1、2019 届高三上学期第三次月考数学（理）试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 （在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1i 是虚数单位，复数 ( )1 3i1 iA2i B2iC12i D12i2集合 A x|x20，Bx|xa，若 ABA，则实数 a 的取值范围是( )A( ，2 B2，)C(，2 D2，)3我国古代数学典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果 n( )A4 B5 C2 D34函数 的最大值为 （ ）3si
2、n()cos()26yxxA 21B 41C 413D 135一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是（ ）A 4,8 B 845,3C (51)3D8，86电商大会的某分会场有 A，B，C 三个展台，将甲、乙、丙、丁共 4 名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少 1 人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有( )A12 种 B10 种C8 种 D6 种7已知函数 32()1fxaxb，若 a是从 1，2，3 三个数中任取的一个数， b是从0，1，2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ）A. 9 B
3、. 3 C. 59 D.8在平行四边形 ABCD 中，AD=1， ，E 为 CD 的中点若 ，则 AB 的长60BAD 1BEAC为（ ）A 14B 12 C1 D29已知数列a n的首项 a12，数列b n为等比数列，且 bn ，若 b10b112，则 a21( )an 1anA2 9 B2 10 C2 11 D2 1210已知实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）,xyyxyA B C D 1,21,)(0,51,511已知函数 ，则 的大小关系是（ ）2()cosfxx3)()2ffA B30()5ff 30(5ffC D1()02fff1()2ff12等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线
4、 y22px (p0)，O 为抛物线的顶点，OAOB ，AOB 的面积是 16，抛物线的焦点为 F.若 M 是抛物线上的动点，则 的最大值为( )|OM|MF|A. B.33 63C. D.233 263二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置。13若(2x3) 5a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x4a 5x5，则 a1 2a23a 34a 45a 5= 14已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为 2 ，则该球的表面积2为_已知方程 x23ax 3a10(a1) 的两根分别为 tan，tan，且 ， ， 2,则
5、_.16已知函数 ，若偶函数 满足 (其中 m，n 为()41,()4xxfg()hx()mfxng常数)，且最小值为 1，则 _.mn三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本题满分 12 分）已知等比数列a n的各项均为正数，a 11，公比为 q；等差数列 bn中，b 13，且b n的前 n项和为 Sn，a 3S 327，q .S2a2(1)求a n与 bn的通项公式；(2)设数列c n满足 cn ，求c n的前 n 项和 Tn.32Sn18 （本题满分 12 分）随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化某机构随机调查了 n 个人，其
6、中男性占调查人数的 ，已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有 的人的休闲方式是运动25 13（）完成下列 22 列联表：运动 非运动 总计男性女性总计 n（）若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？（）根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：K 2 ，其中 nab cd.n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)参考数据：P(K2k0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.82819 （本题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD 中
7、，PA底面 ABCD，ADBC，ABAD AC 3，PA BC 4，M为线段 AD 上一点，AM2MD ，N 为 PC 的中点(1)证明：MN平面 PAB；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值20 （本题满分 12 分）设点 F1(c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆 C： y 21( a0)的左、右焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，x2a2且 的最小值为 0.PF1 PF2 (1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，动直线 l：y kxm 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，作 F1Ml，F 2Nl 分别交直线 l于 M， N 两点，求四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值21 （
8、本题满分 12 分）已知函数 （ 为自然对数的底数）()1xfxe（）求函数 的单调区间；（）设函数 ，存在 ，使得 ()()xxfte12,0,12()x成立，求实数 的取值范围t22(本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C：( x1) 2y 21.直线 l 经过点 P(m,0)，且倾斜角为 ，以 O 为6极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系(1)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|PA| PB|1，求实数 m 的值23(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲已知函数
9、 和 的图象关于原点对称，且 . fx(g2()fx（）解关于 的不等式 ；)(|1|xf（）如果对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围R)()|1|gcfxc第三次考试答案1-12 BDAAB DDBCD BC1.解析： 2i.答案：B1 3i1 i 1 3i1 i1 i1 i 4 2i22.解析：由题意得 Ax| x2，又因为 ABA，所以 AB.又因为 Bx|xa ，所以 a2，故选D.3、解析：第一次循环，得 S2，否；第二次循环，得 n2，a ，A2，S ，否；第三次循环，12 92得 n3，a ，A4，S ，否；第四次循环，得 n4，a ，A8，S 10，是，输出的14 3
10、54 18 1358n4，故选 A.4、 【解析】A 3()cosscosi2622yinxxx=3csin,所以函数的最大值为211345、 【解析】B 由正视图知：四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，四棱锥的高为 2，V 222 ；四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为 2，高为 ，318 5S 侧 4 2 456.解析： 甲、乙两人被分配到同一展台，可以把甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将 3 个人分到 3 个展台上进行全排列，即有 A 种，甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有3A 6(种) 答案： D37、 【解析】 D 求导可得要满足题意需 有两个不等实根，即22/)(baxf
11、02bax，即 ，又 的取法共有 种，其中满足 的有（1,0） ， （2,0） ， （2,1） ，0)(42baba,93（3,0） ， （3,1） ， （3,2）共 6 种，故所求的概率为 。6P8、 【解析】B 设 AB 的长为 ,因为 ,)0(a ABDCEBAC21,所以 ，ACDE421 a由已知可得 1( )， ，即 AB 的长为 。142-aa9.解析：由 bn ，且 a12，得an 1anb1 ，a 22b 1；b 2 ，a 3a 2b22b 1b2；b 3 ，a 4a 3b32b 1b2b3；a n2b 1b2b3bna2a1 a22 a3a2 a4a31，所以 a212b
12、1b2b3b20，又b n为等比数列，所以 a21 2(b1b20)(b2b19)(b10b11)2(b 10b11)102 11.答案：C10.解析 D：设 2xyb，则只需求直线 2xyb 在 y 轴上的截距范围画出可行域为弓形，当直线与圆相切时，截距最大，且为 ，当直线过点(0,1)时截距最小，且为 1，所以 2xy 的取值范围5是1， 511 解析 B：函数 f(x)x 2 cosx 为偶函数，f(0.5) f(0.5) ，f(x)2xsinx，当 00，函数在 上递增，f(0)0，x 20,2p0，x 1x 2，即点 A，B 关于 x 轴对称设直线 OA 的方程为 yx，与抛物线方程
13、联立，解得Error! 或Error!| AB|4p，S OAB 2p4p4p 2.12AOB 的面积为 16，p2，焦点 F(1,0)设 M(m，n)，则 n24m，m0，设点 M 到准线 x1 的距离等于 d，则 . 令 m1t，t 1，则 mt 1，|OM|MF| |OM|d m2 4mm 1 (当且仅当 t3 时，等号成立)|OM|MF| 3(1t 13)2 43233 的最大值为 ，故选 C.|OM|MF| 23313.解析：在已知等式两边对 x 求导，得 5(2x3) 42a 12a 2x3a 3x24a 4x35a 5x4，令 x1，得a12a 23a 34a 45a 55(21
14、3) 421014、解析：如图，正四棱锥 PABCD 的外接球的球心 O 在它的高 PO1 上，设球的半径为 R，因为底面边长为 2 ，所以 AC4.在 RtAOO 1 中，R 2(4 R)22 2，所以 R ，所以球的表面积252S4 R225.答案：2515、解析：由已知得 tantan 3a，tantan3a1，tan( )1.又， ，tan tan3a0，tan1，|m| 2，S2.1|m|当 k0 时，四边形 F1MNF2 是矩形，S2，所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2.21 解析：解：（）函数的定义域为 R， 当 时， ，当 时，()xfe0()0fx。()0fx
15、 在 上单调递增，在 上单调递减.,)(0,)（）假设存在 ，使得 成立，则 .12,x12(xminax()()x 6 分()()()xtfte)1)xttee当 时， ， 在 上单调递减， ，即t0x,(0)32et当 时， ， 在 上单调递增， ，即0()()1210当 1t时，在 t,， ， 在 上单调递减0x(),t在 x， ， 在 上单调递增()所以 ，即 2()ma(0),1t32ma1,tte(*)由（）知， 在 上单调递减故 ，2tge42te而 ，所以不等式 无解3te(*)综上所述，存在 ,使得命题成立,3)2t22.解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为(x1) 2y 2
16、1，即 x2y 22x，即 22cos，所以曲线 C 的极坐标方程为 2cos.直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数) (2)设 A， B 两点对应的参数分别为 t1，t 2，将直线 l 的参数方程代入 x2y 22x 中，得 t2( m )tm 22m 0，所以 t1t2m 22m ，3 3由题意得|m 22m| 1，解得 m1 或 m1 或 m1 .2 223 解析(1)函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,g(x)=-f(-x)=-(x 2-2x), 即 g(x)=-x2+2x,xR. 原不等式可化为 2x2-|x-1|0. 也即 或 012x01x由得 ,而无解,原不等式的解集为 . 1x 2,(5 分)(2)由题意可知 cf(x)-g(x)-|x-1|=2x2-|x-1|恒成立,即 c2x2-|x-1|恒成立,设 h(x)=2x2-|x-1|= h(x) min= . c . 故 c 的取值范围为 .1,2x89)41(h 89,(.(10 分)