1、湖南省长沙市岳麓区2022届中考一模数学试题一、选择题（本大题共计10个小题，每小题3分，共30分）1. 实数-2022是2022的（ ）A. 绝对值B. 相反数C. 倒数D. 以上都不正确2. 下列运算正确的是( )A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A. B. C. D. 4. “多少事，从来急；天地转，光阴迫一万年太久，只争朝夕”伟人毛泽东通过这首满江红和郭沬若同志告诉我们青年学生：要珍惜每分每秒；努力工作，努力学习一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数字是（）A. 864102B. 86.4103C. 8.64104D. 0.864
2、1055. 如图，则的度数是（ ）A. 10B. 15C. 20D. 256. 不等式组的解集在数轴上表示为（）A. B. C D. 7. 某射击队拟选一名队员参加比赛，在五轮预选赛中，甲，乙，丙，丁四名队员射击成绩的平均数和方差如表所示根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名成绩好又发挥稳定的同学参赛，应该选择( )甲乙丙丁平均数/环96959797方 差0.420.42A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8. 如图，在中，AB为直径，CD为弦，若，则的度数是（ ）A. 40B. 50C. 60D. 709. 如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成32的夹角，已知缆车速度为每分钟50
3、米，从山脚下A到山顶B需16分钟，则山的高度为（ ）A. 800sin32B. C. 800tan32D. 10. 已知点A（，6），B（m，），C（，）在反比例函数图象上，若，则下列大小关系正确的是( )A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 分解因式：_12. 已知扇形的面积为，圆心角为120，则它的半径为_13. 某中学进行“优秀班级”评比，将品德操行，纪律，卫生评比三项按4：3：3的比例确定班级成绩若九（1）班这三项的成绩分别为90分，83分，87分，则九（1）班的最终成绩是_分14. 一个正多边形的每个内角都为135，那么该正多边形的边数为
4、_15. 一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x，可列方程_16. 如图，四边形ABCD为菱形，延长BC到E，在内作射线CM，使得，过点D作，垂足为F若，则对角线BD的长为_三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题，每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）17. 计算：18. 先化简，再求值：，其中19. 老师布置了一道尺规作图的作业：如图，已知ABC，求作ABC边BC上的高AM下面是小红同学的尺规作图过程：如图，延长线段；以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点；分别以点，为圆心，大于的长为半
5、径作弧，两弧在下方交于点；连接，交于点则线段就是边上的高根据小红同学的尺规作图过程和图形，请将下面的证明过程补充完整：由可得：AD=_，由可得：CE=_，是的垂直平分线（_）（填推理的依据）AM是ABC边BC上的高20. 某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图（1）请根据统计图将下面的信息补充完整： 参加问卷调查的学生共有_人； 扇形统计图中“D”对应扇形
6、的圆心角的度数为_；（2）若该校共有学生1500名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？（3）现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率21. 如图，在中，为边上一点，为的中点，过点作，交的延长线与点.（1）求证： BF=EF；（2）若，求长.22. 某物流公司承接A、B两种出口货物运输业务，已知3月份A货物运费单价为70元/吨，B货物运费单价为40元/吨，共收取运费180000元；4月份由于油价下调，运费单价下降为：A货物50元/吨，B货物30元/吨；该物流公司4月承接的两种货物的数量与3月份相同，
7、4月份共收取130000元（1）该物流公司3月份运输两种货物各多少吨；（2）该物流公司预计5月份运输这两种货物共3600吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与4月份相同的情况下，该物流公司5月份最多将收到多少运费？23. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，点E在线段OC上，且OE=CE（1）求证：；（2）若，分别是，中点，求证：是等腰三角形；当时，时，求平行四边形的面积24. 若将函数的图象沿直线l对折，与函数的图象重合，则称函数与互为“轴对称函数”，直线l叫作函数与函数的“轴直线”如函数关于直线y轴的轴对称函数是（1）若轴直线为x轴，求函数的
8、关于x轴的轴对称函数的解析式；（2）若函数F：，轴直线为y轴，此时的轴对称函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，求b的值；（3）若函数F：，轴直线为，函数的轴对称函数是，当时，的图象恒在的图象的下方，求k的取值范围25. 在边长为1的正方形中，以点为圆心，为半径作弧，为上的一动点，过点作的切线交于点，交于点，交的延长线于点（1）当时，求证：点为线段的中点；（2）设长为x，长为y，求y关于x的函数关系式；（3）将沿直线翻折后得，当时，与是否相似？如果相似，请加以证明；如果不相似，写出理由湖南省长沙市岳麓区2022届中考一模数学试题一、选择题（本大题共计10个小题，每小题3分，共30分）1. 实
9、数-2022是2022的（ ）A. 绝对值B. 相反数C. 倒数D. 以上都不正确【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义：如果两个数符号不同，数字相同，那么这两个数互为相反数，0的相反数是0，进行求解即可【详解】解：由题意得：-2022是2022的相反数，故选B【点睛】本题主要考查了相反数，熟知相反数的定义是解题的关键2. 下列运算正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法运算规则，对各选项进行判断即可【详解】解：A中，错误，故不符合题意；B中，错误，故不符合题意；C中，正确，故符合题意；D中，错误，故不符合题意；
10、故选C【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法运算解题的关键在于正确的计算3. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可得到答案【详解】A既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意，B既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意，C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，D是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意故选B【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键4. “多少事，从来急；
11、天地转，光阴迫一万年太久，只争朝夕”伟人毛泽东通过这首满江红和郭沬若同志告诉我们青年学生：要珍惜每分每秒；努力工作，努力学习一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数字是（）A. 864102B. 86.4103C. 8.64104D. 0.864105【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案【详解】解：故选C【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定
12、义5. 如图，则的度数是（ ）A. 10B. 15C. 20D. 25【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质求出关于DOE，然后根据外角的性质求解【详解】解：ABCD，A45，ADOE45，DOEC+E，又，EDOE-C15故选：B【点睛】本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系掌握两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键6. 不等式组的解集在数轴上表示为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集【详解】解：解不等式x
13、23，得：x2，解不等式82x4，得：x2，则不等式组的解集为2x2，故选：A【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键7. 某射击队拟选一名队员参加比赛，在五轮预选赛中，甲，乙，丙，丁四名队员射击成绩的平均数和方差如表所示根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名成绩好又发挥稳定的同学参赛，应该选择( )甲乙丙丁平均数/环96959797方 差0.420.42A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C【解析】【分析】由题意知，要选择平均数大且方差小的成绩，比较四名队员的平均数
14、与方差，进而可得答案【详解】解：，丙、丁的成绩更好；，甲、丙的成绩更稳定；丙的成绩好又发挥稳定；故选：C【点睛】本题考查了运用平均数与方差作决策解题的关键在于熟练掌握平均数与方差的意义8. 如图，在中，AB为直径，CD为弦，若，则的度数是（ ）A. 40B. 50C. 60D. 70【答案】D【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得BACD，再根据圆周角的推论推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径可得ADB90，由BAD90B代入计算即可得出答案【详解】解：，BACD20，AB为O的直径，ADB90，BAD90B902070故选：D【点睛】本题主要考查了
15、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键9. 如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成32的夹角，已知缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到山顶B需16分钟，则山的高度为（ ）A 800sin32B. C. 800tan32D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意可得，米，再根据三角函数的定义，即可求解【详解】解：根据题意可得，米，根据三角函数的定义可得：（米）故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的定义是解题的关键10. 已知点A（，6），B（m，），C（，）在反比例函数的图象上，若，则下列大小关系正确的是( )A. B. C. D. 【答案】
16、C【解析】【分析】将代入，求得反比例函数解析式，进而根据反比例函数的性质对函数值的大小进行比较即可【详解】解：将代入得，解得，当时，随着的增大而增大，当时，故选C【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可【详解】解：故答案为: 【点睛】本题主要考查了因式分
17、解能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍12. 已知扇形的面积为，圆心角为120，则它的半径为_【答案】3【解析】【详解】解：设半径为r，由题意，得 r2=3，解得r=3，故答案为313. 某中学进行“优秀班级”评比，将品德操行，纪律，卫生评比三项按4：3：3的比例确定班级成绩若九（1）班这三项的成绩分别为90分，83分，87分，则九（1）班的最终成绩是_分【答案】87【解析】【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可得答案【详解】九（1）班的最终成绩是：（分），故答案为：87【点睛】本题考查加权平均数的计
18、算在计算加权平均数时，需要突破解题过程中的两个“坎儿”：（1）能根据题意分辨出所计算的平均数是加权平均数；（2）能正确确定有关数据的权14. 一个正多边形的每个内角都为135，那么该正多边形的边数为_【答案】8【解析】【分析】先根据三角形的内角算出外角度数，再根据正多边形的外角和为360，即可算出边数【详解】解：一个正多边形的每个内角都为135，此多边形的每一个外角是：180-135=45，这个正多边形的边数是：36045=8，故答案为：8【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟练掌握正多边的内角与它相邻的外角和为180是解题的关键15. 一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元设两
19、次降价的百分率都为x，可列方程_【答案】25(1x)16【解析】【详解】试题分析：对于增长率和降低率问题的一般公式为：增长前数量=增长后的数量，降低前数量=降低后的数量，故本题的答案为：16. 如图，四边形ABCD为菱形，延长BC到E，在内作射线CM，使得，过点D作，垂足为F若，则对角线BD的长为_【答案】【解析】【分析】连接AC交BD于H，证明DCHDCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度【详解】解：如图，连接AC交BD于点H，由菱形的性质得BDC=35，DCE=70，又MCE=15，DCF=55，DFCM，CDF=35，又四边形ABCD是菱形，BD平分ADC，HDC=35，在
20、CDH和CDF中，CDHCDF（AAS），DB=，故答案为【点睛】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出HDC=FDC是这个题最关键的一点三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题，每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）17. 计算：【答案】【解析】【分析】根据代入计算即可【详解】=【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、特殊角的函数值和绝对值的化简，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算，熟记特殊角的函数值是解题的关键18. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】
21、先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简，然后代x的值，进行二次根式化简【详解】解：原式=当时，原式=【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键19. 老师布置了一道尺规作图的作业：如图，已知ABC，求作ABC边BC上的高AM下面是小红同学的尺规作图过程：如图，延长线段；以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在下方交于点；连接，交于点则线段就是边上的高根据小红同学的尺规作图过程和图形，请将下面的证明过程补充完整：由可得：AD=_，由可得：CE=_，是的垂直平分线（_）（填推理的依据）AM是ABC边BC上的高【答
22、案】AC；DE；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质即可完成证明【详解】解：由可得：AD=AC，由可得：CE=DE，AE是CD的垂直平分线（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）即AM是ABC边BC上的高线故答案为：AC，DE，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法20. 某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随
23、机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图（1）请根据统计图将下面的信息补充完整： 参加问卷调查的学生共有_人； 扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为_；（2）若该校共有学生1500名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？（3）现从喜欢编导表演课程甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率【答案】（1）240；36 （2）估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有450人； （3）画图见解析； 【解析】【分析】（1）由最喜欢B课程人数
24、及其所占百分比可得总人数；用360乘以最喜欢D课程人数所占比例即可得出其对应圆心角度数；（2）求出最喜欢C课程人数所占百分比后，再乘以总人数1500即可；（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可【小问1详解】解：参加问卷调查的学生人数是8435%=240（人），扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为360=36，故答案为：240，36；【小问2详解】解：最喜欢D课程人数所占百分比为100%=10%，最喜欢C课程的人数所占百分比为1-（25%+35%+10%）=30%，估计全体2100名学生中最喜欢C课程的人数约为：150030%=450（人），答：估
25、计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有450人；【小问3详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数为2，恰好甲和丁同学被选到的概率为【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率，也考查了统计图21. 如图，在中，为边上一点，为的中点，过点作，交的延长线与点.（1）求证： BF=EF；（2）若，求的长.【答案】（1）见解析；（2）CD=8【解析】【分析】(1)根据平行线的性质可得出DAB=ADE，结合为的中点及对顶角相等，即可证出AFBDFE，再由全等三角形的性质即可得到结论
26、；（2）由AFBDFE，得到DE=AB,再求出CE的长，即可求出CD的长.【详解】(1)证明：AB/CD，DAB=ADE为的中点，AF=DF,在AFB和DFE中，AFBDFE，BF=EF(2)AFBDFE，DE=AB,，CE=2，CD=8.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质.解题的关键是：利用全等三角形的判定定理证出AFBDFE22. 某物流公司承接A、B两种出口货物的运输业务，已知3月份A货物运费单价为70元/吨，B货物运费单价为40元/吨，共收取运费180000元；4月份由于油价下调，运费单价下降为：A货物50元/吨，B货物30元/吨；该物流公司4月承接的两种货物的数量与3月份相同，
27、4月份共收取130000元（1）该物流公司3月份运输两种货物各多少吨；（2）该物流公司预计5月份运输这两种货物共3600吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与4月份相同的情况下，该物流公司5月份最多将收到多少运费？【答案】（1）该物流公司3月份运输A货物2000吨，B货物1000吨 （2）该物流公司5月份最多将收到156000元运费【解析】【分析】（1）根据题意设未知数，然后根据所需要的运费和的等量关系列方程组，解二元一次方程组可得解；（2）设B种货物为m吨，则A种货物为（3600m）吨，根据5月的运费单价可列式求出运费的式子（是一个一次函数），然后根据A货物的数量不大于B货物的2
28、倍，可列不等式求出m的范围，最后根据一次函数的增减性判断求出结果【小问1详解】解：设3月份运输A种货物x吨，B种货物y吨，依题意得解得答：该物流公司3月份运输A货物2000吨，B货物1000吨小问2详解】解：设该物流公司预计5月份运输B货物m吨，则A货物（3600m）吨A货物数量不大于B货物的2倍3600m2mm1200设5月份运费为W，则W50(3600m)30m20m180000200，W随m的增大而减小，m1200，当m1200时，W最大，此时W201200180000156000（元）答：该物流公司5月份最多将收到156000元运费【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用、一元一
29、次不等式的实际应用及一次函数求最值问题，牢固掌握以上知识点并根据题意找出等量关系与不等关系是做出本题的关键23. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，点E在线段OC上，且OE=CE（1）求证：；（2）若，分别是，的中点，求证：是等腰三角形；当时，时，求平行四边形的面积【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析；120【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可知， ，则，可得是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，进而结论得证；（2）由等腰三角形的性质可知，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由中位线的性质可知，由平行四边形的性质可知，可得，进而结论得证；
30、证明四边形是平行四边形，则，证明，则是等腰三角形，设，则，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的值，进而可得的值，根据计算求解即可得平行四边形的面积【小问1详解】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，【小问2详解】证明：BOC是等腰三角形，E是CO中点，G为AB中点，E、F分别是OC、OD的中点，四边形ABCD是平行四边形，是等腰三角形解：由题意知，四边形是平行四边形，是等腰三角形，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得或 （不合题意，舍去），平行四边形的面积为120【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜
31、边的一半，中位线，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用24. 若将函数的图象沿直线l对折，与函数的图象重合，则称函数与互为“轴对称函数”，直线l叫作函数与函数的“轴直线”如函数关于直线y轴的轴对称函数是（1）若轴直线为x轴，求函数的关于x轴的轴对称函数的解析式；（2）若函数F：，轴直线为y轴，此时的轴对称函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，求b的值；（3）若函数F：，轴直线为，函数的轴对称函数是，当时，的图象恒在的图象的下方，求k的取值范围【答案】（1）（1） （2）（2） （3）（3）【解析】【分析】（1）在函数y=x+1轴对称函数上任意一点（x
32、，y）则该点关于x轴的对称点（x，-y），代入函数解析式y=x+1即可求解；（2）由（1）先求出C2的解析式为y=-2x+b，再联立-2x+b=，根据题意=0即可；（3）设函数C2上任意一点（x，y），则该点关于x=1的对称点为（2-x，y），将点（2-x，y）代入y=-x2+9即可求出C2的解析式为y=-（2-x）2+9，联立kx+3k=-（2-x）2+9，求出=0时k的值，再由题意可得k的取值范围【小问1详解】设函数y=x+1的轴对称函数上任意一点（x，y），则该点关于x轴的对称点为（x，-y），点（x，-y）在y=x+1的上，C2的解析式为y=-x-1；【小问2详解】设函数y=2x+b上
33、任意一点（x，y），则该点关于y轴的对称点为（-x，y），点（-x，y）在y=2x+b的轴对称函数上，C2的解析式为y=-2x+b，联立-2x+b=，得2x2-bx+2=0，函数C2的图象与函数y的图象有且只有一个交点，=b2-16=0，b=4；【小问3详解】设函数C2上任意一点（x，y），则该点关于x=1的对称点为（2-x，y），点（2-x，y）在y=-x2+9的轴对称函数上，C2的解析式为y=-（2-x）2+9，y=kx+3k=k（x+3），直线y=kx+3k恒过定点（-3，0），联立kx+3k=-（2-x）2+9，得x2+（k-4）x+3k-5=0，=（k-4）2-4（3k-5）=0，k
34、=2或k=18（舍），k2时，C2的图象恒在y=kx+3k的图象的下方【点睛】本题考查函数的综合应用，理解轴对称函数的概念，利用点的对称关系求函数解析式是解题的关键25. 在边长为1的正方形中，以点为圆心，为半径作弧，为上的一动点，过点作的切线交于点，交于点，交的延长线于点（1）当时，求证：点为线段的中点；（2）设长为x，长为y，求y关于x的函数关系式；（3）将沿直线翻折后得，当时，与是否相似？如果相似，请加以证明；如果不相似，写出理由【答案】（1）证明见详解 （2） （3）相似，证明见解析【解析】【分析】（1）如图1，连接，由正方形的性质可知，则，是等腰直角三角形，由切线的性质可求，三点共线
35、，根据等腰三角的性质进行证明即可；（2）如图2，连接，由、是的切线，可知，设，则，根，求出，然后证明，则，即，求出与的函数关系式；（3）由题意知，由（2）可知，即，整理求解或，分两种情况求解：当时，即，为线段的中点，如图3，与交点记为，可说明是的中位线，由中位线的性质可知，进而可证相似；当时，如图4，与交点记为，说明，根据，即，求解，根据，可知与不相似；进而可得答案【小问1详解】证明1：如图，连接，由正方形的性质可知，是等腰直角三角形，是的切线，三点共线，即，F为线段PQ的中点【小问2详解】解：如图2，连接，、是的切线，设，则，即，解得，又，即，整理得，y关于x的函数关系式为【小问3详解】解：，由（2）可知，即，解得或，当时，即，为线段的中点，如图3，与交点记，由折叠的性质可知，垂直平分，是的中点，是的中位线，；当时，如图4，与交点记为，由折叠的性质可知，垂直平分， ，即，解得，此时与不相似；综上所述，当，时，与相似【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，切线的性质定理，三角形内角和定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，函数等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用