1、第12讲 零点问题、隐零点问题与零点赋值问题【典型例题】例1已知函数（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围例2已知（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）当时，研究函数在区间上的单调性；（3）是否存在实数使得函数在区间和上各恰有一个零点？若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由例3已知函数，且（1）求；（2）证明：存在唯一的极小值点，且例4已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为（1）求，的值；（2）证明函数存在唯一的极大值点，且例5已知函数，为的导函数，证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）在区间存在唯一极小值点；（3）有且只有一
2、个零点例6已知函数，其中（）求函数的单调区间；（）若曲线在点，处的切线与曲线在点，处的切线平行，证明：；（）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线例7已知，函数（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）证明函数存在唯一的极值点；（3）若，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围例8已知函数，且（）求（）证明：存在唯一的极大值点，且例9已知实数，函数（1）若函数在中有极值，求实数的取值范围；（2）若函数有唯一的零点，求证：（参考数据：，【同步练习】一解答题1已知函数，其中为非零常数（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）设，且，证明：当时，函数在上恰有两个极值点2已知函数，其中为大于零
3、的常数（1）若函数在区间，内单调递增，求的取值范围；（2）求函数在区间，上的最小值；（3）对于函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围3设，已知函数，（）当时，证明：当时，；（）当时，证明：函数有唯一零点4设函数，其中为自然对数的底数（1）若，求的单调区间；（2）若，求证：无零点5设函数，其中为自然对数的底数（1）若，求的单调区间；（2）若，求证：无零点6已知函数（1）若函数，求函数的单调区间；（2）若直线为曲线在点，处的切线，直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围7已知函数（1）若在区间上存在极值，求实数的范围；（2）若在区间上的极小值等于0，求实数的值；（3）令，曲线与直线交于，两点
4、，求证：8设函数，曲线在处的切线与轴交于点（1）求；（2）若当，时，记符合条件的的最大整数值、最小整数值分别为，求注：为自然对数的底数9已知函数，（1）当时，证明：；（2）设函数，若有极值，且极值为正数，求实数的取值范围10已知曲线（其中为自然对数的底数）在处切线方程为（）求，值；（）证明：存在唯一的极大值点，且11已知曲线（其中为自然对数的底数）在处的切线方程为（1）求，值；（2）证明：存在唯一的极大值点，且12设函数（1）当时，求函数在点，（1）处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，求实数的范围；证明：13已知函数（1）当时，求函数，的最大值；（2）求函数的单调区间；（3）设函数存在两
5、个极值点，且，若，求证：14已知函数，恰好有两个极值点，（）求证：存在实数，使；（）求证：15已知函数，其中（1）求函数的单调区间（2）若函数有两个极值点、，且，证明：16已知函数，其中为自然对数的底数，（1）若对，恒成立，求实数的值；（2）在（1）的条件下，（）证明：有三个根，；（）设，请从以下不等式中任选一个进行证明：；参考数据：，17设函数，为的导函数（）求的单调区间；（）当，时，证明；（）设为函数在区间，内的零点，其中，证明：18已知，（1）若函数，求的单调区间；（2）若过点能作函数的两条切线，求实数的取值范围；（3）设，且，求证：19设为正实数，函数存在零点，且存在极值点与（1）当时
6、，求曲线在，（1）处的切线方程；（2）求的取值范围，并证明：20已知函数（1）当时，判断并证明函数的奇偶性；（2）设求实数的取值范围，并将表示为的函数；若，均有，求实数的取值范围21已知函数（1）当，时，判断函数在区间内的单调性；（2）已知曲线在点，处的切线方程为判断方程在区间上解的个数，并说明理由22已知函数（）时，试判断的单调性并给予证明；（）若有两个极值点，求实数的取值范围；证明：（注是自然对数的底数）23已知函数有两个不同的极值点，（）求实数的取值范围；（）记函数的导函数为若函数有两个不同的零点，函数有两个不同的零点，证明：（）；（）（注是自然对数的底数）24已知函数（1）讨论函数的单
7、调性；（2）当时，判断函数的零点个数25已知函数，（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，；（3）若函数有两个零点，比较与0的大小，并证明你的结论26已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明27已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明：28已知函数在时取到极大值（）求实数，的值；（）记设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围29已知函数（）若，求证：当时，；（）讨论方程的根的个数30已知函数，（1）当时，求函数 的极值；（2）若存在与函数， 的图象都相切的直线，求实数的取值范围31已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点第12讲 零点问题、隐零
8、点问题与零点赋值问题【典型例题】例1已知函数（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围【解析】解：（1）当时，则，又，所求切线方程为；（2），若，当时，单调递增，则，不合题意；故，令，注意到，令，解得或，令，解得，在单调递减，在单调递增，且时，若，当时，单调递增，不合题意；若，（1），则存在，使得，且当时，单调递减，则，当时，则由零点存在性定理可知在，上存在一个根，当时，单调递减，当时，则由零点存在性定理可知在上存在一个根综上，实数的取值范围为例2已知（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）当时，研究函数在区间上的单调性；（3）是否存在实数使得函数在
9、区间和上各恰有一个零点？若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由【解析】解：（1）若，则，则函数在，处的切线的斜率，又，所以曲线在点，处的切线方程是；（2）由，可得，当时，令，解得当时，单调递增；当时，单调递减，所以的单调递增区间是，单调递减区间是；（3）当时，所以在单调递增，故不可能有两个零点，故舍去；当时，令，解得当时，单调递增；因为，且，故当，故此时在区间无零点；当时，令，解得，当时，单调递减；因为，且故当，故此时在区间无零点；综上所述，并不存在实数使得函数在区间和上各恰有一个零点例3已知函数，且（1）求；（2）证明：存在唯一的极小值点，且【解析】解：（1）的定义域为，设，即，
10、则等价于，由，（1），故（1），即，若，则，故在上单调递增，在上单调递减，故是的极大值点，（1），综上，；（2）证明：，故在上单调递增，在上单调递减，故，使在上单调递减，在上单调递增，故存在唯一的极小值点，且，则，设，则，故在上单调递减，故，即，即，而，所以例4已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为（1）求，的值；（2）证明函数存在唯一的极大值点，且【解析】解：（1）函数的定义域为，则（1），（1），故曲线在点，（1）处的切线方程为，又曲线在点，（1）处的切线方程为，；（2）证明：由（1）知，则，令，则，易知在单调递减，又，（1），故存在，使得，且当时，单调递增，当，时，单调递减，由于，（1
11、），（2），故存在，使得，且当时，单调递增，当，时，单调递减，故函数存在唯一的极大值点，且，即，则，令，则，故在上单调递增，由于，故（2），即，例5已知函数，为的导函数，证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）在区间存在唯一极小值点；（3）有且只有一个零点【解析】证明：（1）的定义域为，设，则，当时，所以单调递减；又当时，；且，由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使又当时，；当时，；所以为区间上唯一的极大值，即是区间上唯一的极大值点（2）当时，单调递增，且，所以在区间有唯一零点，设为，当时，此时单调递减；当时，此时单调递增；所以是在上唯一的极小值点（3）当时，由（1）可知在上单调递增，且，
12、当时，所以在上有唯一零点；当时，单调递减，且，所以在上没有零点当时，由（2）可知在区间上，此时单调递减，且，故有，此时单调递减，且，由，得，所以当时，由（2）知，所以单调递增，又，故，所以存在，使，即，故为的极小值点此时所以在上没有零点当时，所以，所以在区间上没有零点，综上在区间上有且仅有一个零点例6已知函数，其中（）求函数的单调区间；（）若曲线在点，处的切线与曲线在点，处的切线平行，证明：；（）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线【解析】（）解：由已知，有，令，解得由，可知当变化时，的变化情况如下表：00极小值函数的单调减区间为，单调递增区间为；（）证明：由，可得曲线在点，处的
13、切线的斜率为由，可得曲线在点，处的切线的斜率为这两条切线平行，故有，即，两边取以为底数的对数，得，；（）证明：曲线在点处的切线，曲线在点，处的切线要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得与重合，即只需证明当时，方程组由得，代入得：，因此，只需证明当时，关于的方程存在实数解设函数，既要证明当时，函数存在零点，可知时，；时，单调递减，又，故存在唯一的，且，使得，即由此可得，在上单调递增，在，上单调递减，在处取得极大值，故下面证明存在实数，使得，由（）可得，当时，有存在实数，使得因此，当时，存在，使得当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线例7已知，函数（
14、1）求曲线在点，处的切线方程；（2）证明函数存在唯一的极值点；（3）若，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围【解析】（1）解：因为，所以，而，所以在，处的切线方程为；（2）证明：令，则，令，则，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，当时，作出图象，如图，所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，为增函数；当时，为减函数；所以时是的极大值点，故仅有一个极值点；（3）解：由（2）知，此时，所以，令，若存在，使对任意的恒成立，则等价于存在，使得，即，而，当时，为单调减函数，当时，为单调增函数，所以（1），故，所以实数的取值范围，例8已知函数，且（）求（）证明：存在唯一的极大值点，且【解析
15、】解：，化为：，令时，函数在上单调递减，而（1），时，不满足题意，舍去时，可得时，函数取得极小值，令（a），（a），可得时，（a）取得极大值即最大值，因此只有时满足题意故证明：由可得：，可得时，取得极小值，时，；时，（1），时，函数存在唯一的极大值点，且满足，可得令，令，可得时，函数取得极大值，且存在唯一的极大值点，且例9已知实数，函数（1）若函数在中有极值，求实数的取值范围；（2）若函数有唯一的零点，求证：（参考数据：，【解析】（1）解：因为，令，得，由，得，则在上单调递增，所以当时，因为函数在中有极值，则与在上有交点，故实数的取值范围为；（2）证明：因为在上单调递增，且当时，；当时，所以在
16、有唯一零点，设零点为，则有，故在上单调递减，在上单调递增，又函数有唯一的零点，且当时，；当时，则，即，将式代入得，记，则为函数的零点，因为，则当时，则单调递增；当时，则单调递减，且当时，当时，所以有唯一零点，又，（1），故【同步练习】一解答题1已知函数，其中为非零常数（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）设，且，证明：当时，函数在上恰有两个极值点【解析】解：（1）若，因为，则，所以在上单调递增，符合要求若，则当时，从而，所以在上单调递减，不合要求综上分析，的取值范围是（2）令，则，即设，则当时，则，从而，所以单调递减当时，因为，则，从而单调递增因为，则在上有唯一零点，记为，且当时，则单
17、调递减；当时，则单调递增当时，因为，则，从而单调递减因为，则在内有唯一零点，记为，且当时，单调递增；当，时，单调递减因为，则当时，所以单调递增综上分析，在上单调递减，在，上单调递增因为，则当时，直线与函数的图象在上有两个交点，从而有两个变号零点，即在上恰有两个极值点因为，则，即从而取，则，且当时，函数在上恰有两个极值点2已知函数，其中为大于零的常数（1）若函数在区间，内单调递增，求的取值范围；（2）求函数在区间，上的最小值；（3）对于函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围【解析】解：（1）由已知，得在，上恒成立，即上恒成立又当，即的取值范围为，（2）当时，在上恒成立，这时在，上为增函数（
18、1）当，在上恒成立，这时在，上为减函数当时，令又，综上，在，上的最小值为当时，；当时，当时，（3）因为，所以，存在，使成立，令，从而，由（2）知当时，成立，即在，上成立从而，所以，在，上单调递增所以，（1）所以，3设，已知函数，（）当时，证明：当时，；（）当时，证明：函数有唯一零点【解析】证明：，令，（）要证原不等式成立，只需证：当时，则函数在上单调递增，因此，即原不等式成立（）由（）可得当时，故函数在上没有零点；当时，令，则为增函数，且，在上存在唯一零点，记为且，在上单调递减，在，上单调递增，在上存在唯一零点，且在，上恒小于0故，；，在上单调递增，在，上单调递减，且在上至多只有一个零点；令，
19、则，取，则有，又，由零点存在定理可得，在上存在零点综上可证：函数在上有唯一零点4设函数，其中为自然对数的底数（1）若，求的单调区间；（2）若，求证：无零点【解析】解：（1）时，令，则在上单调递增，又（1），当时，即，当时，即，的单调递减区间为，单调递增区间为（2）依题意，无解，无解，令，易知在递减，在递增，所以（1），易知在递增，在递减，当时，恒成立，没有零点当时，（1），取等号，取等条件不一致，恒成立，没有零点5设函数，其中为自然对数的底数（1）若，求的单调区间；（2）若，求证：无零点【解析】解：（1）若，则，当时，单调递减，当时，单调递增单调递减区间为，单调递增区间为（2）由可知，当时，显
20、然没有零点；当时，设，在，单调递增，又，（2），在上存在唯一一个零点，不妨设为，则，当时，即，当，时，即，在上单调递减，在，上单调递增，的最小值为，两边取对数可得，即，（当且仅当时取等号），令（a），则（a），当时，（a），当，时，（a），（a）在上单调递增，在，上单调递减又，（e），当时，（a），当且仅当时取等号，由可知当时，故当时，故（a），当时，没有零点6已知函数（1）若函数，求函数的单调区间；（2）若直线为曲线在点，处的切线，直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围【解析】解：（1），令，可得或，当，时，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由，得，则，可得曲线在，处的切线方程为
21、，即令，显然，由，得，在上单调递减，在上单调递增若，时，则在上单调递增，且，在上无零点，舍去；若，时，（2），则在上单调递增，在，上单调递减，而时，在上存在零点故的取值范围是7已知函数（1）若在区间上存在极值，求实数的范围；（2）若在区间上的极小值等于0，求实数的值；（3）令，曲线与直线交于，两点，求证：【解析】解：（1）由，得，在上为增函数，在区间上存在极值，且（2），解得，的取值范围为（2）由（1）知，设为在区间上的极小值点，故，设，则，即在上单调递减，易得出（1），故，代入，可得，满足，故（3）证明：，则，由题意，知有两解，不妨设，要证，即证，只需证，又，两式相减，并整理，得把代入式，得
22、，即令，则令，则，在其定义域上为增函数，（1），成立8设函数，曲线在处的切线与轴交于点（1）求；（2）若当，时，记符合条件的的最大整数值、最小整数值分别为，求注：为自然对数的底数【解析】解：（1），则，又，在处的切线方程为，又曲线在处的切线与轴交于点，；（2）由（1）知，则不等式可转化为，设，则，设，则，在，上单调递增，即在，上单调递增，若，则，在，上单调递增，解得，；若，则，由于在，上单调递增，当时，则存在，使得，当时，取，则，存在，使得，综上，当时，存在，使得，即，故当时，单调递减，当时，单调递增，由，得，代入得，设，则，由于，易知当时，单调递增，当时，单调递减，又，（1），（2），当时，
23、满足的的取值范围为，又，设，在上单调递增，综上所述，又，则9已知函数，（1）当时，证明：；（2）设函数，若有极值，且极值为正数，求实数的取值范围【解析】（1）证明：当时，令，令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减，即，令，当时，当时，当时，即，（2）解：，当时，在上单调递减，无极值，舍去；当时，令，在上单调递减，注意到，（a），存在唯一的，使，且当时，单调递增；当时，单调递减，在处取极大值，即有极大值，且，令，令得，当时，单调递减，当时，单调递增，此时，令，在，故实数的取值范围为，10已知曲线（其中为自然对数的底数）在处切线方程为（）求，值；（）证明：存在唯一的极大值点，且【解析】解：（）在
24、处切线方程为，而，（1），即，而（1），故切点为，即，故有：，；证明：（）由（）知：且定义域，若，令，即在有恒成立，单调增，又，（1），即的零点在内，上，上，故在中，上有当时，即，单调增，当时，即，单调减，当时，即，单调增，存在唯一的极大值点，又有（1），而且，（利用均值不等式，但等号不成立，因为无法取，综上，得证：11已知曲线（其中为自然对数的底数）在处的切线方程为（1）求，值；（2）证明：存在唯一的极大值点，且【解析】解：（1），故（1），解得：，故，（1），故切线方程是：，故；（2）证明：，令，显然在递增，而，（1），故，使得，即，则，故时，递增，时，递减，时，递增，故是唯一的极大值点，
25、且令，则，在递增，故，综上，存在唯一的极大值点，且12设函数（1）当时，求函数在点，（1）处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，求实数的范围；证明：【解析】解：（1）当时，函数，可得（1），（1）在点，（1）处的切线方程为：，即（2），函数存在两个极值点，有两个不等正实根，实数的范围：，令，在递增，13已知函数（1）当时，求函数，的最大值；（2）求函数的单调区间；（3）设函数存在两个极值点，且，若，求证：【解析】解：（1）时，则，当，时，函数在，上单调递减，函数在，上的最大值为（1）；（2），当时，则在单调递增，当时，若，即时，则在上单调递增，若，即时，和，时，时，综上，时，在单调递增；时
26、，在和，递增，在，递减；（3）由（2）得：，则，令，则，在上单调递减，而，即，14已知函数，恰好有两个极值点，（）求证：存在实数，使；（）求证：【解析】证明：（），结合题意，即存在2个不同正根，先考虑与相切，记切点横坐标为，则，解得：，记，则，令，解得：，故在递减，在，递增，且（1），（2），故存在唯一，使得成立，取，则时，恰有2个极值点，得证；（）由（）知：，且，故，代入，得，设，由，得，即，则，时，故在，递减，在，递增，故，即，而（2），故：15已知函数，其中（1）求函数的单调区间（2）若函数有两个极值点、，且，证明：【解析】解：（1）的定义域为，令，则，当，即，则，故，当且仅当时，函数在
27、上单调递增；当且，即，的两个根为，故当时，在单调递减，当，时，在，单调递增；当且，即时，的两个根为，故当，即，在单调递增，当，时，在，单调递减，当，时，在，单调递增；综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：由（1）可知，且，则，令，则，在上单调递减，在上单调递增，即，则，即得证16已知函数，其中为自然对数的底数，（1）若对，恒成立，求实数的值；（2）在（1）的条件下，（）证明：有三个根，；（）设，请从以下不等式中任选一个进行证明：；参考数据：，【解析】解：（1）由对，恒成立，可得，由，得，当时，所以在上单
28、调递增，而当时，不满足题意，当时，由，得，当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以，设（a），则（a），因为（a），令（a），则，当时，（a），当时，（a），所以（a）在上递增，在上递减，所以（a）（1），综上（a），则（2）证明：由（1）可知，令，则先解，令，在单调递减，在单调递增，使得，即有两个零点以及，如图：再解，当时，即，由（1）可知，当时，有，显然是其中一根，所以使得，所以有三个零点，0，如图所示由题，所以，且，若选：要证，即证，又由（1）时取等），令，得（当时取等），所以有，所以只需证，而，所以只需证，因为，所以，所以显然成立，得证若选：即证：，因为，所以即证，又由（1）时取等），
29、令，得（当时取等），所以有，所以即证，即，得证17设函数，为的导函数（）求的单调区间；（）当，时，证明；（）设为函数在区间，内的零点，其中，证明：【解析】（）解：由已知，因此，当，时，有，得，单调递减；当，时，有，得，单调递增的单调增区间为，单调减区间为，；（）证明：记，依题意及（），有，从而因此，在区间，上单调递减，有当，时，；（）证明：依题意，即记，则，且由及（），得，由（）知，当，时，在，上为减函数，因此，又由（）知，故18已知，（1）若函数，求的单调区间；（2）若过点能作函数的两条切线，求实数的取值范围；（3）设，且，求证：【解析】解：（1）由，所以，当时，令，解得或，所以在区间内单调
30、递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增；当时，令，解得或，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增当时，所以在区间内单调递增综上可知，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，当时，在区间内单调递增，没有单调递减区间；当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增；（2）设切点坐标为，因为，所以，所以切线方程为，且过点，所以，因为过点能做两条切线，所以直线和函数的图像有两个交点，因为，令，解得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，因此，所以实数的取值范围；（3）证明：由，则，所以，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减不妨设，则，欲证明
31、，则，因为，在区间内单调递减，所以只需证明，即，即，即，设，则，因为，所以恒成立，所以在区间内单调递增，所以，所以，所以原不等式成立，故因为，在区间内单调递减所以只需证明，即，即，因为，即证，显然成立，所以原不等式成立，所以19设为正实数，函数存在零点，且存在极值点与（1）当时，求曲线在，（1）处的切线方程；（2）求的取值范围，并证明：【解析】解：（1）当时，所以（1），（1），所以切线的方程为，即（2）证明：，记，因为，所以在上单调递增，记，所以时，单调递增，当时，单调递减，所以（1），所以，故有，所以，所以，又，所以存在唯一正根，又因为存在零点，所以，即，所以，可得，由题可得，相除得，记，
32、令，得，当时，单调递增，当时，单调递减，则，即，所以，因为，所以，因为，所以，即，所以，因为，所以，即有20已知函数（1）当时，判断并证明函数的奇偶性；（2）设求实数的取值范围，并将表示为的函数；若，均有，求实数的取值范围【解析】解：（1）当时，则，所以函数为奇函数，（2）两边平方得，又，所以，所以，所以，由若，均有，所以恒成立，当时，有成立，若，对称轴为，当，即时，所以，所以，当，即时，不等式成立，当，即时，则，所以，解得，又，所以综上所述：实数的取值范围为，21已知函数（1）当，时，判断函数在区间内的单调性；（2）已知曲线在点，处的切线方程为判断方程在区间上解的个数，并说明理由【解析】解：
33、（1）当，时，因为，所以，所以，所以在区间内单调递减；（2），由，解得，又由点处的切线方程为得，所以，所以方程可化为当时，由得；当时，符合题意；当时，令，则，令，则当时，单调递增，所以，所以，所以单调递减，所以因为，所以有且仅有一解当时，单调递减，且，所以存在使得，且时，时，所以在时单调递减，单调递增，因为，所以无解同理可得当时，存在使得，且在时单调递增，单调递减，因为，所以有2解综上在区间上共有3解22已知函数（）时，试判断的单调性并给予证明；（）若有两个极值点，求实数的取值范围；证明：（注是自然对数的底数）【解析】解：（）当时，在上单调递减事实上，要证在上为减函数，只要证明对恒成立即可，设
34、，则，当时，当时，当时，函数在上为增函数，在上为减函数，故恒成立所以在上单调递减；（）由，所以，若有两个极值点，则，是方程的两个根，故方程有两个根，又因为显然不是该方程的根，所以方程有两个根，设，得若时，且，单调递减若时，当时，单调递减，当时，单调递增要使方程有两个根，需（1），故且故的取值范围为证明：由，得：，故，设，则，在上单调递减故（1），即23已知函数有两个不同的极值点，（）求实数的取值范围；（）记函数的导函数为若函数有两个不同的零点，函数有两个不同的零点，证明：（）；（）（注是自然对数的底数）【解析】解：（1）由题意知，有两个解，即方程有两个解设，则，所以在上递增，在上递减又，所以的
35、图象如图所示：所以实数的取值范围为证明：由得，是方程的两个解有，且即，方程的两根由题意知，是方程的两根，即是方程的两根记，则所以在上递增，在上递减，且有，因为，所以又因为，所以；由题意知，是方程的两根，即，方程的两根因为在上递增，在上递减，且（1）由，是方程的两根知，而24已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，判断函数的零点个数【解析】解：（1），函数的定义域为，当时，当且仅当时，在单调递增，当时，或，在，单调递增，在单调递减，当时，或，在，单调递增，在单调递减，综上所述：当时，在单调递增，当时，在，单调递增，在单调递减，当时，在，单调递增，在单调递减；（2），设，所以在单调递增，（1）
36、，（2），使得，则，当时，当时，在单调递减，在，单调递增，设，在单调递减，在成立，（此处可以直接用说明有小于零的点），在单调递减，在单调递增，取，设，取，设，（也可以找到大于2的点证明函数值大于0，此处用极限说明扣1到2分）在定义域内有两个零点25已知函数，（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，；（3）若函数有两个零点，比较与0的大小，并证明你的结论【解析】解：（1），时，在上递增，在上递减；时， 的两根为，1若，即时，在上递增；若即时，在上递增，上递减，上递增；且，故此时在上有且只有一个零点若，即时，在上递增，上递减，上递增；且（1），故此时在上有且只有一个零点综上所述：时，在上递增，上递减
37、，上递增；时，在上递增；时，在上递增，上递减，上递增；时，在上递增，在上递减；（2）证明：，设，在上单调递减，得证（3）由（1）知，函数要有两个零点，则，不妨设，由（2）得，26已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明【解析】解：（1）的定义域为，当时，在上恒成立所以在上单调递增，当时，时，单调递减，时，单调递增，综上，当时，在上单调递增，当时，在单调递减，在调递增（2）当时，令，则，令，恒成立，所以在上单调递增，因为，（1），所以存在唯一的，使得，即，当时，即，所以在上单调递减，当，时，即，所以在，上单调递增，所以，把代入得，当，时，所以，所以，所以时，27已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明：【解析】（1）解：函数，则，当时，由，可得，由，可得，所以在上递增，在上递减；当时，由，由，可得或，由，所以在和上递增，在上递减；当时，由，可得，此时恒成立，所以在上递增；当时，由，由或，由，所以在和上递增，在上递减；当时，由（舍，由，可得，由，可得，所以在上递减，在上递增（2）证明：要证，即证，由（1）知，当时，在上递减，在上递增，所以（1），令，则，令，则，所以在单调递减，又（1），所以存在，使得，当时，则单调递增，当，时，则单调递减，故，因为在上递减，所以，