1、第9章中心对称图形平行四边形一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD2如图，在ABC中，CAB=75，在同一平面内，将ABC绕点A旋转到ABC的位置，使得CCAB，则BAB=（）A30B35C40D503如图，在平行四边形ABCD中，BM平分ABC，交CD于点M，且MC=2，平行四边形ABCD的周长是14，则DM的长为（）A1B2C3D44如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角CDE，使AD=DE=CE，DEC=90，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则AEB的度数是（）A130B135C150D12
2、55（2022秋江苏南京九年级南京市第二十九中学校考开学考试）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O有下列条件：OA=OC,OB=OD；AC=BD；ACBD；矩形ABCD；菱形ABCD；正方形ABCD则下列推理正确的是（）ABCD6（2022春江苏苏州八年级校考阶段练习）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A1cmB2cmC3cmD4cm7（2021春江苏苏州八年级校考期中）如图，正方形ABCD的边长为3，点M在CB延长线上，BM=1，作MAN=45交DC延长线于点N，则MN的长为（）
3、A3B4C5D68（2022春江苏无锡八年级校联考期中）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：四边形CFHE是菱形；EC平分DCH；线段BF的取值范围为3BF4；当点H与点A重合时，EF=25其中正确的结论是（）ABCD二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9（2023春江苏八年级专题练习）已知点A1,-2，点O为坐标原点，连接OA，将线段OA按顺时针方向旋转90，得到线段OA1，则点A1的坐标_10（2021春江苏常州八年级常州市清
4、潭中学校考期中）如图，在RtABC中，ACB=90，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，若EF=4，则CD的长为_11如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6cm，8cm，AEBC，垂足为点E，则AE的长是_cm12（2019江苏扬州校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为_13如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件_14（2021春江苏扬州八年级校考期中）如图，在菱形ABC
5、D中，B=60，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点若线段AB的长为8，则FG的长为_15（2021春江苏苏州八年级校考期中）E、F是线段AB上的两点，且AB=16，AE=2，BF=4，点G是线段EF上的一动点，分别以AG、BG为斜边在AB同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D、C，如图所示，连接CD并取中点P，连接PG，点G从E点出发运动到F点，则线段PG扫过的图形面积为_16（2023秋江苏淮安九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AD=2，点P是直线AD上一动点，若满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为_三、解答题（本大题共8小题，共68分
6、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2022春江苏盐城八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）(1)请画出ABC关于原点对称的图形A1B1C1(2)将ABC绕点O逆时针旋转90，画出旋转后得到的A2B2C218（2022秋江苏九年级开学考试）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BEAC， DFAC，求证：AECF19如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AEBC，过点D作DEAB与AC、AE分别交于O、E，连接EC(1)求证：AD=EC(2)当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是矩形，并说明理由(3)当ABC
7、满足_时，四边形ADCE是正方形20（2022江苏盐城校考三模）如图，在ABC中，点D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE，连接BF，CE(1)求证：四边形BECF是平行四边形(2)当ABC满足_条件时，四边形BECF为菱形（填写序号）AB=ACBAC=90，AB=BC，BCA=9021（2022秋江苏扬州八年级校考阶段练习）在矩形ABCD中，A=B=C=D=90，AB=CD=10，BC=AD=8P为BC上一点，将ABP沿直线AP翻折至AEP的位置（点B落在点E处）(1)如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图中作出AEP（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）
8、的条件下，求BP的长(3)如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC=FE，求BP的长22（2023春江苏八年级专题练习）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数y=-23x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一个动点(1)求b的值；(2)设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标23（2023春江苏八年级专题练习）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把DEC沿DE折叠得到DEF，延长EF交AB于G，连接DG(1)求证：ED
9、G=45(2)如图2，E为BC的中点，连接BF求证：BFDE；若正方形边长为6，求线段AG的长24（2023春江苏八年级专题练习）问题提出(1)如图，点M、N是直线l外两点，在直线l上找一点K，使得MK+NK最小问题探究(2)在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求APB度数的大小问题解决(3)如图，矩形ABCD是某公园的平面图，AB=303米，BC=60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A、B，C的距离之和最小问：是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，请说明理由第9章中心对称图形平行四边形一、选择题
10、（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD【答案】D【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形【详解】解：A该图形不是轴对称对称图形，是中心图形，故此选项不合题意；B该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；D该图形是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意故选：
11、D【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等2如图，在ABC中，CAB=75，在同一平面内，将ABC绕点A旋转到ABC的位置，使得CCAB，则BAB=（）A30B35C40D50【答案】A【分析】根据CCAB，CAB=75，可得CCA=CAB=75，再有旋转图形的性质，可得AC=AC，CCA=CCA=75，在CAC中，由三角形内角和定理可得，CAC=30，最后运用旋转图形的性质求得BAB的值【详解】解：CCAB，CAB=75，CCA=CAB=75，ABC绕点A旋转到AB
12、C，AC=AC，CCA=CCA=75在CAC中，CAC=180-ACC-ACC=180-75-75=30，ABC绕点A旋转到ABC，BAB=CAC=30故选：A【点睛】本题主要考查了旋转图形的性质，熟练掌握旋转图形的性质是解题的关键3如图，在平行四边形ABCD中，BM平分ABC，交CD于点M，且MC=2，平行四边形ABCD的周长是14，则DM的长为（）A1B2C3D4【答案】C【分析】根据平行四边形的性质，可得CMB=ABM，再由BM平分ABC，从而得到CMB=CBM，继而得到CM=BC=2，再由平行四边形ABCD的周长是14，可得CD+BC=7，从而得到CD=5，即可求解【详解】解：在平行四
13、边形ABCD中，ABCD，CD=AB，AD=BC，CMB=ABM，BM平分ABC，ABM=CBM，CMB=CBM，CM=BC=2，平行四边形ABCD的周长是14，CD+BC=7，CD=5，DM=CD-CM=3故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键4如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角CDE，使AD=DE=CE，DEC=90，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则AEB的度数是（）A130B135C150D125【答案】B【分析】先证明AD=DE=CE=BC，得出DAE=AED，CBE=CEB，EDC=ECD=4
14、5，设DAE=AED=x，CBE=CEB=y，求出ADC=225-2x，BCD=225-2y，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135，即可得出结果【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，BAD=BCD，BAD+ADC=180，AD=DE=CE，AD=DE=CE=BC，DAE=AED，CBE=CEB，DEC=90，EDC=ECD=45，设DAE=AED=x，CBE=CEB=y，ADE=180-2x，BCE=180-2y，ADC=180-2x+45=225-2x，BCD=225-2y，BAD=180-225-2x=2x-45，2x-45=225-2y，x+y=135，AEB
15、=360-135-90=135；故选：B【点睛】本题考查了平行四边形的性质(对边平行且相等，对角相等)，等腰三角形的性质(两底角相等) ，解题的关键是找到AED和CEB之间的关系5（2022秋江苏南京九年级南京市第二十九中学校考开学考试）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O有下列条件：OA=OC,OB=OD；AC=BD；ACBD；矩形ABCD；菱形ABCD；正方形ABCD则下列推理正确的是（）ABCD【答案】D【分析】由菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法对每个选项进行分析，即可得出答案【详解】解：由对角线相等，对角线互相垂直，不能判断四边形是正方形，选项A不符合题意；由可得
16、四边形是平行四边形，再由，对角线相等的平行四边形是矩形，选项B不符合题意；由可得四边形是平行四边形，再由，四边形是矩形，不能判定四边形是菱形，选项C不符合题意；由，对角线相等的菱形是正方形，选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，掌握菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法是解决问题的关键6（2022春江苏苏州八年级校考阶段练习）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A1cmB2cmC3cmD4cm【答案】B【分析】根据翻折的性质可得B=AB1
17、E=90，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解【详解】解：沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，B=AB1E=90，AB=AB1，又BAD=90，四边形ABEB1是正方形，BE=AB=4cm，CE=BC-BE=6-4=2(cm)故选：B【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键7（2021春江苏苏州八年级校考期中）如图，正方形ABCD的边长为3，点M在CB延长线上，BM=1，作MAN=45交DC延长线于点N，则MN的长为（）A3B4C
18、5D6【答案】C【分析】如图所示，在DC上取一点F，使得DF=BM，连接AF，先证明ABMADF得到AM=AF，MAB=DAF，进而可以证明MANFAN得到MN=FN，设MN=FN=x，则DN=DF+FN=1+x，CM=BM+BC=4，CN=DN-DC=x-2，在RtMCN中利用勾股定理求解即可【详解】解：如下图所示，在DC上取一点F，使得DF=BM，连接AF，四边形ABCD是正方形，AD=AB，ADF=ABM=90，ABMADF，AM=AF，MAB=DAF，MAB+BAF=DAF+BAF=BAD=90MAF=90，又MAN=45，MAN=FAN=45，又AN=AN，MANFAN，MN=FN，
19、设MN=FN=x，BM=DF=1，BC=CD=3，DN=DF+FN=1+x，CM=BM+BC=4，CN=DN-DC=x-2，在RtMCN中，CM2+CN2=MN2，42+x-22=x2，解得x=5，MN=5，故选：C【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键8（2022春江苏无锡八年级校联考期中）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：四边形CFHE是菱形；EC平分DCH；线段BF的取值范围为3BF4；当点H
20、与点A重合时，EF=25其中正确的结论是（）ABCD【答案】D【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CFFH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出正确；由菱形的性质可得ECHFCH，由点C落在AD上的一点H处，ECD不一定等于30，可判断；当点H与点A重合时，BF有最小值，由勾股定理可求BF的最小值，若CD与AD重合时，BF有最大值，由正方形的性质可求BF的最大值，可判断；如图，过点H作HMBC于M，由勾股定理可求EF的长，可判断；即可求解【详解】解：HECF，HEFEFC，EFCHFE，HEFHFE，HEHF，FCFH，HECF，EHCF，四边形CFHE是
21、平行四边形，CFFH，四边形CFHE是菱形，故正确；四边形CFHE是菱形，ECHFCH，若EC平分DCH，ECDECH，ECDECHFCH30，点C落在AD上的一点H处，ECD不一定等于30EC不一定平分DCH，故错误；当点H与点A重合时，BF有最小值，设BFx，则AFFC8x，在RtABF中，AB2+BF2AF2，即42+x2（8x）2，解得x3，BF3，若CD落在AD上时，BF有最大值，四边形CDHF是正方形，CF4，BF最大值为4，3BF4，故正确；如图，过点F作FMBC于M，四边形HMFB是矩形，ABMF4，AMBF3，四边形AFCE是菱形，AEAF5，ME2，EFME2+MF2=16
22、+4=25，故正确，故选：D【点睛】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9（2023春江苏八年级专题练习）已知点A1,-2，点O为坐标原点，连接OA，将线段OA按顺时针方向旋转90，得到线段OA1，则点A1的坐标_【答案】-2,-1【分析】根据旋转的性质即可得到点A1的坐标【详解】如图，点A1,-2，将线段OA按顺时针方向旋转90，得到线段OA1，点A1的坐标是-2,-1故答案为：-2,-1【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转
23、，掌握旋转的性质是解题的关键10（2021春江苏常州八年级常州市清潭中学校考期中）如图，在RtABC中，ACB=90，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，若EF=4，则CD的长为_【答案】4【分析】先根据三角形中位线定理可得AB=2EF=8，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得【详解】解：点E，F分别为AC，BC的中点，且EF=4，AB=2EF=8，在RtABC中，ACB=90，点D为AB的中点，CD=12AB=4，故答案为：4【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键11如图，已知菱形AB
24、CD的对角线AC，BD的长分别是6cm，8cm，AEBC，垂足为点E，则AE的长是_cm【答案】245【分析】先根据菱形的性质及勾股定理求得BC的长，再根据菱形的面积公式求解即可【详解】解：如图，记对角线的交点为O，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD的长分别是6cm，8cm，AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，BOC=90，BC=32+42=5cm，AEBC=12ACBD，5AE=1268，解得：AE=245cm故答案为：245【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用勾股定理求出BC的长是解题关键12（2019江苏扬州校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=
25、16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为_【答案】45【分析】设BE=x，则CE=BC-BE=16-x，根据勾股定理列出关于x的方程82+x2=16-x2，解方程得出x=6，求出AE=AF=10，过点E作EHAD于H，则四边形ABEH是矩形，根据勾股定理求出EF=45【详解】解：设BE=x，则CE=BC-BE=16-x，沿EF翻折后点C与点A重合，AE=CE=16-x，在RtABE中，AB2+BE2=AE2，即82+x2=16-x2，解得x=6，AE=16-6=10，由翻折的性质得，AEF=CEF，矩形ABCD的对边ADBC，AFE=CEF，AEF=AFE，AE=AF
26、=10，过点E作EHAD于H，则四边形ABEH是矩形，EH=AB=8，AH=BE=6，FH=AF-AH=10-6=4，在RtEFH中，EF=EH2+FH2=82+42=45故答案为：45【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握折叠的性质和矩形的性质13如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件_【答案】AB=CD（答案不唯一）【分析】根据三角形的中位线定理，得到：FH=GE=12AB,GF=EH=12CD，根据四边相等的四边形
27、是菱形，可以得到当AB=CD时，即可得到四边形EGFH是菱形【详解】解：E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，FH=GE=12AB,GF=EH=12CD，四边相等的四边形是菱形，当AB=CD时，FH=GE=GF=EH，此时四边形EGFH是菱形；可添加的条件为：AB=CD；故答案为：AB=CD（答案不唯一）【点睛】本题考查三角形的中位线定理，以及菱形的判定熟练掌握三角形的中位线是第三边的一半，四边相等的四边形是菱形，是解题的关键14（2021春江苏扬州八年级校考期中）如图，在菱形ABCD中，B=60，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点若线段AB的
28、长为8，则FG的长为_【答案】23【分析】连接CG并延长，交AD于点M，连接EM，根据菱形的性质证明MGDCGH，再根据三角形中位线定理可得FG=12EM，在AEM中，根据等腰三角形的性质、30度角的直角三角形性质以及勾股定理可求出ME的长度，即可求出FG的长度【详解】解 连接CG并延长，交AD于点M，连接EM，四边形ABCD为菱形，B=60，AB=8ADBC，AB=BC=AD=8，A=120，DMG=HCG，点G为HD的中点，HG=DG，MGD=CGH，MGDCGHAAS，MG=CG，MD=CH=12BC=12AD，点G为MC的中点，点M为AD的中点，F，G分别为CE和CM的中点，FG是CE
29、M的中位线，FG=12EM，E，M分别为AB和AD的中点，AE=AM=4，A=120，AEM=AME=30，过A作AOEM于点O，AE=AM=4，AO=12AE=2，EM=2EO，根据勾股定理，得EO=AE2-AO2=23，EM=2EO=43，又FG=12EM，FG=23故答案为：23【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是掌握菱形的性质15（2021春江苏苏州八年级校考期中）E、F是线段AB上的两点，且AB=16，AE=2，BF=4，点G是线段EF上的一动点，分别以AG、BG为斜边在AB同侧作两个等腰直角三角形，直
30、角顶点分别为D、C，如图所示，连接CD并取中点P，连接PG，点G从E点出发运动到F点，则线段PG扫过的图形面积为_【答案】30【分析】分别延长AD、BC相交于点H，连接PH，EH，FH，易证四边形DGCH为矩形，且P为矩形DGCH的对角线交点，即P为HG中点，过P作MNAB分别交EH，FH与M、N，所以MN为HEF的中位线，即点P的运动轨迹即为MN，所以GP扫过的图形即为梯形MEFN，再根据已知线段求出梯形MEFN的面积即可【详解】解：分别延长AD、BC相交于点H，连接PH，EH，FH，ADG、GCB为等腰直角三角形，DGA=CGB=A=B=45，DGC=90，AHGC，又HCG=90，HCG
31、=DGC=90，DGHB，四边形DGCH为矩形，点P为DC中点，点G、P、H三点共线，且P为HG的中点，过P作MNAB分别交EH、FH与M、N，MN为HEF的中位线，且MN即为点P的运动轨迹，GP扫过的图形即为梯形MEFN，AB=16，AE=2，BF=4，EF=16-2-4=10，MN=12EF=5，过点H作HO垂直AB于O，A=B=45，AH=BH，AHB=180-45-45=90，HO=AO=BO=12AB=8，MN为HEF的中位线，PO=12HO=128=4，即梯形的高为4，S梯形MEFN=12410+5=30，即线段PG扫过的图形面积为30故答案为：30【点睛】本题为动点问题，主要考查
32、了等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理、矩形的判定和性质等知识点，解题的关键是寻找点P的运动轨迹16（2023秋江苏淮安九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AD=2，点P是直线AD上一动点，若满足PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为_【答案】2或3【分析】根据等腰三角形的性质分类计算即可【详解】解：当AB=AD=2时，如图，此时符合题意的点P分别位于AD的中点，与点A重合，与点D重合；当ABAD=2时，如图，符合题意的点P分别位于AD的中点的P1，此时P1B=P1C；P2CABBC,P3BABBC；符合题意的P只有一个，不符合题意，综上所述，AB的长为2或3【点睛】本题考查
33、了等腰三角形的分类计算，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的分类标准是解题的关键三、解答题（本大题共8小题，共68分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2022春江苏盐城八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）(1)请画出ABC关于原点对称的图形A1B1C1(2)将ABC绕点O逆时针旋转90，画出旋转后得到的A2B2C2【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点
34、A2、B2、C2即可【详解】（1）解：如图所示，A1B1C1即为所求，（2）如图所示，A2B2C2即为所求【点睛】本题考查了作图一旋转变换和中心对称图形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键18（2022秋江苏九年级开学考试）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BEAC， DFAC，求证：AECF【答案】见解析【分析】可证明ABE CDF，即可得到结论【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形AB=CD，ABCDBAC=DCABEAC于E，DFAC于FAEB=DFC=90在ABE和CDF中 ，BAE=DCFAEB=CFDAB=CD ABE CDF（AAS）AE=CF【点睛】此题考查平行四边形的性质和
35、全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键19如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AEBC，过点D作DEAB与AC、AE分别交于O、E，连接EC(1)求证：AD=EC(2)当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是矩形，并说明理由(3)当ABC满足_时，四边形ADCE是正方形【答案】(1)见解析(2)当ABC满足AB=AC时，四边形ADCE是矩形(3)AB=AC，且BAC=90【分析】（1）根据AEBC，DEAB可证明四边形ABDE是平行四边形，可得AE=BD，由AD是边BC上的中线可得CD=BD,从而可得AE=CD,再结合AEBC可得出结论；（2
36、）当ABC满足AB=AC时，可证明AC=DE,即可得出四边形ADCE是矩形；（3）当ABC满足AB=AC，且BAC=90时，可证明ADC=90,即可得出四边形ADCE是正方形【详解】（1）AD是边BC上的中线，CD=BDAEBC，DEAB，四边形ABDE是平行四边形，AE=BD，AE=CD，又AECD四边形ADCE是平行四边形，AD=EC（2）当ABC满足AB=AC时，四边形ADCE是矩形，理由如下：由（1）知四边形ABDE是平行四边形，AB=DE，又AB=AC，AC=DE,由（1）知：四边形ADCE是平行四边形，四边形ADCE是矩形；（3）AB=AC，且BAC=90，ABC是等腰直角三角形，
37、AD是边BC上的中线，ADBC,即ADC=90，AD=DC四边形ADCE是平行四边形，四边形ADCE是正方形故答案为：AB=AC，且BAC=90【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定等知识，熟练掌握相关判定是解答本题的关键20（2022江苏盐城校考三模）如图，在ABC中，点D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE，连接BF，CE(1)求证：四边形BECF是平行四边形(2)当ABC满足_条件时，四边形BECF为菱形（填写序号）AB=ACBAC=90，AB=BC，BCA=90【答案】(1)见详解(2)，理由见详解【分析】（1）由已知条件，据AA
38、S证得CFDBED，则可证得CF=BE，继而证得四边形BECF是平行四边形；（2）由AB=AC，BD=CD，得到FEBC，由BDECDF得ED=FD，即EF、BC互相垂直平分，然后根据菱形的判定，可得四边形BECF是菱形【详解】（1）证明：在ABC中，D是BC边的中点，BD=CD，CFBE，CFD=BED，在CFD和BED中，CFD=BEDCD=BDFDC=EDBCFDBEDAAS，CF=BE，四边形BFCE是平行四边形；（2）满足条件时四边形BECF为菱形理由：若AB=AC时，ABC为等腰三角形，AD为中线，ADBC，即FEBC，由（1）知，CFDBED，BD=CD，ED=FD，平行四边形B
39、ECF为菱形故答案为：【点睛】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质熟练掌握菱形的判定方法，且证得CFDBED得到CF=BE是解决问题的关键21（2022秋江苏扬州八年级校考阶段练习）在矩形ABCD中，A=B=C=D=90，AB=CD=10，BC=AD=8P为BC上一点，将ABP沿直线AP翻折至AEP的位置（点B落在点E处）(1)如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图中作出AEP（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，求BP的长(3)如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC=FE，求BP的长【答
40、案】(1)见解析(2)BP=5(3)BP=203【分析】（1）以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，作BE的垂直平分线交BC于点P，连接EP、AP；（2）由翻折的性质和勾股定理求出DE=6，CE=4，设：BP=EP=x，根据CP2+CE2=EP2可求得x的值，即可得BP的长度；（3）由翻折得：BP=EP，AE=AB=10，设BP=EP=x，则PC=8-x，再证GEFPCF（ASA），得GF=PF，GE=PC=8-x，则GC=EP=x，DG=CD-GC=10-x，AG=AE-GE=x+2，然后在RtADG中，由勾股定理得出方程，解方程即可；【详解】（1）解：如图所示，AEP即为
41、所求的三角形，（2）由翻折可知，AB=CD=AE=10，BP=EPBC=AD=8由勾股定理可得：DE=AE2-AD2=6，CE=DC-DE=4，设：BP=EP=x，则CP=BC-BP=8-x，则，由勾股定理可得：CP2+CE2=EP2，即8-x2+42=x2，解得：x=5，BP=5（3）如图，由翻折的性质得：BP=EP，AE=AB=10，E=B=90，E=C，设BP=EP=x，则PC=8-x，EFG=CFP，FE=FC，在GEF和PCF中，E=CEF=FCGFE=PFC，GEFPCF（ASA），GF=PF，GE=PC=8-x，GC=EP=x，DG=CD-GC=10-x，AG=AE-GE=10-8-x=x+2，在RtADG中，由勾股定理得：82+10-x2=x+22，解得x=203，即BP=203【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定