1、2019 届高三上学期第一次月考数学（文）试题第 I 卷（选择题）一、单选题1.已知集合 ，则 的子集个数为（ ）A. 2 B. 4 C. 7 D. 8【答案】D【解析】【分析】先求出集合 A，B，再求出 AB=0，1，2，由此能求出 AB 的子集个数【详解】集合 A=0，1，2，3，B=xR|0x2，AB=0，1，2，AB 的子集个数为 23=8故选：D【点睛】本题考查交集的子集个数的求法，考查交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题若集合有 n 个元素，其子集有 2n 个，真子集有 2n-1 个，非空真子集有 2n-2 个.2.设 为向量，则“ ”是“ ”
2、（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由向量数量积运算，求得向量的夹角，进而判断向量是否平行；根据向量平行，即夹角为 0，即可判断向量的数量积与模的乘积是否相等。【详解】根据向量数量积运算， 若 ，即 = 所以 =1，即 所以若 ，则 的夹角为 0，所以“所以“ ”是“ ”的充分必要条件所以选 C【点睛】本题考查了向量数量积的运算，充分必要条件的判定，属于基础题。3.已知集合 ， ， ，则 （ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】A【解析】【分析】根据集合并集运算与集合互异性原则，可求得 m 的值。【
3、详解】因为所以 m=3 或 = ，即 m=1（舍）或 m=0所以选 A【点睛】本题考查了集合的并集运算，集合互异性原则的应用，属于基础题。4.曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】D【解析】由题 ,切线方程为 ,即 ,与坐标轴的交点为(0.2) 和(1,0)所以与坐标轴围成的三角形的面积为 ,故选 D.5.已知 ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的定义域，可依次代入求得函数值。【详解】因为 ，所以 =因为 2，所以 = 所以选 C【点睛】本题考查了分段函数值的求解，关键是判断定义域的取值，属于基础题。
4、6.下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：最小正周期为 的函数有 A、B 、D ， 在 上有增有减， 在 是是增函数， 在 上是减函数故选 D考点：函数的周期性与单调性7.设 ， 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数 F(x)=f（x）g（x） ，由题意可判断 F(x) 是 R 上的奇函数，且在（-， 0）上是增函数；从而解不等式即可【详解】构造函数 F(x)=f（x）g（x）因为当 时， ，即当 时 F(x)为单调
5、递增函数且 ， 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，所以 F(x)为奇函数 F（3）= =0所以 的解集是所以选 B【点睛】本题考查了导数与单调性的综合应用，通过结合构造函数法判断函数的单调区间并解不等式，属于中档题。8.在 中，内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角形面积公式表示出 ，再利用余弦定理表示出 ，变形后代入已知等式，进而求出 ，最后得出 的值【详解】 ，代入已知等式 可得：，故选【点睛】本题主要考查了余弦定理和同角三角函数间的基本关系，运用三角形面积公式代入化简，属于基础题9.若 ，设 ， ， ，则， ，的大
6、小关系为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据定义域，分别判断 a、b、c 的大小即可。【详解】因为所以 所以选 D【点睛】本题考查了不等式大小比较，对数的化简应用，属于中档题。10.下列几个命题： 是不等式 的解集为 的充要条件；设函数 的定义域为 ，则函数 与 的图象关于 轴对称；若函数 为奇函数，则 ；已知 ，则 的最小值为 ；其中不正确的有（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的性质及充分必要条件的概念可判断正确；通过反例 y=sinx 可判断错误；根据奇函数性质 f（0）=0 可判断正确；由基本不等式
7、等号成立条件，可知错误。【详解】 是一元二次不等式 ax2+bx+c0 的解集为 R 的充要条件，所以正确；，如函数 y=sinx；因为 y=sinx 与 y=sin（-x）的定义域均为 R，但两个函数的图象关于 x 轴对称，故错误若函数 为奇函数，则当 x=0 时 =0，所以 正确，所以正确 ，此时 ，所以 不成立所以错误综上，正确个数为 2 个，所以选 C【点睛】本题综合考查了二次函数恒成立条件和充分必要性的判定，奇偶函数的性质及图像，基本不等式成立的条件等，综合性强，属于中档题。11.已知函数 是定义在 上的可导函数，且对于 ，均有 ，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】
8、【分析】通过构造函数 ，研究 函数的单调性进而判断出大小关系。【详解】因为所以 0，即 构造函数 ，所以 ，即 在 R 上为单调递减函数所以 ，化简得同理 ，化简得所以选 D【点睛】本题考查了利用导数判断函数单调性并解不等式，属于难题。12.已知点 是曲线 上任意一点，记直线 （ 为坐标原点）的斜率为 ，则（ ）A. 存在点 使得 B. 对于任意点 都有C. 对于任意点 都有 D. 至少存在两个点 使得【答案】B【解析】分析：任取正实数 ，则直线 的斜率为 ，利用 的性质，逐一判定，即可求解.详解：任取正实数 ，则直线 的斜率为 ，因为 ，又由 成立，因为 和 中两个个等号成立条件不一样，所以
9、 恒成立，即 恒成立，排除 A；当 时， ，则 ，排除 C；对于 D 选项，至少存在两个点 使得 ，即 至少存在两解，即 至少有两解，又因为 恒成立，所以至多有一个解，排除 D，综上所述，选项 B 是正确的，故选 B.点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用，以及直线的斜率公式，导数在函数中的应用，其中解答中根据题意构造函数 ，利用函数的单调性和最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理、论证能力.第 II 卷（非选择题）二、填空题13.已知命题 ， ，命题 ， 恒成立.若 为假命题，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】分析：由题意首先确定 p,q 至少有一个是假命题，然后求解 m 的取值
10、范围即可.详解： 为假命题，则 p,q 至少有一个是假命题，若 p 为假命题，则 ，据此有： ；若 q 为假命题，则 ，据此有： ，解得： 或 ；据此可得：实数 的取值范围为 .点睛：本题主要考查逻辑连接词，由命题的真假确定参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度 _ 【答案】【解析】【分析】先根据已知条件得 ，在 中利用正弦定理计算 ，再由 为等腰直角三角形，即可求出结果.【详解】由题意
11、可知 ， ， ， 为等腰直角三角形，在 中， ，由正弦定理.故答案为 .【点睛】本题考查解三角形的实际应用，从实际问题中抽象出三角形是解决问题的关键.15.若函数 的定义域和值域都是 ，则实数 b=_.【答案】5【解析】函数 的对称轴方程为 ，所以函数 在1, a上为减函数，又函数在1,a 上的值域也为1,a ，则 ,即 ，由得：b=3a1,代入得： 3a+2=0,解得：a=1(舍)，a=2.把 a=2 代入 b=3a1 得：b=5.故答案为 5.点睛：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数）
12、 ，区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.16.已知函数 ,如果函数 恰有两个零点，那么实数 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】通过讨论 m 的取值情况，分析零点的个数。【详解】若 m-2，则 f（x）在（ -，m上无零点，在（m， +）上有 1 个零点 x=4，不符合题意；若-2m 0，则 f（x）在（-， m上有 1 个零点 x=-2，在（m， +）上有 1 个零点 x=4，符合题意；若 0m4，则 f（x）在（-，m上有 2 个零点 x=-2，x=0，在（m，+）上有 1
13、 个零点 x=4，不符合题意；若 m4，则 f（x）在（- ，m上有 2 个零点 x=-2，x=0，在（m，+）上无零点，符合题意；综上所述，-2m0 或 m4，即实数 的取值范围为【点睛】本题考查了分类讨论在解不等式中的应用，属于难题。三、解答题17.已知命题 曲线 1 与 轴没有交点；命题 函数 是减函数.若 或为真命题, 且 为假命题,则实数 的取值范围.【答案】【解析】【分析】通过复合命题真假，判断出 p 与 q 命题一真一假，进而求得 m 的取值范围。【详解】由 y= 1 与 x 轴没有交点，知 0， m ；由 q：f（x）=（52m）x 在 R 上是减函数，知 52m1，m2由题意
14、 p，q 一真一假，若 p 真 q 假， m 若 p 假 q 真，m综上所述，m 的取值范围为【点睛】本题考查了复合命题的综合应用，属于基础题。18.函数 的部分图象如图所示.(1)求 的最小正周期及解析式；(2)设函数 ，求 在区间 上的最小值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】(1)根据图像，求出最小正周期；进而求得 的值；将最高点坐标代入，可求得 的值；进而求得三角函数表达式。(2)根据三角函数和角公式及倍角公式，结合辅助角公式求得 g(x)=sin ，再根据定义域求出最小值。【详解】(1)由图可得 A=1, ,所以 T=,因此 =2.当 x= 时,由 f(x)=1,可得 s
15、in =1,即 +=k+ ,kZ,又| ,所以 = ,故 f(x)=sin .(2)由(1)知 g(x)=f(x)-cos 2x=sin -cos 2x= sin 2x+ cos 2x-cos 2x= sin 2x- cos 2x=sin ,因为 x ,所以- 2x- ,故当 2x- =- ,即 x=0 时,函数 g(x)取最小值 .【点睛】本题考查了三角函数图像的简单应用，已知定义域求函数的最值，属于基础题。19.在 中，三个内角 所对的边分别为 ，且满足 （1）求角 的大小；（2）若 的面积为 ，求边的长【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】(1)根据余弦定理，将表达式中余弦值化为
16、边，进而求得角 C。(2)根据三角形面积，求得 ab 的值；结合 a+b 的值与余弦定理，可求得 c。【详解】 由余弦定理可得：， ，又，又 ，.【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用，三角形面积在解三角形中的应用，属于基础题。20.（1）已知 ，求 的解析式；（2）已知 是一次函数，且满足 ，求 的最小值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】(1)利用换元法，求函数的解析式。(2)利用待定系数法，设出解析式，根据函数定义求得 g（x），进而求得最小值。【详解】(1)令 ，则 ，所以 ，故 .(2)设 ，则由 ，得 ，即 ，所以 ，解得 .所以 .从而 ，则 .【点睛】本题考查了换元法
17、、待定系数法求函数的解析式，求已知函数的最值，属于基础题。21.已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数.（1）求的值；（2）求函数 的值域；（3）当 时， 恒成立， 求实数 的取值范围.【答案】(1) ；(2) ；(3) .【解析】【分析】(1)根据奇函数定义，代入求得 a 的值。(2)通过分离常数，得到 ，进而通过函数单调性求得值域。(3)通过分离参数，得到 ，进而利用换元法并结合基本不等式求得 m 的取值范围。【详解】(1) 是 上的奇函数， ，即 .整理可得 （注：本题也可由 解得 ，但要进行验证）(2)由（1）可得 ，函数 在 上单调递增，又 ， ， 函数 的值域为 (3)当 时，
18、由题意得 在 时恒成立， 在 时恒成立令 ，则有 ，当 时函数 为增函数， . .故实数 的取值范围为 【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性与单调性，分离常数法与分离参数法在函数中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题。22.已知函数（1）若曲线 与 在公共点 处有相同的切线，求实数 的值；（2）若 ，且曲线 与 总存在公共的切线，求正数的最小值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）根据 可求得 （2）根据导数的几何意义可求得函数 在点 处的切线方程为 ，由 得 ，由两曲线总存在公切线可得有解，即关于的方程 有解，分离参数后转化为函数的最值问题求解即可试题解析：（1) ， 依据题意得 ，即 ，解得 .（2）当 时， ， ，设切点为 ，则 ，曲线 在点 处的切线方程为： ，即 由 消去 y 得 ， 总存在公切线， 总有解，即关于的方程 总有解. , ,解得 ，方程 总有解令 ，则 ，则当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增 ， ，解得 ，正数的最小值故 . 点睛：（1）对于一些复杂的问题，解题时要善于将问题转化 ，转化成能用熟知的导数研究的问题来处理 （2）求解不等式能成立（方程有解）问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域（或最值）的问题注意以下结论： 有解等价于的范围即为函数 的值域； 有解等价于 ； 有解等价于