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2023年高考数学二轮复习专题突破精练:第20讲 一类与平方结构的三角形问题和正切有关的最值问题(含答案解析)

1、第20讲 一类与平方结构的三角形问题和正切有关的最值问题【典型例题】例1(2022洛阳二模)已知的三边分别为,若满足,则面积的最大值为ABCD例2已知的内角,的对边分别为,若,则的最小值为ABCD例3在锐角三角形中,则的最小值是A3BCD12例4(2022春攀枝花期末)已知的内角、的对边分别为、,边上的高为,且,则的最大值是ABC4D6例5(2022张掖模拟)在中,内角,的对边长分别为,且,则等于A3B4C6D7例6(2022春南京期中)在斜三角形中,内角,所对的边分别为,若,则的最小值为ABCD例7(2022春仓山区校级期中)在锐角中,角,的对边分别为,的面积为,若,则的取值范围A,B,CD

2、例8(2022道里区校级二模)在锐角中,角,的对边分别为,的面积为,若,则的取值范围为ABCD例9(2022太原二模)已知,分别是内角,的对边,则周长的最小值为例10(2022秦淮区模拟)在锐角三角形中,已知,则的最小值为例11(2022秋如皋市月考)已知锐角的角,所对的边分别,且(1)求角的值;(2)求的最小值例12已知锐角中,则的最小值例13(2022临沂开学)在中,内角,的对边分别为,且(1)证明:;(2)记的面积为,点是内一点,且,证明:【同步练习】一选择题1(2022春铁东区校级期末)在中,角,所对的边分别为,已知,且的面积,则周长的最大值是A6BCD2(2022秋河南期末)在中,角

3、,所对的边分别为,若的平分线与交于点,则ABCD33(2022春钦南区校级月考)在中,是角,的对边,若,则A3B2C1D4(2022春龙凤区校级期末)在中,分别是角,的对边,若,则的值为A0B1C2021D20225(2022春黄骅市校级期中)在中,依次成等差数列,则的取值范围是A,B,CD,6(2022岳普湖县一模)已知在锐角中,角,的对边分别为,若,则的最小值为ABCD二填空题7(2022太原二模)已知,分别是的内角,的对边,且,则周长的最小值为8(2022浙江三模)在锐角三角形中,角,的对边分别为,若已知,则的最小值是9(2022如东县校级模拟)在锐角三角形,是边上的中线,且,则的最小值

4、为10(2022秋11月份月考)锐角三角形中,角,的对边分别为,若,则的最小值是11(2022春常州期中)在中,内角,所对应的边分别为,边上的高为,则的最大值为12(2022春建邺区校级月考)已知锐角,且,则的最小值为13(2022无锡一模)在锐角三角形中,已知,则的最小值为14(2022春徐汇区校级期中)在锐角三角形中,若,则的最小值是 15(2022江苏模拟)在锐角三角形中,若,依次成等差数列,则的值为16(2022洛阳一模)在中,内角,的对边分别为,若,则17(2022江苏)在锐角三角形中,若,则的最小值是18(2022芜湖模拟)已知的内角,的对边分别为,若,则最小值是19(2022凯里

5、市校级模拟)已知在锐角中,角,的对边分别为,若,则的最小值为三解答题20(2022春烟台期中)已知的内角,所对的边分别为,且满足(1)若为锐角三角形,且,求的取值范围;(2)若点在边上,且,求面积的最大值21(2022秋湖南月考)在中,内角,满足且(1)求证:;(2)求的最小值22(2022秋雁塔区校级期中)在锐角三角形中,若求的最小值23(2022春崂山区校级期中)在锐角三角形中,(1)求证:;(2)求的最小值第20讲 一类与平方结构的三角形问题和正切有关的最值问题【典型例题】例1(2022洛阳二模)已知的三边分别为,若满足,则面积的最大值为ABCD【解析】解:由三角形面积公式可得:,可得:

6、,可得:,解得:,当且仅当时等号成立,当且仅当时等号成立,当时,取得最大值,的最大值为故选:例2已知的内角,的对边分别为,若,则的最小值为ABCD【解析】解:,化为:,化为:则令,可得时,函数取得最小值故选:例3(2022镇海区校级模拟)在锐角三角形中,则的最小值是A3BCD12【解析】解:,两边同时除以,得,锐角,当且仅当,即时,等号成立,而,即,故选:例4(2022春攀枝花期末)已知的内角、的对边分别为、,边上的高为,且,则的最大值是ABC4D6【解析】解:由余弦定理可得:,故:,而,故,所以:故选:例5(2022张掖模拟)在中,内角,的对边长分别为,且,则等于A3B4C6D7【解析】解:

7、,即,利用正弦定理化简得:,即,整理得:,即,代入已知等式得:,解得:或(舍去),则故选:例6(2022春南京期中)在斜三角形中,内角,所对的边分别为,若,则的最小值为ABCD【解析】解:由及正弦定理得,所以,即,且,又,则,当且仅当,即时取等号,此时取得最小值故选:例7(2022春仓山区校级期中)在锐角中,角,的对边分别为,的面积为,若,则的取值范围A,B,CD【解析】解:由,得,即,是三角形内角,由余弦定理得,由正弦定理得,即,即,即,是锐角三角形,即,根据双勾函数的性质可知,在时取最小值,且,的取值范围是故选:例8(2022道里区校级二模)在锐角中,角,的对边分别为,的面积为,若,则的取

8、值范围为ABCD【解析】解:在中,即,由余弦定理可得,故,由正弦定理可得,化简整理可得,故或(舍去),则,为锐角三角形,解得,故,故选:例9(2022太原二模)已知,分别是内角,的对边,则周长的最小值为【解析】解:,由正弦定理可得:,可得:,可得:,又由余弦定理可得:,可得,当且仅当时等号成立,可得:,当且仅当时等号成立,周长的最小值为:故答案为:例10(2022秦淮区模拟)在锐角三角形中,已知,则的最小值为【解析】解:利用正弦定理把角化边,再由余弦定理可得:,又,即,代入当且仅当即时(因为是锐角三角形成立)等号成立故的最小值为:故答案为:例11(2022秋如皋市月考)已知锐角的角,所对的边分

9、别,且(1)求角的值;(2)求的最小值【解析】解:(1),即,由余弦定理可得,为锐角三角形,联立可得,解得,(2),为锐角,当且仅当,即时,等号成立,令,则,解得或(舍去),故的最小值为3例12已知锐角中,则的最小值【解析】解:,可得,由三角形为锐角三角形,则,在式两侧同时除以可得,又,则,由,可得,令,由,为锐角可得,由式得,解得,因此的最小值为12例13(2022临沂开学)在中,内角,的对边分别为,且(1)证明:;(2)记的面积为,点是内一点,且,证明:【解析】解:(1)证明:由可得:,即,即,在三角形中可得:,由余弦定理可得,所以,即证得:;(2)证明:设,的面积分别为,在中,由余弦定理

10、可得,所以,所以,所以,即,同理可得在,中,即,所以,而,所以,即可证:【同步练习】一选择题1(2022春铁东区校级期末)在中,角,所对的边分别为,已知,且的面积,则周长的最大值是A6BCD【解析】解:因为,且的面积,则,即可得,所以,解得,(负值舍去),可得,所以由余弦定理可得,即,又,当且仅当时等号成立,所以,整理解得,即,当且仅当时等号成立,所以周长的最大值是故选:2(2022秋河南期末)在中,角,所对的边分别为,若的平分线与交于点,则ABCD3【解析】解:因为,所以,因为,所以,因为,所以,由正弦定理,可得,解得,因为的平分线与交于点,所以,即,所以由,可得,在中,由余弦定理可得故选:

11、3(2022春钦南区校级月考)在中,是角,的对边,若,则A3B2C1D【解析】解:在中,是角,的对边,若,由正弦定理和余弦定理得:,故选:4(2022春龙凤区校级期末)在中,分别是角,的对边,若,则的值为A0B1C2021D2022【解析】解:由已知得,即,所以,则故选:5(2022春黄骅市校级期中)在中,依次成等差数列,则的取值范围是A,B,CD,【解析】解:由已知得(显然,若,因为且,这与矛盾),又,所以又,因此,又,所以,即的取值范围是,故选:6(2022岳普湖县一模)已知在锐角中,角,的对边分别为,若,则的最小值为ABCD【解析】解:因为,得,由正弦定理得,所以,又因为,所以,所以,(

12、当且仅当,即,取“” 所以的最小值为故选:二填空题7(2022太原二模)已知,分别是的内角,的对边,且,则周长的最小值为【解析】解:根据题意,中,变形可得,由正弦定理可得:,即,又由,则,又由,则,变形可得;又由,则有,当且仅当时等号成立,由余弦定理可得:,即,当且仅当时等号成立,则有,周长的最小值为,当且仅当时等号成立,故答案为:8(2022浙江三模)在锐角三角形中,角,的对边分别为,若已知,则的最小值是【解析】解:由题意由,余弦定理可得:,即那么即那么,那么设,可得:;当且仅当时取“”,即故答案为:9(2022如东县校级模拟)在锐角三角形,是边上的中线,且,则的最小值为【解析】解:不妨设,

13、边上的高为,则,从而,所以,(当且仅当,即时,取等)故答案为:10(2022秋11月份月考)锐角三角形中,角,的对边分别为,若,则的最小值是【解析】解:锐角三角形中,当且仅当时“”成立;,即,;,时,取得最小值为故答案为:11(2022春常州期中)在中,内角,所对应的边分别为,边上的高为,则的最大值为4【解析】解:,的最大值是4故答案为:412(2022春建邺区校级月考)已知锐角,且,则的最小值为12【解析】解:在中,所以,所以,因为,所以,因为为锐角三角形,所以,则,令,则,故当,即时,为最小值12故答案为:1213(2022无锡一模)在锐角三角形中,已知,则的最小值为【解析】解:,由正弦定

14、理得,结合余弦定理,可得,再由正弦定理得,则,即当且仅当时取等号的最小值为故答案为:14(2022春徐汇区校级期中)在锐角三角形中,若,则的最小值是 16【解析】解:由已知得,两边同除,得,设,则,为锐角三角形,当且仅当,即时,等号成立,此时,的最小值为16故答案为:1615(2022江苏模拟)在锐角三角形中,若,依次成等差数列,则的值为3【解析】解:由题意知:,且,依次成等差数列,又,即,故答案为:316(2022洛阳一模)在中,内角,的对边分别为,若,则【解析】解:中,内角,的对边分别为,由于,则,则:,整理得:,故,所以:,则:(负值舍去)所以时,解得:故答案为:17(2022江苏)在锐

15、角三角形中,若,则的最小值是8【解析】解:由,可得,由三角形为锐角三角形,则,在式两侧同时除以可得,又,则,由可得,令,由,为锐角可得,由式得,解得,由得,因此当且仅当时,的最小值为8;另解:由已知条件,十,十,两边同除以,十,十,十十,十,当且仅当时取等号,令,即,即,或(舍去),所以的最小值为8此时,所以,解得,(或,互换),此时,均为锐角18(2022芜湖模拟)已知的内角,的对边分别为,若,则最小值是3【解析】解:,即,当且仅当时取等号,则最小值是3,故答案为:319(2022凯里市校级模拟)已知在锐角中,角,的对边分别为,若,则的最小值为【解析】解:因为,所以,即,又因为,所以,所以,

16、(当且仅当,即,取“” 故答案为:三解答题20(2022春烟台期中)已知的内角,所对的边分别为,且满足(1)若为锐角三角形,且,求的取值范围;(2)若点在边上,且,求面积的最大值【解析】解:(1)由题意的内角,所对的边分别为,由正弦定理可得,即,为锐角三角形,即,所以,故,的取值范围(2)的内角,所对的边分别为,点在边上,且,所以,在中,在中,所以,即,又因为,所以,即(当且仅当时取等号),(当且仅当时取等号),所以面积的最大值21(2022秋湖南月考)在中,内角,满足且(1)求证:;(2)求的最小值【解析】(1)证明:因为且,所以,由正弦定理可得,所以,即,因为,故,所以,整理得;(2)解:设,则,由(1)得,当且仅当时取等号,所求最小值为22(2022秋雁塔区校级期中)在锐角三角形中,若求的最小值【解析】解:,即为,即,由锐角三角形,上式两边同除以,设,则,原式,当且仅当时,上式取得等号,可得所求最小值为1623(2022春崂山区校级期中)在锐角三角形中,(1)求证:;(2)求的最小值【解析】证明:(1),即为,即,由锐角三角形,上式两边同除以,由,为锐角可得,又得,解得,解:(2)令,可得,则,由可得,因此的最小值为8