1、专题9 利用导数研究函数的性质1、【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_，_2、【2022年新高考1卷】（多选题）已知函数f(x)=x3-x+1，则（）Af(x)有两个极值点Bf(x)有三个零点C点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D直线y=2x是曲线y=f(x)的切线3、【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2（a0且a1）的极小值点和极大值点若x11，若y=fx-x恰有两个零点，则的可能取值为（ ）A-12B-14C4D6题组三、利用导数研究函数性质的综合性问题3-1、（2022江苏通州高三期末）（多选题）已知函数
2、f(x)ekx，g(x)，其中k0，则（ ）A若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点Q(b，a)在g(x)的图象上B当ke时，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则|AB|的最小值为C当k1时，函数F(x)f(x)g(x)的最小值小于D当k2e时，函数G(x)f(x)g(x)有3个零点3-2、（2022广东铁一中学高三期末）已知直线恒在函数的图象的上方，则的取值范围是（ ）ABCD3-3、（2022湖南常德高三期末）若函数为定义在R上的奇函数，为的导函数，当时，则不等式的解集为（ ）ABC（0，2）D3-4、（2022广东揭阳高三期末）已知函数，过点可作两条直线与函数相切，则下列结论
3、正确的是（ ）ABC的最大值为2D3-5、（2022湖北襄阳高三期末）关于函数有下列四个结论：函数的图象关于点中心对称；函数在定义域内是增函数；曲线在处的切线为；函数无零点；其中正确结论的个数为（ ）A4B3C2D11、（2022广东揭阳高三期末）已知函数fx=exsinx，该函数在处的切线方程为_.2、（2021山东聊城市高三三模）曲线在处的切线的倾斜角为，则_3、（2022湖北武昌高三期末）函数fx=2ex-1-2x的最小值为_4、（2022湖北恩施土家族苗族高中高三期末）函数f(x)=ex-12x2-ax是R上的单调递增函数，则a的取值范围是_5、（2022江苏如东高三期末）函数f(x)
4、=2x-t,x0,-x2-4x-t,x0的解集为1e,+；B函数在0,e单调递增，在e,+单调递减；C当x1e,1时，总有fx0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y=1x，所以y|x=x0=1x0，所以切线方程为y-lnx0=1x0x-x0，又切线过坐标原点，所以-lnx0=1x0-x0，解得x0=e，所以切线方程为y-1=1ex-e，即y=1ex；当x0得x33或x-33，令f(x)0得-33x0，f(33)=1-2390，f-2=-50，即函数fx在33,+上无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令h(x)=x3-x，该函数的定义域为R，h-x=-x3-x=-x3+x=
5、-hx，则h(x)是奇函数，(0,0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；令fx=3x2-1=2，可得x=1，又f(1)=f-1=1，当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-1，当切点为(-1,1)时，切线方程为y=2x+3，故D错误.故选：AC.3、【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2（a0且a1）的极小值点和极大值点若x1x2，则a的取值范围是_【答案】1e,1【解析】解：fx=2lnaax-2ex，因为x1,x2分别是函数fx=2ax-ex2的极小值点
6、和极大值点，所以函数fx在-,x1和x2,+上递减，在x1,x2上递增，所以当x-,x1x2,+时，fx0，若a1时，当x0,2ex0，与前面矛盾，故a1不符合题意，若0a1时，则方程2lnaax-2ex=0的两个根为x1,x2，即方程lnaax=ex的两个根为x1,x2，即函数y=lnaax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，0a1,函数y=ax的图象是单调递减的指数函数，又lna0,y=lnaax的图象由指数函数y=ax向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的lna倍得到，如图所示：设过原点且与函数y=gx的图象相切的直线的切点为x0,lna
7、ax0，则切线的斜率为gx0=ln2aax0，故切线方程为y-lnaax0=ln2aax0x-x0，则有-lnaax0=-x0ln2aax0，解得x0=1lna，则切线的斜率为ln2aa1lna=eln2a，因为函数y=lnaax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，所以eln2ae，解得1eae，又0a1，所以1ea1，若y=fx-x恰有两个零点，则的可能取值为（ ）A-12B-14C4D6【答案】BD【解析】因为函数y=x3与函数交于点(1,1),由函数图象的性质得函数y=(x-a)3与在(1,+)上至多一个交点，由题意，函数f(x)=a-|2x+1|,x1(x-a)3,x1，函数y=f(
8、x),y=x有两个交点，若时，y=f(x)-x恰有两个零点时，如图（1）所示，则满足a-|2(-12)+1|-12a-|21+1|1(1-a)31，解得-12a0；若时，y=f(x)-x恰有一个零点，在时，y=f(x)-x恰有一个零点，则a-|2(-12)+1|=-12(1-a)3-12a-|21+1|1(1-a)31 解得，结合选项，可得的可能取值为-14和6. 故选：BD.题组三、利用导数研究函数性质的综合性问题3-1、（2022江苏通州高三期末）（多选题）已知函数f(x)ekx，g(x)，其中k0，则（ ）A若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点Q(b，a)在g(x)的图象上B当ke时
9、，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则|AB|的最小值为C当k1时，函数F(x)f(x)g(x)的最小值小于D当k2e时，函数G(x)f(x)g(x)有3个零点【答案】ACD【解析】由得，所以是的反函数，它们的图象关于直线对称，A正确；时，由得，所以函数的与直线平行的切线的切点是，到直线的距离是，所以，B错；时，则，是增函数，所以在，即在上存在唯一零点，时，时，即在上递减，在上递增，所以，所以，由对勾函数知在上是减函数，所以，C正确；时，是减函数，也是减函数，它们互为反函数，作出它们的图象，如图，易知它们有一个交点在直线上，在右侧，的图象在轴上方，而的图象在处穿过轴过渡到轴下方，之间
10、它们有一个交点，根据对称性，在左上方，靠近处也有一个交点，因此函数与的图象有3个交点，所以有3个零点，D正确故选：ACD3-2、（2022广东铁一中学高三期末）已知直线恒在函数的图象的上方，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】很明显，否则时，函数单调递减，且时，而当时，不合题意，时函数为常函数，而当时，不合题意，当时，构造函数，由题意可知恒成立，注意到：，据此可得，函数在区间上的单调递减，在区间上单调递增，则：，故，构造函数，则，还是在处取得极值，结合题意可知：，即的取值范围是.故选：A.3-3、（2022湖南常德高三期末）若函数为定义在R上的奇函数，为的导函数，当时，则不等式的解集
11、为（ ）ABC（0，2）D【答案】D【解析】令，则，因为，当时，所以当时，所以在上单调递增，因为为定义在R上的奇函数，所以，所以，所以不等式转化为，因为在上单调递增，所以，所以当时，因为为定义在R上的奇函数，所以当时，不满足，综上，不等式的解集为故选：D3-4、（2022广东揭阳高三期末）已知函数，过点可作两条直线与函数相切，则下列结论正确的是（ ）ABC的最大值为2D【答案】B【解析】设切点为，又，则切线的斜率又 ，即有，整理得，由于过点可作两条直线与函数相切所以关于的方程有两个不同的正根，设为，则，得 ，故B正确，A错误，对于C，取，则，所以的最大值不可能为2，故C错误，对于D，取，则，故
12、D错误.故选：B.3-5、（2022湖北襄阳高三期末）关于函数有下列四个结论：函数的图象关于点中心对称；函数在定义域内是增函数；曲线在处的切线为；函数无零点；其中正确结论的个数为（ ）A4B3C2D1【答案】C【解析】对于函数，有，故的图象关于点中心对称，所以不正确；，而 ，当且仅当x=0时取等号，所以 ，故在定义域内是增函数，故正确； ，故线在处的切线为，即，故正确；由可知，在（-1,0）之间有零点，故错误，故选：C.1、（2022广东揭阳高三期末）已知函数fx=exsinx，该函数在处的切线方程为_.【答案】【解析】对函数求导可得fx=exsinx+cosx，把代入可得f0=1，则切线方程
13、的斜率.又因为，所以切点为，从而可得切线方程为.故答案为：.2、（2021山东聊城市高三三模）曲线在处的切线的倾斜角为，则_【答案】【解析】由题得，所以，所以，所以.故答案为：3、（2022湖北武昌高三期末）函数fx=2ex-1-2x的最小值为_【答案】1【解析】当x-ln2时，2ex-10，此时fx=2ex-1-2x，fx=2ex-2，令得：，令得：-ln2x0，故此时fx=2ex-1-2x在处取得最小值，f0=1；当x-ln2时，2ex-11；综上：函数fx=2ex-1-2x的最小值为1.故答案为：14、（2022湖北恩施土家族苗族高中高三期末）函数f(x)=ex-12x2-ax是R上的单
14、调递增函数，则a的取值范围是_【答案】【解析】由题设，f(x)=ex-x-a，又在 R上的单调递增函数，aex-x恒成立，令y=ex-x，则y=ex-1，当x(-,0)时y0，则递增.ymin=y|x=0=1，故.故答案为：.5、（2022江苏如东高三期末）函数f(x)=2x-t,x0,-x2-4x-t,x0有三个零点x1，x2，x3，且x1x2x3，则x1x2x3的取值范围是_.【答案】0,8【解析】设g(x)=2x,x0,-x2-4x,x0函数f(x)=2x-t,x0,-x2-4x-t,x0有三个零点x1，x2，x3，即y=g(x)的图像与直线y=t有三个交点.作出函数的图像y=g(x)，
15、如图.根据图像可得1t4 则是-x2-4x-t=0的两个实数根，则x1x2=tx3满足2x3-t=0，即x3=log2t所以x1x2x3=tlog2t=tlntln2设ht=tlntln2，则ht=1ln21+lnt由1t0所以ht=tlntln2在1,4上单调递增，所以ht0,8 故答案为：0,86、（2022山东烟台高三期末）若是函数fx=x2+ax+1e-x的极值点，则的极大值为_【答案】4e，【解析】由fx=x2+ax+1e-x，得fx=2x+ae-x-x2+ax+1e-x，因为是函数fx=x2+ax+1e-x的极值点，所以f(-1)=0，即-2+ae-1-a+1e=0，解得a=2，所
16、以fx=x2+2x+1e-x，fx=2x+2e-x-x2+2x+1e-x=(-x2+1)e-x，令f(x)=0，则(-x2+1)e-x=0，得x=1，f(x)和变化情况如下表：(-,-1)-1(-1,1)1f(x)-0+0-递减极小值递增极大值递减所以当时，函数取得极大值f1=4e-1=4e，故答案为：4e7、（2021山东潍坊市高三三模）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）A的周期为B的图象关于对称C的最大值为D在区间在上单调递减【答案】ACD【解析】由于，故A正确；由于，即的图象不关于对称，故B错误；当时，函数单调递增；当或时，函数单调递减；所以，故C正确；由C项分析可知，在上单调
17、递减，故D正确；故选：ACD.8、（2022湖北黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）设函数fx=xlnx，gx=fxx，则下列说法正确的有（ ）A不等式gx0的解集为1e,+；B函数在0,e单调递增，在e,+单调递减；C当x1e,1时，总有fx0)对于A：由g(x)=lnx+1x0，可得lnx-1，解得x1e，所以解集为1e,+，故A正确；对于B：g(x)=1xx-(lnx+1)x2=-lnxx2，令g(x)=0，解得x=1，所以当时，g(x)0，函数为增函数，当x(1,+)时，g(x)0，函数为减函数，故B错误；对于C：当x1e,1时，若fxgx，则f(x)-g(x)0，所以xlnx-lnx+1x0，即x2lnx-lnx-10，函数h(x)为增函数，又h(1)=0+1-1=0，所以h(x)0在x1e,1是恒成立，所以h(x)=x2lnx-lnx-1,x1e,1为减函数，又h(x)max=h1e=-1e20，所以h(x)=x2lnx-lnx-10在x1e,1是恒成立，所以当x1e,1时，总有fx0，函数m(x)为增函数，当x(1,+)时，m(x)0，函数m(x)为减函数，又当时，m(x)-，当时，m(x)0，m(1)=1，所以2a(0,1)，解得a0,12，故D正确.故选：ACD