1、专题7 函数的性质及其应用1、【2022年全国甲卷】函数y=3x-3-xcosx在区间-2,2的图象大致为（）ABCD2、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122f(k)=（）A-21B-22C-23D-243、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（）A-3B-2C0D14、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（
2、）ABCD5、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）ABCD6、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）ABCD7、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（ ）ABCD8、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）设函数,则（ ）A是奇函数，且在(0,+)单调递增B是奇函数，且在(0,+)单调递减C是偶函数，且在(0,+)单调递增D是偶函数，且在(0,+)单调递减9、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）设函数，则f(x)（ ）A是偶函数，且在单调递增
3、B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减10、（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则ABCD题组一 运用函数的性质进行图像的辨析1-1、（2022江苏无锡高三期末）已知函数，则函数的图象可能是（ ）ABCD1-2、（2022广东汕尾高三期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，函数的图象大致为（ ）ABCD1-3、（2022湖南娄底高三期末）函数的图象大致是（）ABCD1-4、（2021天津高三三
4、模）意大利画家列奥纳多达芬奇的画作抱银鼠的女子（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）ABCD题组二 函数的性质2-1、（2022山东烟台高三期末）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）ABCD2-2、（2022江苏如皋高三期末）“函数f(x)sinx(a1)cosx为奇函数”是“a1”的（ ）A充分
5、不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2-3、（2022湖北黄石市有色第一中学高三期末）设，则（ ）ABCD2-4、（2022山东青岛高三期末）已知是定义在R上的偶函数，当x0时，fx=2x-2，则不等式fx2的解集是_；2-5、（2022江苏海门高三期末）写出一个同时具有下列性质的函数fx=_为偶函数；fx1x2=fx1+fx2；当x0,+时，.题组三、函数性质的综合运用3-1、（2021山东青岛市高三二模）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：甲：是奇函数；乙：的图象关于直线对称；丙：在区间上单调递减；丁：函数的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
6、A甲B乙C丙D丁3-2、（2022江苏无锡高三期末）（多选题）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，又称为取整函数.如：，.则下列结论正确的是（ ）A函数是上的单调递增函数B函数有个零点C是上的奇函数D对于任意实数，都有3-3、（2022广东揭阳高三期末）（多选题）已知函数，实数满足不等式，则（ ）ABCD3-4、（2022湖北黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）若两函数的定义域、单调区间、奇偶性、值域都相同，则称这两函数为“伙伴函数”.下列函数中与函数fx=x4不是“伙伴函数”是（ ）A
7、y=2x-1By=x21+x2Cy=x22+cosx-1Dy=lnx1、（2022山东济南高三期末）已知函数的定义域为，则“是偶函数”是“是偶函数”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件2、（2022山东德州高三期末）已知函数，则函数的大致图象为（ ）ABCD3、（2022江苏海安高三期末）（多选题）下列函数在区间上单调递增的是（ ）ABCD4、（2022山东青岛高三期末）（多选题）已知函数fx=x2x+1-xa为偶函数，则（ ）Aa=2B在区间上单调递增C的最大值为0Dfx-16的解集为-1,15、（2022山东德州高三期末）写出一个同时满足的函数fx=_.
8、是偶函数，fx+2=-fx.6、（2022江苏宿迁高三期末）设函数的定义域为，满足fx+1=2fx，且当时，fx=x2-x，则f72的值为_.7、（2022湖北江岸高三期末）函数gx=k-2x1+k2xk1，则fx的最大值为_专题7 函数的性质及其应用1、【2022年全国甲卷】函数y=3x-3-xcosx在区间-2,2的图象大致为（）ABCD【答案】A【解析】令f(x)=(3x-3-x)cosx,x-2,2，则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，所以f(x)为奇函数，排除BD；又当x(0,2)时，3x-3-x0,cosx0，所以f(x)0，排除C
9、.故选：A.2、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122f(k)=（）A-21B-22C-23D-24【答案】D【解析】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g2-x=gx+2，因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+7+f(x-2)=5，即f(x)+f(x-2)=-2，所以f3+f5+f21=-25=
10、-10，f4+f6+f22=-25=-10.因为f(x)+g(2-x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以f(2)=-2-f0=-3.因为g(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因为f(x)+g(2-x)=5，联立得，g2-x+gx+4=12，所以y=g(x)的图像关于点3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g3=6因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1=5-g3=-1.所以k=122f(k)=f1+f2+f3+f5+f21+f4+f6+f22=-1-3-10-10=-24.故选：D3、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f
11、(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（）A-3B-2C0D1【答案】A【解析】因为fx+y+fx-y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f-y=2fy，即fy=f-y，所以函数fx为偶函数，令y=1得，fx+1+fx-1=fxf1=fx，即有fx+2+fx=fx+1，从而可知fx+2=-fx-1，fx-1=-fx-4，故fx+2=fx-4，即fx=fx+6，所以函数fx的一个周期为6因为f2=f1-f0=1-2=-1，f3=f2-f1=-1-1=-2，f4=f-2=f2=-1，f5=f-1=f1=1，
12、f6=f0=2，所以一个周期内的f1+f2+f6=0由于22除以6余4，所以k=122fk=f1+f2+f3+f4=1-1-2-1=-3故选：A4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B5、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）ABCD【答案】D【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对
13、于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.6、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可得：，而，故.故选：C.7、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（ ）ABCD【答案】D 【解析】因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以思路一：从定义入手所以思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期所以故选：D8、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）设函数,则（ ）A是奇函数，且在(0,+)单调递增B是奇函数，且在
14、(0,+)单调递减C是偶函数，且在(0,+)单调递增D是偶函数，且在(0,+)单调递减【答案】A【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增故选：A9、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）设函数，则f(x)（ ）A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上单调递
15、减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.10、（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则ABCD【答案】C【解析】是R的偶函数，又在(0，+)单调递减，故选C题组一 运用函数的性质进行图像的辨析1-1、（2022江苏无锡高三期末）已知函数，则函数的图象可能是（ ）ABCD【答案】A【解析】函数的定义域为：，为奇函数，图象关于原点对称，排除D.时，时，时，.故选：A.1-2、（2022广东汕尾高三期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研
16、究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；又，排除C，故选：A1-3、（2022湖南娄底高三期末）函数的图象大致是（）ABCD【答案】A【解析】解：因为函数，所以函数为偶函数，图像关于y轴对称，所以排除D，又，排除B，C，故选：A.1-4、（2021天津高三三模）意大利画家列奥纳多达芬奇的画作抱银鼠的女子（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”
17、.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）ABCD【答案】C【解析】令，则该函数的定义域为，所以，函数为偶函数，排除B选项.由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，函数的最小值为，排除AD选项.故选：C.题组二 函数的性质2-1、（2022山东烟台高三期末）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则在上单调递减，且，因为，当时，即，此时满足不等式；当时，即，可得，且满足，则，解得；当时，即，可得，且满足，则，解得，综上可得
18、，不等式的解集为.故选：C.2-2、（2022江苏如皋高三期末）“函数f(x)sinx(a1)cosx为奇函数”是“a1”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】函数f(x)sinx(a1)cosx为奇函数,则 ，化简得： ，故，当时，f(x)sinx是奇函数，因此“函数f(x)sinx(a1)cosx为奇函数”是“a1”充要条件，故选:C.2-3、（2022湖北黄石市有色第一中学高三期末）设，则（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，.故选：B.2-4、（2022山东青岛高三期末）已知是定义在R上的偶函数，当x0时，fx=2x-2
19、，则不等式fx2的解集是_；【答案】【解析】当x0时，fx=2x-2，偶函数在0,)上单调递增，且f2=2，所以fx2，即fxf2，x2，解得-2x2.故答案为：.2-5、（2022江苏海门高三期末）写出一个同时具有下列性质的函数fx=_为偶函数；fx1x2=fx1+fx2；当x0,+时，.【答案】-lnx（答案不唯一）【解析】由题意可知函数为偶函数且在上为减函数，可取fx=-lnx，对于，函数fx=-lnx的定义域为xx0，f-x=-ln-x=-lnx=fx，故函数fx=-lnx为偶函数；对于，对任意的非零实数、，fx1x2=-lnx1x2=-lnx1-lnx2=fx1+fx2；对于，当x0
20、,+时，fx=-lnx，则函数在上为减函数.综上所述，函数fx=-lnx满足条件.故答案为：-lnx（答案不唯一）题组三、函数性质的综合运用3-1、（2021山东青岛市高三二模）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：甲：是奇函数；乙：的图象关于直线对称；丙：在区间上单调递减；丁：函数的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是（ ）A甲B乙C丙D丁【答案】D【解析】由连续函数的特征知：由于区间的宽度为2，所以在区间上单调递减与函数的周期为2相互矛盾，即丙、丁中有一个为假命题；若甲、乙成立，即，则，所以，即函数的周期为4，即丁为假命题.由于只有一个假命题，则可得该命题是丁，故选：D.3
21、-2、（2022江苏无锡高三期末）（多选题）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，又称为取整函数.如：，.则下列结论正确的是（ ）A函数是上的单调递增函数B函数有个零点C是上的奇函数D对于任意实数，都有【答案】BD【解析】对于A，在上不是单调增函数，所以A错.对于B，由，可得，所以，若函数要有零点，则，得，因为要想为，必须也为整数，在这个范围内，只有两个点，所以B正确，对于C，不是奇函数，所以C错，对于D，如果我们定义这样一个函数，就会有，同时有，当时，会有，当时，所以D正确，故选：BD.3
22、-3、（2022广东揭阳高三期末）（多选题）已知函数，实数满足不等式，则（ ）ABCD【答案】AC【解析】因为，所以为奇函数，因为，所以上单调递增，由，得，所以，即，因为在R上是增函数，所以，故A正确；因为在上是增函数，所以，故C正确；因为在R上是增函数，所以，故D错误；令，可验证B错误.故选：AC3-4、（2022湖北黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）若两函数的定义域、单调区间、奇偶性、值域都相同，则称这两函数为“伙伴函数”.下列函数中与函数fx=x4不是“伙伴函数”是（ ）Ay=2x-1By=x21+x2Cy=x22+cosx-1Dy=lnx【答案】BD【解析】函数fx=x4的定义域为
23、，单调递增区间为，递减区间为，该函数为偶函数，值域为.对于A选项，令f1x=2x-1，该函数的定义域为，f1x=2x-1,x012x-1,x0，函数f1x=2x-1的单调递增区间为，递减区间为，因为f1x=2x-120-1=0，即函数f1x=2x-1的值域为.f1-x=2-x-1=2x-1=f1x，即函数f1x=2x-1为偶函数，A满足条件；对于B选项，由y=x21+x2可得x2=-yy-10，即yy-10，解得0y1，故函数y=x21+x2的值域为0,1，B不满足条件；对于C选项，令f2x=x22+cosx-1，该函数的定义域为，f2x=x-sinx，令x=x-sinx，则x=1-cosx0
24、且x不恒为零，所以，函数f2x=x-sinx在上单调递增，当时，f2xf20=0，此时函数单调递增，f2xf20=0，故函数的值域为，因为f2-x=-x22+cos-x-1=x22+cosx-1=f2x，即函数为偶函数，C满足条件；对于D选项，函数y=lnx的定义域为xx0，D不满足条件.故选：BD.1、（2022山东济南高三期末）已知函数的定义域为，则“是偶函数”是“是偶函数”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】偶函数的图像关于轴对称，奇函数图像关于原点对称，根据这一特征，若是偶函数，则是偶函数，若是奇函数，也是偶函数，所以“是偶函数”是
25、“是偶函数”的充分不必要条件故选：A2、（2022山东德州高三期末）已知函数，则函数的大致图象为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题可知：函数定义域为，所以，故该函数为奇函数，排除A,C又，所以排除B,故选：D3、（2022江苏海安高三期末）（多选题）下列函数在区间上单调递增的是（ ）ABCD【答案】BC【解析】对于A：为开口向上的抛物线，对称轴为，所以在区间上单调递减，故选项A不正确；对于B：的定义域为，将的图象向右平移一个单位可得，因为在上单调递增，向右平移一个单位可得在上单调递增，所以在区间上单调递增，故选项B正确；对于C：，所以在区间上单调递增，故选项C正确；对于D：是由和复合而成，因
26、为单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，故选项D不正确；故选：BC.4、（2022山东青岛高三期末）（多选题）已知函数fx=x2x+1-xa为偶函数，则（ ）Aa=2B在区间上单调递增C的最大值为0Dfx-16的解集为-1,1【答案】ACD【解析】函数fx=x2x+1-xa为偶函数，所以f-1=f1，即-12-1+1-1a=121+1-1a，解得a=2，所以fx=x2x+1-x2，xR，经检验a=2时为偶函数，故A正确；设x1x20，fx1-fx2=x12x1+1-x12-x22x2+1-x22=x12x1+1-x12-x22x2+1-x22=x1-x21-2x1+x2+x1+x2
27、2x2-2x122x1+12x2+1，因为x1x20，所以x1-x20，2x12x21，所以x1-x11-2x1+x20,x1+x12x2-2x10，即x1-x21-2x1+x2+x1+x22x2-2x122x1+12x2+10，所以fx1-16得fxf1，因为在0,+上是单调递减函数，在-,0单调递增函数，f0=0，可得-1x1，故D正确. 故选：ACD.5、（2022山东德州高三期末）写出一个同时满足的函数fx=_.是偶函数，fx+2=-fx.【答案】cos2x（答案不唯一）【解析】因为fx+2=-fx，所以fx=-fx-2，故fx+2=fx-2，可知函数的最小正周期为4，结合函数为偶函数
28、，可以构造fx=cos2x.故答案为：cos2x6、（2022江苏宿迁高三期末）设函数的定义域为，满足fx+1=2fx，且当时，fx=x2-x，则f72的值为_.【答案】【解析】因为函数的定义域为，满足fx+1=2fx，且当时，fx=x2-x，所以f72=f52+1=2f52=2f32+1=4f32=4f12+1=8f12=814-12=-2，故答案为：7、（2022湖北江岸高三期末）函数gx=k-2x1+k2xk1，则fx的最大值为_【答案】1【解析】x-,1时，fx=ex-1单调递增，fxf1=e1-1=1；时，fx=1x-x+1单调递减，fx11-1+1=1.所以的最大值为1故答案为：1