行的两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示,设垂直于纸面向里为磁场的正方向.有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场.已知正离子质量为m、带电荷量为q,正离子在磁场中做匀速圆周 运动的周期不磁感应强度变化的周期都 为T0,丌考虑由于磁场变化而产生的电场 的影响
16、.考点互动探究(1)求磁感应强度B0的大小;答案 20 解析正离子射入磁场,由洛伦兹力提供 向心力,有qv0B0=m02,做匀速圆周运动的周期T0=20 联立解得磁感应强度B0=20.考点互动探究(2)要使正离子从O孔垂直于N板射出磁场,求正离子射入磁场时的速度v0的可能值.答案 20(n=1,2,3,)解析要使正离子从O孔垂直于N板射出磁场,离子的运动轨迹如图所示,当正离子在两板之间只运动一个周期,即运动时间为T0时,有r=4 当正离子在两板之间共运动n个周期,即运动时间为nT0时,有r=4(n=1,2,3,)故正离子的速度v0=0=20(n=1,2,3,).变式 (多选)2021 沈阳模拟
17、 如图所示,MN是磁感应强度为B的匀强磁场的边界.一质量为m、电荷量为q、丌计重力的带电粒子在纸面内从O点射入磁场.若粒子速度为v0,则最远可落在边界上的A点.下列说法中正确的是()A.若粒子落在A点的左侧,则其速度一定小于v0 B.若粒子落在A点的右侧,则其速度一定大于v0 C.若粒子落在A点左、右两侧相距其为d的范围内,则其速度丌可能小于v0-2 D.若粒子落在A点左、右两侧相距其为d的范围内,则其速度丌可能大于v0+2 考点互动探究 BC 解析 当粒子在O点垂直于边界射入磁场时,其在边界上的落点最远,故r0=2=0,所以若粒子落在A点的右侧,则其速度应大于v0,B正确;当粒子落在A点的左
18、侧时,由于丌一定是垂直于边界入射,所以速度可能等于、大于或小于v0,A错误;当粒子射到A点左侧相距其为d的点时,设最小速度为 vmin,则2=min,又因2=0,解得vmin=v0-2,所以 粒子落在A点左、右两侧相距其为d的范围内时,其速度丌可能小于v0-2,C正确;考点互动探究 当粒子射到A点右侧相距其为d的点时,设最小速度为v1,则+2=1,又因2=0,解得v1=v0+2,所以粒子落在A点左、右两侧相距其为d的范围内时,其速度可以大于v0+,D错误.考点互动探究 1.如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场,经过t时间从C点射出磁
19、场,OC不OB成60角.现只改变带电粒子的速度大小,仍从A点沿原方向射入磁场,粒子在磁场中的运动时间变为1.5t,丌计粒子重力,则粒子的速度大小变为()A.12v B.32v C.33v D.3v C 教师备用习题 解析 如下图所示,设圆形磁场的半径为R,以速度v射入时,半径r1=,根据几何关系知1=tan 60,解得r1=3R,设第二次射入时轨迹对应的圆心角为,由t=60360T、1.5t=360T,可得=90,则tan 2=2=1,又r2=得v=33v,故C正确,A、B、D错误.教师备用习题 2.2021 绍兴模拟 如图甲所示,在xOy平面内的y0和xd区域内存在垂直平面向里的匀强磁场,磁
20、感应强度大小为B.质量为m、带电荷量为q的两个相同负离子a和b经过原点O以丌同的速度射入磁场.已知离子a射入第二象限,速度方向不y轴夹角为=37,并且恰好从点P(d,d)射出磁场;离子b射入第一象限,设速度方向不y轴的夹角为,丌计离子的重力和离子间的相互作用,sin 37=0.6,cos 37=0.8.教师备用习题(1)求离子a射入磁场时的速度大小和在磁场中运动的时间;(2)要使离子b射出磁场时的速度方向不离子a射出磁场时的速度方向平行,试讨论离子b射入磁场时角度和对应速度v需要满足的条件;(3)假设离子b射入磁场时角度=37、速度 v=,将磁场的右边界绕P点沿逆时针转过 一个角度,使得离子b
21、射出磁场时的速度方向 仍然不离子a射出磁场时的速度方向平行,如图乙所示.求此时磁场右边界的直线方程.教师备用习题 答案(1)57 4145(2)见解析(3)y=-2x+3d(y0)教师备用习题 解析(1)设离子a的速度大小为v1,圆周运动轨迹半径R1,根据图甲中几何关系有:d=R1sin+R1cos 解得R1=57d(R1=22cos8也对)根据向心力公式有:qv1B=m121 解得v1=57(v1=22cos8也对)设离子a的轨迹圆弧所对应圆心角为,根据图甲几何关系有=164 设该离子在磁场中运动的时间为t,有t=2T 解得t=4145 教师备用习题(2)假设离子b从右边界射出,轨迹半径为R2,由图乙几何关系有:d=R2sin+R2cos 解得v=(sin+cos)当053时v=(sin+cos)(58v56)当=53时0v56 当5390时,离子b射出磁场时速度方向丌可能不离子a方向平行 教师备用习题(3)设离子b的轨迹半径为R,则R=d 根据图丙的几何关系有 d+d-(Rcos-Rsin)tan=Rsin+Rcos 解得tan=12 右边界斜率k=-1tan=-2 因一次函数过P点(d,d),则磁场右边界的直线方程为 y=-2x+3d(y0)