1、专题14 直线与圆1、（2021年全国新高考卷数学试题）已知点在圆上，点、，则（ ）A点到直线的距离小于B点到直线的距离大于C当最小时，D当最大时，2、（2020全国文）在平面内，是两个定点，是动点若，则点的轨迹为（ ）A圆 B椭圆 C抛物线 D直线3、（2020全国文8）点(0，1)到直线距离的最大值为（ ）A 1B C D 24、（2020新课标文）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A 1B 2C 3D 45、（2020新课标文理5）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）A B C D6、（2020全国理11】已知，直线，为上的动点，过点作的
2、切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）ABCD7、【2022年全国甲卷】设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在M上，则M的方程为_8、【2020年高考天津卷12】已知直线和圆相交于两点若，则的值为_9、【2022年全国甲卷】若双曲线y2-x2m2=1(m0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切，则m=_10、【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_11、【2022年新高考1卷】写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程_12、【2022年新高考2卷】设点A(-2,3)
3、,B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是_13、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C的顶点为坐标原点O焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且已知点，且与l相切（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切判断直线与的位置关系，并说明理由题组一、直线与圆的位置关系1-1、（2022江苏海安高三期末）关于直线与圆，下列说法正确的是（ ）A若与圆相切，则为定值B若，则被圆截得的弦长为定值C若与圆有公共点，则D若，则与圆相交1-2、（2022山东青岛高三期末）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
4、ABCD1-3、（2022山东烟台高三期末）若直线将圆分成的两段圆弧长度之比为1：3，则实数a的值为（ ）A4B4或2C2D2或41-4、（2022河北张家口高三期末）直线与圆交于、两点，则（ ）ABCD1-5、（2022广东广州一模）已知直线与圆，则（）A直线与圆C相离B直线与圆C相交C圆C上到直线的距离为1的点共有2个D圆C上到直线的距离为1的点共有3个题组二、圆与圆的位置关系2-1、（2022山东枣庄高三期末）设与相交于两点，则_2-2、（2022山东淄博三模）（多选）已知圆和圆的交点为，则（）A圆和圆有两条公切线B直线的方程为C圆上存在两点和使得D圆上的点到直线的最大距离为2-3、（2
5、022山东临沂高三期末）（多选题）已知圆：，圆：，在圆上，在圆上，则（ ）A的取值范围是B直线是圆在点处的切线C直线与圆相交D直线与圆相切题组三、圆中的最值问题33-1、（2022湖北省鄂州高中高三期末）已知圆：，过直线：上的一点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）ABCD3-2、（2022河北唐山高三期末）圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（ ）A点P的轨迹方程为B以PM为直径的圆过定点C的最小值为6D若直线PA与圆M切于点A，则3-3、（2021山东日照市高三二模）若实数满足条件，则的范围是（ ）ABCD题组四、直线与圆的综合性问题4-1、（2022山东省淄博实验中学高三期末
6、）在平面直角坐标系中，过直线上任一点做圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（ ）A四边形为正方形时，点的坐标为B四边形面积的最小值为1C不可能为钝角D当为等边三角形时，点的坐标为4-2、（2022山东青岛高三期末）已知为坐标原点，圆，则下列结论正确的是（ ）A圆恒过原点B圆与圆内切C直线被圆所截得弦长的最大值为D直线与圆相离1、（2022河北保定高三期末）若为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）ABCD2、（2022广东清远高三期末）直线被圆截得的最短弦长为（ ）ABCD3、（2022青海西宁二模）已知圆，圆，若圆平分圆的圆周，则正数的值为（）ABCD4、（2022广东罗湖高三期末）阿
7、波罗尼斯（公元前262年公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ）ABCD5、（2021山东青岛市高三三模）（多选题）已知直线，曲线，则下列说法正确的是（ ）A“”是曲线表示圆的充要条件B当时，直线与曲线表示的圆相交所得的弦长为1C“是直线与曲线表示的圆相切的充分不必要条件D当时，曲
8、线与圆有两个公共点6、（2022湖南常德高三期末）已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O：的一条直径，则_7、（2022湖北武昌高三期末）已知圆O的方程为，P是圆C：上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则的取值范围为_8、（2022江苏海门高三期末）在平面直角坐标系xOy中，动直线kxy+2k0，xky20(kR)的交点P的轨迹为C若直线l与轨迹C交于点M，N，且满足1，则点O到直线l的距离的平方的取值范围为_专题14 直线与圆1、（2021年全国新高考卷数学试题）已知点在圆上，点、，则（ ）A点到直线的距离小于B点到直线的距离大于C当最小时，D当最大时，【答案】ACD【解析】圆的
9、圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.2、（2020全国文）在平面内，是两个定点，是动点若，则点的轨迹为（ ）A圆 B椭圆 C抛物线 D直线【答案】A【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，可得：，从而：，结合题意可得：，整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆故选：A3、（2020全国文8）点(0，1)到直线距离的最大值为（ ）A 1B C D 2【答案】B【解析】由可知
10、直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为4、（2020新课标文）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A 1B 2C 3D 4【答案】B【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为5、（2020新课标文理5）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）A B C D【答案】B【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为由题意可得，可得，解得或，圆
11、心的坐标为或，圆心到直线的距离均为，圆心到直线的距离为故选B6、（2020全国理11】已知，直线，为上的动点，过点作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，直线与圆相离依圆的知识可知，四点四点共圆，且，而，当直线时，此时最小即，由解得，以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程，故选D7、【2022年全国甲卷】设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在M上，则M的方程为_【答案】(x-1)2+(y+1)2=5【解析】：点M在直线2x+y-1=0上，设点M为(a,1-2a)，又因为点(3,0)和
12、(0,1)均在M上，点M到两点的距离相等且为半径R，(a-3)2+(1-2a)2=a2+(-2a)2=R，a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2，解得a=1，M(1,-1)，R=5，M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.故答案为：(x-1)2+(y+1)2=58、【2020年高考天津卷12】已知直线和圆相交于两点若，则的值为_【答案】5【解析】因为圆心到直线的距离，由可得，解得9、【2022年全国甲卷】若双曲线y2-x2m2=1(m0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切，则m=_【答案】33【解析】解：双曲线y2-x2m2=1m0的渐近线为y=xm，即xmy=0，不妨取x+my=0
13、，圆x2+y2-4y+3=0，即x2+y-22=1，所以圆心为0,2，半径r=1，依题意圆心0,2到渐近线x+my=0的距离d=2m1+m2=1，解得m=33或m=-33（舍去）故答案为：3310、【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_【答案】x-22+y-32=13或x-22+y-12=5或x-432+y-732=659或x-852+y-12=16925；【解析】依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，若过0,0，4,0，-1,1，则F=016+4D+F=01+1-D+E+F=0，解得F=0D=-4E=-6，所以圆的方
14、程为x2+y2-4x-6y=0，即x-22+y-32=13；若过0,0，4,0，4,2，则F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=0D=-4E=-2，所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0，即x-22+y-12=5；若过0,0，4,2，-1,1，则F=01+1-D+E+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=0D=-83E=-143，所以圆的方程为x2+y2-83x-143y=0，即x-432+y-732=659；若过-1,1，4,0，4,2，则1+1-D+E+F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=-165D=-165E=-2，所以圆的方程为
15、x2+y2-165x-2y-165=0，即x-852+y-12=16925；故答案为：x-22+y-32=13或x-22+y-12=5或x-432+y-732=659或x-852+y-12=16925；11、【2022年新高考1卷】写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程_【答案】y=-34x+54或y=724x-2524或x=-1【解析】圆x2+y2=1的圆心为O0,0，半径为1，圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心O1为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为kOO1=43，所以kl=
16、-34，设方程为y=-34x+t(t0)O到l的距离d=|t|1+916=1，解得t=54，所以l的方程为y=-34x+54，当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0，其中p0，k0，由题意p1+k2=13k+4+p1+k2=4，解得k=-724p=2524，y=724x-2524当切线为n时，易知切线方程为x=-1，故答案为：y=-34x+54或y=724x-2524或x=-1.12、【2022年新高考2卷】设点A(-2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是_【答案】13,32【解析】：A-2,3关于y=a对称的点的
17、坐标为A-2,2a-3，B0,a在直线y=a上，所以AB所在直线即为直线l，所以直线l为y=a-3-2x+a，即a-3x+2y-2a=0；圆C:x+32+y+22=1，圆心C-3,-2，半径r=1，依题意圆心到直线l的距离d=-3a-3-4-2aa-32+221，即5-5a2a-32+22，解得13a32，即a13,32；故答案为：13,3213、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C的顶点为坐标原点O焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且已知点，且与l相切（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切判断直线与的位置关系，并说明理由【解析】（1）依题意设抛物线，所以
18、抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为；（2）设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.题组一、直线与圆的位置关系1-1、（2022江苏海安高三期末）关于直线与圆，下列说法正确的是（ ）A若与圆相切，则
19、为定值B若，则被圆截得的弦长为定值C若与圆有公共点，则D若，则与圆相交【答案】BCD【解析】圆的圆心为，半径为.对于A选项，若与圆相切，则，可得，A错；对于B选项，若，圆心到直线的距离为，此时被圆截得的弦长为，B对；对于C选项， 若与圆有公共点，则，可得，可得，C对；对于D选项，当时，直线的方程为，即，由，可得，即直线过定点，即点在圆内，故直线与圆相交，D对.故选：BCD.1-2、（2022山东青岛高三期末）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题知圆的标准方程为，则圆心坐标为，半径，圆截直线所得弦的长度为4，解得.故选：C.1-3、（2022山东烟台高
20、三期末）若直线将圆分成的两段圆弧长度之比为1：3，则实数a的值为（ ）A4B4或2C2D2或4【答案】D【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径，设直线和圆相交于AB，由较短弧长与较长弧长之比为1：3，则，故，则圆心到直线的距离，即，解得或4，故选：D.1-4、（2022河北张家口高三期末）直线与圆交于、两点，则（ ）ABCD【答案】B【解析】圆心到直线的距离为，圆的半径为，又，故，故选：B.1-5、（2022广东广州一模）已知直线与圆，则（）A直线与圆C相离B直线与圆C相交C圆C上到直线的距离为1的点共有2个D圆C上到直线的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】由圆，可知其圆心坐标为，半径为，
21、圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.故选：BD题组二、圆与圆的位置关系2-1、（2022山东枣庄高三期末）设与相交于两点，则_【答案】【解析】将和两式相减：得过两点的直线方程： ，则圆心到的距离为，所以 ，故答案为：2-2、（2022山东淄博三模）（多选）已知圆和圆的交点为，则（）A圆和圆有两条公切线B直线的方程为C圆上存在两点和使得D圆上的点到直线的最大距离为【答案】ABD【解析】对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确；对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；对于D
22、，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.故选：ABD.2-3、（2022山东临沂高三期末）（多选题）已知圆：，圆：，在圆上，在圆上，则（ ）A的取值范围是B直线是圆在点处的切线C直线与圆相交D直线与圆相切【答案】ABD【解析】圆：的圆心为，半径为1，圆：的圆心为，半径为2，观察图象可得，所以的取值范围是，A对， 点在直线上，又到直线的距离，又圆的半径为1，直线是圆在点处的切线，B对， 点在圆上， ， 到直线的距离，又圆的半径为2，直线与圆相离，C错，圆的圆心为，半径为，点到直线的距离，直线与圆相切，D对，故选：ABD.题组三、圆中的最值问题33-
23、1、（2022湖北省鄂州高中高三期末）已知圆：，过直线：上的一点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】圆：中，圆心，半径设，则，即则（当且仅当时等号成立）故选：A3-2、（2022河北唐山高三期末）圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（ ）A点P的轨迹方程为B以PM为直径的圆过定点C的最小值为6D若直线PA与圆M切于点A，则【答案】ABD【解析】圆M：配方得： ，圆M关于直线对称，直线过圆心.,即点P的轨迹方程为，A正确.由，则，则以PM为直径的圆过定点，B正确.的最小值即为到直线的距离，由于,则，C错误.由于，要使取最小，即取最小值，,，则D正确.故选：A
24、BD3-3、（2021山东日照市高三二模）若实数满足条件，则的范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，则AB的方程为，由切线性质有，解得，故的取值范围为，故选：C题组四、直线与圆的综合性问题4-1、（2022山东省淄博实验中学高三期末）在平面直角坐标系中，过直线上任一点做圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（ ）A四边形为正方形时，点的坐标为B四边形面积的最小值为1C不可能为钝角D当为等边三角形时，点的坐标为【答案】ABC【解析】解：对A：设，由题意，四边形为正方形时，
25、，解得，所以点的坐标为，选项A正确；对B：四边形面积，因为，所以，故选项B正确；对C：由题意，在直角三角形中，由选项B知，所以，因为为锐角，所以，所以，故选项C正确；对D：当为等边三角形时，所以，则，解得或，此时点的坐标为或，故选项D错误；故选：ABC.4-2、（2022山东青岛高三期末）已知为坐标原点，圆，则下列结论正确的是（ ）A圆恒过原点B圆与圆内切C直线被圆所截得弦长的最大值为D直线与圆相离【答案】ABC【解析】A.代入点得恒成立，A正确；B.，即两圆心距离等于两圆半径差，B正确；C. 直线被圆所截得弦长为，即直线被圆所截得弦长的最大值为，C正确；D.圆心到直线的距离，故圆和直线相切或
26、相交，D错误；故选：ABC.1、（2022河北保定高三期末）若为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】圆的圆心为，则.因为，所以，故直线的方程为.故选：A2、（2022广东清远高三期末）直线被圆截得的最短弦长为（ ）ABCD【答案】D【解析】将圆化为一般方程为，因此可知圆C的圆心为，半径为4，因为直线l过定点，所以当圆心到直线l的距离为时，直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为故选：D3、（2022青海西宁二模）已知圆，圆，若圆平分圆的圆周，则正数的值为（）ABCD【答案】A【解析】圆，化为，则圆心，两圆方程相减可得，即为两圆的相交弦方程，因为圆平分圆的圆周，所以圆心在
27、相交弦上，所以，解得或（舍去），故选：A4、（2022广东罗湖高三期末）阿波罗尼斯（公元前262年公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ）ABCD【答案】B【解析】依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d，由圆的性质得：，解得
28、，所以C的长度为.故选：B5、（2021山东青岛市高三三模）（多选题）已知直线，曲线，则下列说法正确的是（ ）A“”是曲线表示圆的充要条件B当时，直线与曲线表示的圆相交所得的弦长为1C“是直线与曲线表示的圆相切的充分不必要条件D当时，曲线与圆有两个公共点【答案】C【解析】对于A，曲线，曲线要表示圆，则或，所以“”是曲线表示圆的充分不必要条件，故A错误；对于B，时，直线，曲线，圆心到直线的距离，所以弦长，故B错误；对于C，若直线与圆相切，圆心到直线的距离，所以“是直线与曲线表示的圆相切的充分不必要条件，C正确；对于D，当时，曲线，其圆心坐标，曲线与圆两圆圆心距离为，故两圆相离，不会有两个公共点，
29、D错误.故选：C.6、（2022湖南常德高三期末）已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O：的一条直径，则_【答案】3【解析】设 ，则,且，则，故答案为：37、（2022湖北武昌高三期末）已知圆O的方程为，P是圆C：上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则的取值范围为_【答案】【解析】如图，设PA与PB的夹角为2，则|PA|=|PB|=，P是圆C：上一点，令,则在上递减，所以当时，此时P的坐标为，当时，此时P的坐标为，的范围为故答案为：.8、（2022江苏海门高三期末）在平面直角坐标系xOy中，动直线kxy+2k0，xky20(kR)的交点P的轨迹为C若直线l与轨迹C交于点M，N，且满足1，则点O到直线l的距离的平方的取值范围为_【答案】【解析】当时，则，得，代入中，有，整理为，经检验不是两动直线的交点，故交点P的轨迹为，且.由对称性，设直线l：，与联立，得，设，则，则，所以有，化简整理得，O到直线l的距离的平方为，若，则，矛盾，故，设，则，故，故，故，故答案为：.