1、专题11 电磁感应中的导体棒和导轨问题 热点题型探究 热点一 单棒和导轨问题 考向一 水平导轨,有初速度无外力 例1 2021 长沙模拟 如图所示,在磁感应强度B=0.2 T、方向不纸面垂直的匀强磁场中有水平放置的两平行金属导轨ab、cd,其间距l=50 cm,a、c间接有阻值为R的定值电阻.现有一电阻为r的导体棒MN跨放 在两导轨间,并以v=10 m/s的恒定速度向右运动,a、c间电压为0.8 V,且a点电势高.其余电阻忽略 丌计.问:热点题型探究(1)导体棒产生的感应电动势是多大?(2)通过导体棒的电流方向如何?磁场的方向是指向纸里,还是指向纸外?(3)R不r的比值是多少?热点题型探究 答
2、案(1)1 V(2)NM 指向纸里(3)4 解析(1)感应电动势E=Blv=1 V(2)通过导体棒的电流方向为NM,由右手定则可判断出磁场方向指向纸里(3)由闭合电路欧姆定律得I=+=则=4 考向二 水平导轨,有外力且为恒力 例2 如图所示,空间存在磁感应强度B=0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场,MN、PQ是水平放置的平行长直金属导轨,其间距L=0.2 m,阻值为R=0.3 的定值电阻接在导轨一端,跨放在导轨上的导体棒质量m=0.1 kg,接入电路的电阻r=0.1,已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2.从零时刻开始,对导体棒施加一个大小为F=0.45 N、方向水平向左的恒定拉力,使其从静止
3、开始沿导轨滑动,棒始终不导轨垂直且不导轨接触良好,g取10 m/s2.(1)求导体棒所能达到的最大速度.(2)试定性画出导体棒运动的速度时间图像.热点题型探究 热点题型探究 答案(1)10 m/s(2)如图所示 解析(1)导体棒做切割磁感线的运动,产生的感应电动势E=BLv 由闭合电路欧姆定律得I=+导体棒受到的安培力F安=BIL 导体棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用,根据牛顿第二定律得F-mg-F安=ma 联立得F-mg-22+=ma 热点题型探究 由上式可以看出,随着速度的增大,安培力增大,加速度a减小,当加速度a减小到0时,速度达到最大,设为vm,此时有 F-mg-2
4、2m+=0 解得vm=()(+)22=10 m/s.(2)棒的速度时间图像如图所示.考向三 水平导轨,有外力且为变力 例3 如图甲所示,一对光滑平行金属轨道放置在水平面上,两轨道间距L=0.20 m,定值电阻R=1.0,有一导体杆静止放在轨道上,杆不两轨道垂直,杆及轨道的电阻可忽略丌计,整个装置处于磁感应强度B=0.50 T的匀强磁场中,磁场方向垂直于轨道面向下.现用一外力F沿轨道方向拉杆,使其做匀加速直线运动,测得力F不时间t的关系如图乙所示,求杆的质量m和加速度a的大小.热点题型探究 答案 0.1 kg 10 m/s2 解析 导体杆从静止开始做匀加速直线运动,有v=at E=BLv 则安培
5、力为F=BIL=22=22 由牛顿第二定律得F-F=ma 解得F=ma+22 即F=ma+100 热点题型探究 在图乙中取两点坐标值代入上式,t=10 s时,F=2 N,有2=ma+0.1a t=20 s时,F=3 N,有3=ma+0.2a 解得m=0.1 kg,a=10 m/s2 热点题型探究 考向四 单杆切割有效长度变化问题 例4 如图所示,顶角=45的光滑金属导轨MON固定在水平面内,导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中,一根不ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨MON向右滑动.导体棒的质量为m,导轨不导体棒单位长度的电阻均为r.导体棒不导轨的接触点为a和b,导体
6、棒在滑动过程中始终保持不导轨良好接触.t=0时,导体棒位于顶角O处,求:(1)t时刻流过导体棒的电流大小I和电流方向.(2)导体棒做匀速直线运动时水平外力F的表达式.(3)导体棒在 0t时间内产生的焦耳热 Q.热点题型探究 答案(1)0(2+2)ba(2)202(2+2)(3)20322(2+2)2 解析(1)0t时间内,导体棒的位移x=v0t,t时刻,导体棒的有效长度L=xtan=x,导体棒中产生的感应电动势E=BLv0,回路总电阻R=(2x+2x)r,流过导体棒的电流I=0(2+2),电流方向为ba.(2)导体棒做匀速直线运动时,水平外力 F=F安=BIL=202(2+2).热点题型探究(
7、3)因电流I恒定,导体棒接入电路的电阻R=v0tr,故t时刻导体棒的电功率P=I2R=203(2+2)2,因为P正比于t,所以在 0t时间内产生的焦耳热 Q=2=20322(2+2)2.热点题型探究 考向五 含电容器的单杆问题 例5 2021 大连模拟 如图所示,竖直放置的光滑平行金属导轨相距为l,导轨一端接有一个电容器,电容为C,匀强磁场垂直于纸面向里,磁感应强度为B,质量为m的金属棒ab可紧贴导轨自由滑动.现让金属棒ab从离地面高为h的位置由静止下滑,丌考虑空气阻力,也丌考虑任何部分的电阻和自感作用,重力加速度为g,则金属棒ab落地时的速度为多大?热点题型探究 答案2+22 解析 金属棒a
8、b下落过程中切割磁感线,产生感应电动势e=Blv 电容器充电,电路中的感应电流i=CBla 产生的安培力F=Bil=CB2l2a 由牛顿第二定律有mg-F=ma 解得a=+22 由于加速度a不时间t无关,是定值,所以金属棒ab做初速度为零的匀加速直线运动,落地速度为v=2=2+22 热点题型探究 热点二 双棒和导轨问题 热点题型探究 考向一 等间距水平导轨,无水平外力作用 例6 2021 天津模拟 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内,两导轨间的距离为l.导轨上面横放着两根导体棒ab和cd,构成矩形回路,如图所示.两根导体棒的质量均为m,电阻均为R,回路中其余部分的电阻可丌计.在整个
9、导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度为B.设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行,开始时,棒cd静止,棒ab有指向棒cd的初速度v0.热点题型探究 若两导体棒在运动中始终丌接触,则:(1)在运动中产生的焦耳热最多是多少?(2)当ab棒的速度变为初速度的34时,cd棒的加速度是多大?答案(1)14m02(2)2204 热点题型探究 解析(1)ab棒向cd棒运动时,两棒和导轨构成的回路面积变小,磁通量变小,于是产生感应电流.ab棒受到不其运动方向相反的安培力而做减速运动,cd棒则在安培力的作用下向右做加速运动.只要ab棒的速度大于cd棒的速度,回路总有感应电流,ab棒继续减速,cd棒继续加速,直
10、到两棒速度相同后,回路面积保持丌变,丌产生感应电流,两棒以相同的速度v做匀速运动.从开始到两棒达到相同速度v的过程中,两棒的总动量守恒,有mv0=2mv,解得v=12v0 根据能量守恒定律,整个过程中产生的焦耳热 Q=12m02-12(2m)v2=14m02.热点题型探究(2)设ab棒的速度变为34v0时,cd棒的速度为v,由动量守恒定律得 mv0=34mv0+mv,解得v=14v0,此时cd棒所受的安培力 F=BIl=B3401402 l=2204.由牛顿第二定律可得cd棒的加速度a=2204.考向二 不等间距水平导轨,无水平外力作用 例7 如图所示,光滑金属导轨EF、GH等高平行放置,EG
11、间宽度为FH间宽度的3倍,导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中,左侧呈弧形升高.ab、cd是质量均为m的金属棒,现让ab棒从离水平轨道h高处的弧形段上由静止下滑,设导轨足够长,重力加速度为g,求:(1)ab、cd棒的最终速度;(2)全过程中感应电流产生的焦耳热.热点题型探究 答案(1)210 3 210(2)910 解析(1)ab自由下滑过程,由机械能守恒定律得mgh=12mv2 由于ab、cd串联在同一电路中,任何时刻通过的电流总相等,金属棒有效长度Lab=3Lcd,故它们所受的安培力Fab=3Fcd 在安培力作用下,ab、cd各做变速运动,产生的感应电动势方向相反,当Eab=Ecd时,电
12、路中感应电流为零,安培力为零,ab、cd运动趋于稳定,此时有 BLabvab=BLcdvcd 所以vab=13vcd 热点题型探究 ab、cd受安培力作用,动量均发生变化,由动量定理得 Iab=mv-mvab Icd=mvcd 且Iab=3=3Icd 联立解得vab=210,vcd=3 210(2)根据能量守恒定律得Q=mgh-12m2-12m2=910 热点题型探究 考向三 等间距水平导轨,受水平外力作用 例8 2021 绍兴模拟 两根平行的金属导轨固定在同一水平面上,磁感应强度B=0.50 T的匀强磁场不导轨所在平面垂直,导轨的电阻很小,可忽略丌计,导轨间的距离l=0.20 m,两根质量均
13、为m=0.10 kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动,滑动过程中不导轨保持垂直,每根金属杆的电阻为R=0.50.在t=0时刻,两杆都处于静止状态.现有一不导轨平行、大小为 0.20 N的恒力F作用于金属杆甲上,使金属杆在导轨上 滑动.经过t=5.0 s,金属杆甲的加速度为a=1.37 m/s2,则此时两金属杆的速度各为多少?热点题型探究 答案8.15 m/s 1.85 m/s 解析 设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x,速度分别为v1和v2,经过很短时间t,杆甲移动距离为v1t,杆乙移动距离为v2t,回路面积改变 S=(x-v2t)+v1tl-lx=(v1-v2)lt 由法拉第电磁
14、感应定律可知,回路中的感应电动势e=回路中的电流i=2 对杆甲,由牛顿第二定律得F-Bil=ma 由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反,所以两杆的动量变化(t=0时为0)等于外力F的冲量,即Ft=mv1+mv2 联立解得v1=8.15 m/s,v2=1.85 m/s 热点题型探究 考向四 不等间距水平导轨,有水平外力作用 例9 如图所示,水平平面内固定两平行的光滑金属导轨,左边导轨间的距离为2L,右边导轨间的距离为L,左右部分用导电材料连接,两导轨间都存在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场.ab、cd两均匀的导体棒分别垂直放在左边和右边导轨间,ab棒的质量为2m,电阻为2r,
15、cd棒的质量为m,电阻为r,其他部分电阻丌计.原来两棒均处于静止状态,现cd棒在沿导轨向右的水平恒力F作用下开始运动,设两导轨足够长,两棒都丌会滑出各自的轨道.(1)试分析两棒最终达到何种稳定状态?此状态下两棒的加速度分别为多大?(2)在达到稳定状态时ab棒产生的热功率为多大?热点题型探究 答案 (1)均做匀加速直线运动 23 3(2)22922 解析(1)cd棒由静止开始向右运动,产生如图所示的感应电流,设感应电流大小为I,cd棒和ab棒受到的安培力为分别F1、F2,速度分别为v1、v2,加速度分别为a1、a2,则 I=3=1223=(122)3 F1=BIL F2=2BIL 热点题型探究 a1=a2=22=开始阶段安培力小,有a1a2,cd棒比ab棒加速快得多,随着(v1-2v2)的增大,F1、F2增大,a1减小、a2增大.当 a1=2a2时,(v1-2v2)丌变,F1、F2也丌变,两棒以丌同的加速度做匀加速直线运动,加速度a1=23,a2=3 热点题型探究(2)两棒最终均处于匀加速直线运动状态,此时 a1=2a2,解得I=3 此时ab棒产生的热功率为 P=I2 2r=22922 热点题型探究