1、第20讲 一类与平方结构的三角形问题和正切有关的最值问题【典型例题】例1（2022洛阳二模）已知的三边分别为，若满足，则面积的最大值为ABCD例2已知的内角，的对边分别为，若，则的最小值为ABCD例3在锐角三角形中，则的最小值是A3BCD12例4（2022春攀枝花期末）已知的内角、的对边分别为、，边上的高为，且，则的最大值是ABC4D6例5（2022张掖模拟）在中，内角，的对边长分别为，且，则等于A3B4C6D7例6（2022春南京期中）在斜三角形中，内角，所对的边分别为，若，则的最小值为ABCD例7（2022春仓山区校级期中）在锐角中，角，的对边分别为，的面积为，若，则的取值范围A，B，CD
2、例8（2022道里区校级二模）在锐角中，角，的对边分别为，的面积为，若，则的取值范围为ABCD例9（2022太原二模）已知，分别是内角，的对边，则周长的最小值为例10（2022秦淮区模拟）在锐角三角形中，已知，则的最小值为例11（2022秋如皋市月考）已知锐角的角，所对的边分别，且（1）求角的值；（2）求的最小值例12已知锐角中，则的最小值例13（2022临沂开学）在中，内角，的对边分别为，且（1）证明：；（2）记的面积为，点是内一点，且，证明：【同步练习】一选择题1（2022春铁东区校级期末）在中，角，所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是A6BCD2（2022秋河南期末）在中，角
3、，所对的边分别为，若的平分线与交于点，则ABCD33（2022春钦南区校级月考）在中，是角，的对边，若，则A3B2C1D4（2022春龙凤区校级期末）在中，分别是角，的对边，若，则的值为A0B1C2021D20225（2022春黄骅市校级期中）在中，依次成等差数列，则的取值范围是A，B，CD，6（2022岳普湖县一模）已知在锐角中，角，的对边分别为，若，则的最小值为ABCD二填空题7（2022太原二模）已知，分别是的内角，的对边，且，则周长的最小值为8（2022浙江三模）在锐角三角形中，角，的对边分别为，若已知，则的最小值是9（2022如东县校级模拟）在锐角三角形，是边上的中线，且，则的最小值
4、为10（2022秋11月份月考）锐角三角形中，角，的对边分别为，若，则的最小值是11（2022春常州期中）在中，内角，所对应的边分别为，边上的高为，则的最大值为12（2022春建邺区校级月考）已知锐角，且，则的最小值为13（2022无锡一模）在锐角三角形中，已知，则的最小值为14（2022春徐汇区校级期中）在锐角三角形中，若，则的最小值是 15（2022江苏模拟）在锐角三角形中，若，依次成等差数列，则的值为16（2022洛阳一模）在中，内角，的对边分别为，若，则17（2022江苏）在锐角三角形中，若，则的最小值是18（2022芜湖模拟）已知的内角，的对边分别为，若，则最小值是19（2022凯里
5、市校级模拟）已知在锐角中，角，的对边分别为，若，则的最小值为三解答题20（2022春烟台期中）已知的内角，所对的边分别为，且满足（1）若为锐角三角形，且，求的取值范围；（2）若点在边上，且，求面积的最大值21（2022秋湖南月考）在中，内角，满足且（1）求证：；（2）求的最小值22（2022秋雁塔区校级期中）在锐角三角形中，若求的最小值23（2022春崂山区校级期中）在锐角三角形中，（1）求证：；（2）求的最小值第20讲 一类与平方结构的三角形问题和正切有关的最值问题【典型例题】例1（2022洛阳二模）已知的三边分别为，若满足，则面积的最大值为ABCD【解析】解：由三角形面积公式可得：，可得：
6、，可得：，解得：，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，当时，取得最大值，的最大值为故选：例2已知的内角，的对边分别为，若，则的最小值为ABCD【解析】解：，化为：，化为：则令，可得时，函数取得最小值故选：例3（2022镇海区校级模拟）在锐角三角形中，则的最小值是A3BCD12【解析】解：，两边同时除以，得，锐角，当且仅当，即时，等号成立，而，即，故选：例4（2022春攀枝花期末）已知的内角、的对边分别为、，边上的高为，且，则的最大值是ABC4D6【解析】解：由余弦定理可得：，故：，而，故，所以：故选：例5（2022张掖模拟）在中，内角，的对边长分别为，且，则等于A3B4C6D7【解析】解：
7、，即，利用正弦定理化简得：，即，整理得：，即，代入已知等式得：，解得：或（舍去），则故选：例6（2022春南京期中）在斜三角形中，内角，所对的边分别为，若，则的最小值为ABCD【解析】解：由及正弦定理得，所以，即，且，又，则，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值故选：例7（2022春仓山区校级期中）在锐角中，角，的对边分别为，的面积为，若，则的取值范围A，B，CD【解析】解：由，得，即，是三角形内角，由余弦定理得，由正弦定理得，即，即，即，是锐角三角形，即，根据双勾函数的性质可知，在时取最小值，且，的取值范围是故选：例8（2022道里区校级二模）在锐角中，角，的对边分别为，的面积为，若，则的取
8、值范围为ABCD【解析】解：在中，即，由余弦定理可得，故，由正弦定理可得，化简整理可得，故或（舍去），则，为锐角三角形，解得，故，故选：例9（2022太原二模）已知，分别是内角，的对边，则周长的最小值为【解析】解：，由正弦定理可得：，可得：，可得：，又由余弦定理可得：，可得，当且仅当时等号成立，可得：，当且仅当时等号成立，周长的最小值为：故答案为：例10（2022秦淮区模拟）在锐角三角形中，已知，则的最小值为【解析】解：利用正弦定理把角化边，再由余弦定理可得：，又，即，代入当且仅当即时（因为是锐角三角形成立）等号成立故的最小值为：故答案为：例11（2022秋如皋市月考）已知锐角的角，所对的边分
9、别，且（1）求角的值；（2）求的最小值【解析】解：（1），即，由余弦定理可得，为锐角三角形，联立可得，解得，（2），为锐角，当且仅当，即时，等号成立，令，则，解得或（舍去），故的最小值为3例12已知锐角中，则的最小值【解析】解：，可得，由三角形为锐角三角形，则，在式两侧同时除以可得，又，则，由，可得，令，由，为锐角可得，由式得，解得，因此的最小值为12例13（2022临沂开学）在中，内角，的对边分别为，且（1）证明：；（2）记的面积为，点是内一点，且，证明：【解析】解：（1）证明：由可得：，即，即，在三角形中可得：，由余弦定理可得，所以，即证得：；（2）证明：设，的面积分别为，在中，由余弦定理
10、可得，所以，所以，所以，即，同理可得在，中，即，所以，而，所以，即可证：【同步练习】一选择题1（2022春铁东区校级期末）在中，角，所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是A6BCD【解析】解：因为，且的面积，则，即可得，所以，解得，（负值舍去），可得，所以由余弦定理可得，即，又，当且仅当时等号成立，所以，整理解得，即，当且仅当时等号成立，所以周长的最大值是故选：2（2022秋河南期末）在中，角，所对的边分别为，若的平分线与交于点，则ABCD3【解析】解：因为，所以，因为，所以，因为，所以，由正弦定理，可得，解得，因为的平分线与交于点，所以，即，所以由，可得，在中，由余弦定理可得故选：
11、3（2022春钦南区校级月考）在中，是角，的对边，若，则A3B2C1D【解析】解：在中，是角，的对边，若，由正弦定理和余弦定理得：，故选：4（2022春龙凤区校级期末）在中，分别是角，的对边，若，则的值为A0B1C2021D2022【解析】解：由已知得，即，所以，则故选：5（2022春黄骅市校级期中）在中，依次成等差数列，则的取值范围是A，B，CD，【解析】解：由已知得（显然，若，因为且，这与矛盾），又，所以又，因此，又，所以，即的取值范围是，故选：6（2022岳普湖县一模）已知在锐角中，角，的对边分别为，若，则的最小值为ABCD【解析】解：因为，得，由正弦定理得，所以，又因为，所以，所以，（
12、当且仅当，即，取“” 所以的最小值为故选：二填空题7（2022太原二模）已知，分别是的内角，的对边，且，则周长的最小值为【解析】解：根据题意，中，变形可得，由正弦定理可得：，即，又由，则，又由，则，变形可得；又由，则有，当且仅当时等号成立，由余弦定理可得：，即，当且仅当时等号成立，则有，周长的最小值为，当且仅当时等号成立，故答案为：8（2022浙江三模）在锐角三角形中，角，的对边分别为，若已知，则的最小值是【解析】解：由题意由，余弦定理可得：，即那么即那么，那么设，可得：；当且仅当时取“”，即故答案为：9（2022如东县校级模拟）在锐角三角形，是边上的中线，且，则的最小值为【解析】解：不妨设，
13、边上的高为，则，从而，所以，（当且仅当，即时，取等）故答案为：10（2022秋11月份月考）锐角三角形中，角，的对边分别为，若，则的最小值是【解析】解：锐角三角形中，当且仅当时“”成立；，即，；，时，取得最小值为故答案为：11（2022春常州期中）在中，内角，所对应的边分别为，边上的高为，则的最大值为4【解析】解：，的最大值是4故答案为：412（2022春建邺区校级月考）已知锐角，且，则的最小值为12【解析】解：在中，所以，所以，因为，所以，因为为锐角三角形，所以，则，令，则，故当，即时，为最小值12故答案为：1213（2022无锡一模）在锐角三角形中，已知，则的最小值为【解析】解：，由正弦定
14、理得，结合余弦定理，可得，再由正弦定理得，则，即当且仅当时取等号的最小值为故答案为：14（2022春徐汇区校级期中）在锐角三角形中，若，则的最小值是 16【解析】解：由已知得，两边同除，得，设，则，为锐角三角形，当且仅当，即时，等号成立，此时，的最小值为16故答案为：1615（2022江苏模拟）在锐角三角形中，若，依次成等差数列，则的值为3【解析】解：由题意知：，且，依次成等差数列，又，即，故答案为：316（2022洛阳一模）在中，内角，的对边分别为，若，则【解析】解：中，内角，的对边分别为，由于，则，则：，整理得：，故，所以：，则：（负值舍去）所以时，解得：故答案为：17（2022江苏）在锐
15、角三角形中，若，则的最小值是8【解析】解：由，可得，由三角形为锐角三角形，则，在式两侧同时除以可得，又，则，由可得，令，由，为锐角可得，由式得，解得，由得，因此当且仅当时，的最小值为8；另解：由已知条件，十，十，两边同除以，十，十，十十，十，当且仅当时取等号，令，即，即，或（舍去），所以的最小值为8此时，所以，解得，（或，互换），此时，均为锐角18（2022芜湖模拟）已知的内角，的对边分别为，若，则最小值是3【解析】解：，即，当且仅当时取等号，则最小值是3，故答案为：319（2022凯里市校级模拟）已知在锐角中，角，的对边分别为，若，则的最小值为【解析】解：因为，所以，即，又因为，所以，所以，
16、（当且仅当，即，取“” 故答案为：三解答题20（2022春烟台期中）已知的内角，所对的边分别为，且满足（1）若为锐角三角形，且，求的取值范围；（2）若点在边上，且，求面积的最大值【解析】解：（1）由题意的内角，所对的边分别为，由正弦定理可得，即，为锐角三角形，即，所以，故，的取值范围（2）的内角，所对的边分别为，点在边上，且，所以，在中，在中，所以，即，又因为，所以，即（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以面积的最大值21（2022秋湖南月考）在中，内角，满足且（1）求证：；（2）求的最小值【解析】（1）证明：因为且，所以，由正弦定理可得，所以，即，因为，故，所以，整理得；（2）解：设，则，由（1）得，当且仅当时取等号，所求最小值为22（2022秋雁塔区校级期中）在锐角三角形中，若求的最小值【解析】解：，即为，即，由锐角三角形，上式两边同除以，设，则，原式，当且仅当时，上式取得等号，可得所求最小值为1623（2022春崂山区校级期中）在锐角三角形中，（1）求证：；（2）求的最小值【解析】证明：（1），即为，即，由锐角三角形，上式两边同除以，由，为锐角可得，又得，解得，解：（2）令，可得，则，由可得，因此的最小值为8