1、第15讲 函数中的两边夹思想与最大值的最小值问题【典型例题】例1（2022上饶二模）已知实数，满足，则的值为A2B1C0D例2（2022天津模拟）已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是A，B，C，D，例3（2022秋丽水期末）设，A若恒成立，则B若，则恒成立C若恒成立，则D若，则恒成立例4（2022济南模拟）已知函数，若对任意的实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是AB，C，D，例5（2022秋浙江月考）已知，记的最大值为，则的最小值是ABCD例6（2022浙江模拟）已知函数，当，时，的最大值为，若的最小值为4，则实数的取值范围为A，BC，D【同步练习】一选择题1若不等式对
2、，恒成立，则的值等于ABC1D22（2022秋嘉兴期末）若不等式对，恒成立，则ABCD3（2022春温州期末）若不等式对任意的恒成立，则A，B，C，D，4（2022浙江）已知，且，对于任意均有，则ABCD5（2022春杭州期末）若不等式对任意实数恒成立，则AB0C1D26（2022秋上城区校级期中）若在上始终成立，则的值为A0B1C2D37（2022秋宁波期末）已知函数，当时，则实数的取值范围为ABCD8（2022春湖州期末）若存在正实数，使得不等式成立，则ABCD9（2022秋台州期中）已知，若对任意的，都有，则A1B3C4D810已知函数，当，时，的最大值为，则的最小值为ABCD1二填空题
3、11（2022秋湖北月考）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值为12（2022秋浙江期中）已知，函数，对任意，使得恒成立，则实数的取值范围为13（2022春齐齐哈尔期末）已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是14（2022春长沙期末）设，若时，均有，则15（2022秋义乌市月考）已知，满足在定义域上恒成立，则的值为16（2022秋西湖区校级期中）对任意的，不等式恒成立，则实数17（2022春宁乡市校级月考）对任意的，不等式恒成立，则实数的值是18（2022秋浙江期中）若不等式对任意的恒成立，则的最大值为19（2022浙江模拟）已知，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为20（
4、2022秋泰兴市校级期中）已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为21（2022秋温州期末）当时，恒成立，则的取值范围是22（2022秋义乌市月考）已知实数，满足对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值是23（2022浙江模拟）已知函数，当，时，的最大值为（a），则（a）的最小值为 24（2022南京模拟）设函数，若对任意实数，总存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是25（2022秋浙江月考）设函数，若对任意的实数和实数，总存在，使得，则实数的最大值是26（2022秋浦东新区校级月考）设函数，若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是27（2022浙江二模）设，若对于，都成立，
5、则三解答题28（2022秋江北区校级期中）已知函数，对任意的，都有成立，（1）求的值；（2）函数取得最小值0，且对任意，不等式恒成立，求函数的解析式；（3）若方程没有实数根，判断方程根的情况，并说明理由29（2022南京模拟）已知二次函数，为实数）（1）若的解集为，求不等式的解集；（2）若对任意，时，恒成立，求的最小值；（3）若对任意，恒成立，求的最大值30已知函数，若对任意，总有成立，求，的值31已知三次函数，（1）在上有两个零点，求的取值范围；（2）是否存在实数，使得任意，均有，如存在，求出，的值；若不存在，请说明理由32（2022秋双台子区校级月考）设函数，其中，（1）求的单调区间；（2
6、）若存在极值点，且，其中，求证：；（3）设，函数，求证：在区间，上的最大值不小于第15讲 函数中的两边夹思想与最大值的最小值问题【典型例题】例1（2022上饶二模）已知实数，满足，则的值为A2B1C0D【解析】解：不等式，化为，即，所以；设，；则，所以时，单调递增，时，单调递减，所以的最大值为（1）；又，所以时，单调递减，时，单调递增，所以的最小值为；此时满足，即；令，解得，所以故选：例2（2022天津模拟）已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：当时，关于的不等式在上恒成立，即为，即有，由的对称轴为，可得处取得最大值；由的对称轴为，可得处取得最小值，
7、则当时，关于的不等式在上恒成立，即为，即有，由（当且仅当取得最大值；由（当且仅当取得最小值2则由可得，另解1：作出的图象和折线当时，的导数为，由，可得，切点为，代入，解得；当时，的导数为，由，可得舍去），切点为，代入，解得由图象平移可得，故选：例3（2022秋丽水期末）设，A若恒成立，则B若，则恒成立C若恒成立，则D若，则恒成立【解析】解：，设，由（1），当可得；当时，可得，则，即有对，恒成立，可得，即有；，即有对，恒成立，可得，即有；故选：例4（2022济南模拟）已知函数，若对任意的实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是AB，C，D，【解析】解：存在，使得成立，对任意的实数，；可看作横坐
8、标相同时，函数与函数图象上点的纵向距离，则问题等价于求函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值；如图，记，连接，则图中直线的斜率为，直线的方程为，设直线与直线平行，且与函数相切于点，又，令，解得，切点，则切线的方程为，当直线与直线，平行且与两直线距离相等时，即恰好处于两直线正中间的位置时，函数与函数图象上点的纵向距离能取得最大值中的最小值，此时，此时，故选：法二：记函数的最大值为，由题意可知，对任意，恒成立，所以，依题意，分别令，0，2，可得，（2），所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以故选：例5（2022秋浙江月考）已知，记的最大值为，则的最小值是ABCD【解析】解：由题意，即求
9、函数最大值中的最小值，则函数可理解为函数与函数在横坐标相等时，两纵坐标的竖直距离，作示意图如下，由图观察可知，当位于直线和直线正中间时，函数取得最大值的最小值，易知，直线的方程为，又，令，解得，则直线的方程为（1），故选：例6（2022浙江模拟）已知函数，当，时，的最大值为，若的最小值为4，则实数的取值范围为A，BC，D【解析】解：当绝对值内两式同号时，当绝对值内两式异号时，令，易知，当的最小值为4时，的最大值的最小值为4，几何意义是图象上的点到直线的距离最大值的最小值为4，此时恰好有；的最大值不超过4，即图象上的点到直线的距离不超过4，故，解得故选：【同步练习】一选择题1（2022秋崇明区期
10、末）若不等式对，恒成立，则的值等于ABC1D2【解析】解：当或时，当时，当或时，当时，设，则在上单调递减，在上单调递增，且的图象关于直线对称，即，又，故故选：2（2022秋嘉兴期末）若不等式对，恒成立，则ABCD【解析】解：当或时，；当时，当或时；当时，设，则在上单调递减，在上单调递增，且的图象关于直线对称，即，又，故故选：3（2022春温州期末）若不等式对任意的恒成立，则A，B，C，D，【解析】解：由选项可知，故原不等式等价于，当时，显然不满足题意，故，由二次函数的性质可知，此时必有，即故选：4（2022浙江）已知，且，对于任意均有，则ABCD【解析】解：设，可得的图象与轴有三个交点，即有三
11、个零点，且，由题意知，在上恒成立，则，可得，恒成立，排除，；我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上则有或或三种情况，此时显然成立；若，则不成立；若，即，可得，且和都在正半轴上，符合题意，综上恒成立故选：5（2022春杭州期末）若不等式对任意实数恒成立，则AB0C1D2【解析】解：不等式对任意实数恒成立，由于的解集为，可得在，恒成立，可得，且，即且，解得，又的解集为，可得在，恒成立，可得，或，即或，解得，综上可得，故选：6（2022秋上城区校级期中）若在上始终成立，则的值为A0B1C2D3【解析】解：由在上成立，可得：，解得：经过验证只有时成立下面给出证明：在上始终
12、成立，或时，此时成立时，此时成立因此只有时成立故选：7（2022秋宁波期末）已知函数，当时，则实数的取值范围为ABCD【解析】解：设，则在上为增函数，且（1），若当时，则满足当时，当时，即必需过点点，则（1），即，此时函数与满足如图所示：此时，则满足函数的另外一个零点，即，故选：8（2022春湖州期末）若存在正实数，使得不等式成立，则ABCD【解析】解：记，当 时，；当 时，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，记，当 时，；当 时，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以由题意，又因为，所以，故另解：正实数，令，当 时，；当 时，所以 在上单调递减， 上单调递增，所以（1），于是，于是，当
13、且仅当 时不等式取等号，又，当且仅当 时不等式取等号，所以 且，解得，所以故选：9（2022秋台州期中）已知，若对任意的，都有，则A1B3C4D8【解析】解：依题意，令，在，时满足成立，又，上的奇函数，所以当，时，所以，即，又在，上的最大值为3，在，上的最小值为3，故故选：10已知函数，当，时，的最大值为，则的最小值为ABCD1【解析】解：函数，当，时，的最大值为，可得，（1），（4），由，可得，则，即有的最小值为，故选：二填空题11（2022秋湖北月考）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值为2【解析】解：，当时，取最大值为2，故答案为：212（2022秋浙江期中）已知，函数，对任意，使得
14、恒成立，则实数的取值范围为，【解析】解：，恒成立，或恒成立当时，或恒成立，只需或函数，当时，；当时，或，或，又，或；当时，时，恒成立，综上，的取值范围为，故答案为：，13（2022春齐齐哈尔期末）已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是，【解析】解：根据题意函数的图象如图：令，其图象与轴相交于点，在区间上为减函数，在为增函数，若不等式在上恒成立，则函数的图象在上的上方或相交，则必有，即，解可得，故答案为：，14（2022春长沙期末）设，若时，均有，则【解析】解：当时，均有，（1）时，代入题中不等式，明显不成立（2），构造函数，它们都过定点考查函数：令，得，考查函数，时均有，故的图
15、象经过，代入得，解之得：，或（舍去）故答案为：15（2022秋义乌市月考）已知，满足在定义域上恒成立，则的值为0【解析】解：令，解得或，依题意，函数的零点也为或，（因为的值域为，若函数的零点不为或，则必有解，则与题设矛盾即，解得经检验，符合题意故答案为：016（2022秋西湖区校级期中）对任意的，不等式恒成立，则实数【解析】解：因为对任意的，不等式恒成立，所以对任意的，不等式恒成立，令，则在上单调递增当时，（a），即恒成立，则恒成立，所以，解得；当时，不等式恒成立，符合题意；当时，（a），即可恒成立，所以恒成立，因为在上单调递减，所以当时，（a），解得综上所述，实数的取值为故答案为：17（20
16、22春宁乡市校级月考）对任意的，不等式恒成立，则实数的值是【解析】解：对任意的，不等式恒成立，对任意的，不等式恒成立，记，则在上单调递增当时，（a），即恒成立，则，得；当时，不等式显然恒成立；当时，（a），即恒成立，则，在上单调递减，时，（a），得综上可得，18（2022秋浙江期中）若不等式对任意的恒成立，则的最大值为【解析】解：由对任意，恒成立，当时，不等式等价为，即，当时，此时，则，设，若，则，函数的零点为，则函数在上，此时不满足条件；若，则，而此时时，不满足条件，故；而函数在上，则，上，而在上的零点为，且在上，则，上，要使对任意，恒成立，则函数与的零点相同，即，即，由，则，当且仅当时，取
17、得等号故答案为：19（2022浙江模拟）已知，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为【解析】解：因为对任意，恒成立，所以当时，不等式即为，恒成立；设，的图象恒过，开口向上，当时，在时恒成立，只需在时恒成立，当时，；当时，即为，由于在递减，值域为，所以在时不恒成立；当时，函数的零点为，当时，函数在，上，在上，而，有一个负的零点，的图象为开口向上的抛物线，当的零点与的负的零点重合时，满足恒成立即有，即，所以，当且仅当时，上式取得等号所以的最小值为故答案为：20（2022秋泰兴市校级期中）已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为【解析】解：当时，时，有，欲使，恒成立，则，；当时，时，有，欲使，恒成立，则
18、，；故故答案为：21（2022秋温州期末）当时，恒成立，则的取值范围是，【解析】解：设，当时，不成立；当时，不恒成立；当时，恒成立，可正可负，不成立；当时，此时在恒成立，有，解得；当时，此时在不恒成立；当，不恒成立；综上可得，故答案为：，22（2022秋义乌市月考）已知实数，满足对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值是1【解析】解：设，则对，恒成立，令，解得，恒成立，令，；当时，则，若，则当时，不合题意；若，则当时，不合题意；若，恒成立，符合题意；若，则当时，不合题意；当时，若，则当时，不合题意；若，则当时，不合题意；当时，则当时，不合题意；当时，若，则当时，不合题意；若，恒成立，符合题意；若
19、，则当，时，不合题意；综上，若不等式恒成立，则需满足且，（当且仅当时），当时，故答案为：123（2022浙江模拟）已知函数，当，时，的最大值为（a），则（a）的最小值为 【解析】解：由题意可知，是偶函数，当，时，根据偶函数的性质可知，在，上的最大值为，（1），其中之一，则，所以（a），则（a），所以（a）的最小值为故答案为：24（2022南京模拟）设函数，若对任意实数，总存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是【解析】解：设的最大值为（b），令，则在，上，当时，即时，单调递增，此时，当时，（b），当时，（b），从而当时，时，（b）取最小值，（b），当时，在，上单调递增，在，上单调递减，在，
20、时，当时，（b），在，时，当时，（b），对任意实数，总存在实数，使得不等式成立等价于恒成立，故答案为：，25（2022秋浙江月考）设函数，若对任意的实数和实数，总存在，使得，则实数的最大值是【解析】解：原问题等价于，构造函数，且（1）（3），则，解得，则函数可理解为函数与函数在横坐标相等时，两纵坐标的竖直距离，作示意图如下，由图显然，当函数位于直线与直线正中间时，函数取得最大值中的最小值，易知，直线的方程为，又，令，解得或（舍去），则直线的方程为，故答案为：26（2022秋浦东新区校级月考）设函数，若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是【解析】解：设的最大值为（a），令，当，
21、时，函数单调递减，可得，由，可得当时，（a）；当时，可得（a）；当时，可得（a）；综上可得，当时，（a），所以故答案为：，27（2022浙江二模）设，若对于，都成立，则【解析】解：，设，则函数等价，若于，都成立，即于，都成立，即恒成立，设，要使，不等式恒成立，则函数的对称轴，即，即，此时，则抛物线开口向上，要使恒成立，则函数，且，当或2时，（1），即，当时，即，即，故答案为：三解答题28（2022秋江北区校级期中）已知函数，对任意的，都有成立，（1）求的值；（2）函数取得最小值0，且对任意，不等式恒成立，求函数的解析式；（3）若方程没有实数根，判断方程根的情况，并说明理由【解析】解：（1）由成
22、立，可得函数图象的对称轴方程为，（2）当 时，对于不等式，当时，有（1），（1）由以上方程解得，函数的解析式为（3）因为方程无实根，所以当时，函数有最小值，故不等式恒成立，故方程无实数解当时，函数有最大值，故不等式恒成立，故方程无实数解，综上得：方程无实数解29（2022南京模拟）已知二次函数，为实数）（1）若的解集为，求不等式的解集；（2）若对任意，时，恒成立，求的最小值；（3）若对任意，恒成立，求的最大值【解析】解：（1）的解集为，且1，2是方程的两个根，由根与系数间的关系得，则，故不等式，等价为，即，即，解得：，即原不等式的解集为（2）因为，时，恒成立，故得，那，即，所以（当且仅当时等号
23、成立），（3）令，则，所以对任意，恒成立，所以恒成立所以且，所以，此时，因此，当且仅当时等号成立，此时，（或，验证，成立故的最大值为30已知函数，若对任意，总有成立，求，的值【解析】解：由题意，若对任意，总有成立，若对任意，总有成立，若对任意，总有成立，若对任意，总有成立，可得函数夹在函数和之间，经过点，设经过， 两点的直线，解得，此时直线，且它与相切，所以，是被和夹死的唯一直线，所以，31已知三次函数，（1）在上有两个零点，求的取值范围；（2）是否存在实数，使得任意，均有，如存在，求出，的值；若不存在，请说明理由【解析】解：（1）三次函数，可得在上有两个零点，可得，即，在直角坐标系中作出的可
24、行域，求得，由过时，可得，由过时，可得，由过时，可得，可得的取值范围是；（2）假设存在实数，使得任意，均有，可取，可得，化为，猜想，满足上面四式，证明任意，均有，由，可得，可得的极值点为，由，（1），可得的值域为，满足题意故存在，且，成立32（2022秋双台子区校级月考）设函数，其中，（1）求的单调区间；（2）若存在极值点，且，其中，求证：；（3）设，函数，求证：在区间，上的最大值不小于【解析】（1）解：由，可得下面分两种情况讨论：当时，有恒成立，所以的单调递增区间为；当时，令，解得，或当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以的单调递减区间为，单调递增区间为，（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知，且，由题意，得，即，进而，又，即为，即有，即为（3）证明：设在区间，上的最大值为，表示，两数的最大值；当时，由（1）（2）知，所以在区间，上的取值范围为，因此