1、第13讲 半分离参数、全分离参数与分离函数【典型例题】例1已知函数，若，时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A，B，C，D，例2已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 例3已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围例4已知函数，（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围例5设函数（）设函数，讨论的零点个数，并说明理由；（）当时，求实数的取值范围例6已知函数，时，证明：；（），若，求的取值范围例7已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围例8已知函数（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函
2、数的导函数有两个零点，求实数的取值范围例9已知函数，是常数（1）若，求在点，（2）处的切线方程；（2）若对恒成立，求的取值范围（参考公式：【同步练习】一选择题1当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A，B，C，D，2，使不等式成立，则实数的取值范围是A，B，C，D，3设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是A，BCD不能确定二解答题4已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围5已知函数（）当时，讨论的单调性；（）当时，恒成立，求实数的取值范围6（1）若曲线的一条切线为，其中，为正实数，求的取值范围（2）已知函数当时，讨论的单调性；当时，求的取值范围7已知函数，其中（1）当时
3、，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围8已知函数，如果当，且时，求的取值范围9设函数（1）求的极值点；（2）当时，求实数的取值范围10已知函数（1）求函数在处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围11已知的定义域为，且是奇函数，当时，若（1）（3），（2）（1）求，的值；及在时的表达式；（2）求在时的表达式；（3）若关于的方程有解，求的取值范围12已知函数，（注为自然对数的底数）（）求的最小值；（）如果对所有的，都有恒成立，求实数的取值范围13已知函数（）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（）若函数，对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围14已知函数，（）讨论函数的单调性；
4、（）当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围第13讲 半分离参数、全分离参数与分离函数【典型例题】例1已知函数，若，时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A，B，C，D，【解析】解：由，且恒成立，得恒成立，即在，上恒成立令，则令，则，则在，上单调递减，（3），（4），存在，使得，即，当时，即，单调递增；当，时，即，单调递减，又，则，即，即实数的取值范围为，故选：例2已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为，【解析】解：当时，（1）恒成立，；当时，化为恒成立，当且仅当即时取等号；当时，化为恒成立设，当时，单调递减，当时，单调递增，（e），综上，故答案为，例3已知函数（1）当时，讨论的单
5、调性；（2）当时，求的取值范围【解析】解：（1）当时，设，因为，可得在上递增，即在上递增，因为，所以当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，恒成立，当时，不等式恒成立，可得；当时，可得恒成立，设，则，可设，可得，设，由，可得恒成立，可得在递增，在递增，所以，即恒成立，即在递增，所以，再令，可得，当时，在递增；时，在递减，所以（2），所以，综上可得的取值范围是，例4已知函数，（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围【解析】解：（1），由得或，当时，由，得或，由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，当时，由，得或，由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减
6、，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，则在上单调递增综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减，当时，在和上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增（2）由可转化为，令，令，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以时，在内存在唯一零点，当时，单调递减，当，时，单调递增，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为，例5设函数（）设函数，讨论的零点个数，并说明理由；（）当时，求实数的取值范围【解析】解：（1），当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值，又（1），当时，在和上各存在一个零点，有2个零点（2）令，则，令可得，解得，
7、当时，当时，在上单调递增，在，上单调递减，又，且在上恒成立，例6已知函数，时，证明：；（），若，求的取值范围【解析】解：（）函数，令，在内，单减；在内，单增所以的最小值为，即，所以在内单调递增，即（）令，则，令，由（）得，则在上单调递减（1）当时，且在上，单调递增，在上，单调递减，所以的最大值为，即恒成立（2）当时，时，解得即，时，单调递减，又，所以此时，与恒成立矛盾（3）当时，时，解得即， 时，单调递增，又，所以此时，与恒成立矛盾综上，的取值为1例7已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围【解析】解：（1）当时，且，令，当时，当时，函数在上单调递减，
8、在上单调递增，当且时，（1），函数在上单调递增，在上单调递增（2），问题等价于对于任意恒成立，令，在上单调递增，在上单调递减，令，在上单调递减，综上所述，的取值范围为例8已知函数（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数的导函数有两个零点，求实数的取值范围【解析】解：（1），当时，则，（1），又（1），所求切线方程为：，即（2）由题意得：的定义域为，；有两个零点，在上有两个不等实根；即在上有两个不等实根，令，转化为与的图象在有两个不同的交点，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；又，当时，可得的大致图象如图所示，由图象可知：若与的图象在有两个不同的交点，需满足，即实数的取值范围
9、为：例9已知函数，是常数（1）若，求在点，（2）处的切线方程；（2）若对恒成立，求的取值范围（参考公式：【解析】解：（1）由，（1分）（2）（2分），又（2）曲线在点，（2）的切线为（4分），即在点，（2）的切线为；（5分）（2）由得（6分），对，所以（8分），设，则（10分），在区间单调递减（11分），的取值范围为（14分）【同步练习】一选择题1当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：当时，不等式对任意恒成立；当时，可化为，令，则，当时，在，上单调递增，（1），；当时，可化为，由式可知，当时，单调递减，当时，单调递增，；综上所述，实数的取值范围是，即实数的取值范围
10、是，故选：2，使不等式成立，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：当时，不等式对任意恒成立；当时，可化为，令，则，当时，在，上单调递增，（1），；当时，可化为，由式可知，当时，单调递减，当时，单调递增，；综上所述，实数的取值范围是，即实数的取值范围是，故选：3设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是A，BCD不能确定【解析】解：由得，对任意，恒成立整理得恒成立，即恒成立显然，当时，显然当时最小为2，即，解得或所以符合题意当时，此时无最大值，所以不成立综上，所求实数的范围是故选：二解答题4已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围【解析】解：（1）当时，所以，当时，函数
11、单调递增，当时，函数单调递减，所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；（2）由题意得，时，恒成立，即恒成立，所以，令，由重要不等式可知，当时，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以（1），所以，即，所以的范围为5已知函数（）当时，讨论的单调性；（）当时，恒成立，求实数的取值范围【解析】解：当时，则在上单调递增，又，故当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，不等式恒成立，当时，由恒成立可得恒成立，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，所以，在上单调递增，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以（2），所以，故的取值范围为6（1）若曲线的一条切线
12、为，其中，为正实数，求的取值范围（2）已知函数当时，讨论的单调性；当时，求的取值范围【解析】解：（1），设切点，则，则，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故的取值范围是，（2），令，则，故在上单调递增且，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故当时，函数在上单调递增，在上单调递减；由题意得，当时，显然满足题意；当时，可得，令，则，令，则，所以在上单调递增，故，故在时单调递增，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，故（2），所以，故7已知函数，其中（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围【解析】解：（1），令，时，即，在递增，时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在，
13、递减，在，递增；（2）时，显然成立，时，问题转化为在恒成立，令，则，令，则，故（1），故在递减，而，故8已知函数，如果当，且时，求的取值范围【解析】解：，所以考虑函数，则设，由知，当时，而（1），故当时，可得；当时，可得从而当，且时，即设由于当时，故，而（1），故当时，可得，与题设矛盾设此时，而（1），故当时，可得，与题设矛盾综合得，的取值范围为，9设函数（1）求的极值点；（2）当时，求实数的取值范围【解析】解：（1）因为，所以，令可知，当或时，当时，所以在，上单调递减，在，上单调递增；故是极小值点，是极大值点；（2）由题可知下面对的范围进行讨论：当时，设函数，则，因此在，上单调递减，又因为，
14、所以，所以；当时，设函数，则，所以在，上单调递增，又，所以因为当时，所以，取，则，所以，矛盾；当时，取，则，矛盾；综上所述，的取值范围是，10已知函数（1）求函数在处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（1）定义域，由已知得：，（1），（1），故切线方程为，即（2），令，则由，解得，当变化时，变化如下：10单调递增极大值单调递减在有唯一极值，且是极大值，则此极大值即最大值所以（1），所以，故所求的范围是，11已知的定义域为，且是奇函数，当时，若（1）（3），（2）（1）求，的值；及在时的表达式；（2）求在时的表达式；（3）若关于的方程有解，求的取值范围【解析】解：（1）（1
15、）（3），函数图象的对称轴，得，又（2），当时，（2）由（1）得，当时，当时，是奇函数，当时，（3）由题意，只需在上有解，即的取值范围是，12已知函数，（注为自然对数的底数）（）求的最小值；（）如果对所有的，都有恒成立，求实数的取值范围【解析】（）解：，由，得，当时，；，的最小值为（）解：时，恒成立当上式取等号显然恒成立当，问题等价于，其中，记，知在上单调递增，又在处连续，则，于是有，知在上单调递增，由，得到的取值范围，13已知函数（）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（）若函数，对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（）当时，（1），又因为（1），所以曲线在点，（1）处的切线方程为：（）函数，由题意可得：，对，恒成立，可转化为：，设，设，则，所以在区间，上单调递增，又（1），存在唯一的，使得当时，当，时，又因为，所以，又，故实数的取值范围为14已知函数，（）讨论函数的单调性；（）当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（），当时，在上单调递增；当时，则时，在上单调递减；时，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增（）由题意知，时，恒成立，即恒成立，即，只需，令，则令，则，在，上单调递增，因此，故在，上单调递增，则，所以，实数的取值范围是