1、第3讲 多元问题的最值处理技巧【典型例题】例1（2022唐山二模）已知正数、满足，则的最小值为A3BC4D例2已知、均为正实数，且，则的最小值为A3BCD例3已知实数，满足，则的取值范围是A，BCD，例4若实数，满足，则的最小值为ABCD例5（2022江苏模拟）已知实数，满足，则的取值范围是例6（2022秋海淀区校级期末）已知实数，满足，则的取值范围是【同步练习】1（2022秋普陀区校级期末）若，是正实数，且，则的最小值是A4B3C2D12（2022秋金东区校级期中）已知正数，满足，则的最小值是ABCD3（2022河东区二模）已知正实数，满足，当取最小值时，的最大值为A2BCD4（2022秋浙
2、江月考）设实数，满足，若的最大值和最小值分别为，则的值为A9BCD195（2022山东）设正实数，满足则当取得最大值时，的最大值为A0B1CD36（2022重庆）若，且，则的最小值是AB3C2D7（2022春武邑县校级期末）设，则的最小值为A2B4CD8（2022秋杨浦区校级期末）设，则取得最小值时，的值为AB2C4D9已知实数，满足，则的最小值是ABCD110（多选题）（2022新高考）若，满足，则ABCD11（多选题）（2022秋番禺区校级期中）已知，且，则ABCD12（2022浙江）设，为实数，若，则的最大值是 13（2022秋沧州月考）已知实数，满足，则的取值范围是 14（2022秋徐
3、汇区校级期中）已知实数，且满足：，则的取值范围是 15（2022盐城二模）若实数、满足，则的最小值为16对任意的，的最小值为；若正实数，满足，则的最大值是17已知正实数，满足，当取最大值时，的最小值为18（2022湖北校级二模）已知正实数，满足，则的最小值为19（2022淮安一模）已知正数，满足，则的最小值为20（2022春梅河口市校级期中）已知，且，则的最小值为 21（2022黄冈模拟）设正实数，满足，则的最小值是22（2022江苏一模）若正实数，满足，则的最大值为 23（2022秋越城区校级期末）已知实数，如果，是公差为2的等差数列，则的最小值为24（2022宁波模拟）已知，均为正数，且，
4、则的最小值为25已知，不同时为0，求的最大值26（2022秋枣阳市校级月考）（1）已知，求的最小值；（2）若、，求的最大值第3讲 多元问题的最值处理技巧【典型例题】例1（2022唐山二模）已知正数、满足，则的最小值为A3BC4D【解析】解：由题意可得，当且仅当即时取等号，又，当且仅当时取等号，当且仅当且时取等号，的最小值为4故选：例2已知、均为正实数，且，则的最小值为A3BCD【解析】解：由题意可得，当且仅当且且时，取得最小值，故选：例3已知实数，满足，则的取值范围是A，BCD，【解析】解：，故选：例4若实数，满足，则的最小值为ABCD【解析】解：，点是曲线上的点，是直线上的点，要使最小，当且
5、仅当过曲线上的点且与平行时，由得，；由得当时，取得极小值由，可得（负值舍去）点到直线的距离为，故选：例5（2022江苏模拟）已知实数，满足，则的取值范围是 ， 【解析】解：，得；又，即，整理得，；故答案为，例6（2022秋海淀区校级期末）已知实数，满足，则的取值范围是【解析】解：由得，由可得，由柯西不等式可得，即，化简得，解得，因此的取值范围为，故答案为：【同步练习】1（2022秋普陀区校级期末）若，是正实数，且，则的最小值是A4B3C2D1【解析】解：，当且仅当时取“”故选：2（2022秋金东区校级期中）已知正数，满足，则的最小值是ABCD【解析】解：，（当且仅当时取等号），又因为已知正数，
6、满足，所以即，故，令，可得：，此时函数递减；，此时函数递增故，故选：3（2022河东区二模）已知正实数，满足，当取最小值时，的最大值为A2BCD【解析】解：正实数，满足，可得，当且仅当取得等号，则时，取得最小值，且，当时，有最大值为故选：4（2022秋浙江月考）设实数，满足，若的最大值和最小值分别为，则的值为A9BCD19【解析】解：由题意，令，则；可化为，故，即，即，则；即，则，；故；故选：5（2022山东）设正实数，满足则当取得最大值时，的最大值为A0B1CD3【解析】解：，又，均为正实数，（当且仅当时取“” ，此时，当且仅当时取得“”，满足题意的最大值为1故选：6（2022重庆）若，且，
7、则的最小值是AB3C2D【解析】解：，当且仅当时取等号，故选：7（2022春武邑县校级期末）设，则的最小值为A2B4CD【解析】解：因为，所以，由基本不等式，得（当且仅当时，即，时，等号成立）所以，故，故的最小值为故选：8（2022秋杨浦区校级期末）设，则取得最小值时，的值为AB2C4D【解析】解：法一：，当且仅当时取等号，当且仅当时取等号，故选：法二：，当且仅当，即，时取等号，故取得最小值时，的值为故选：9（2022岳普湖县一模）已知实数，满足，则的最小值是ABCD1【解析】解：，又，解得，令，则，则当，时，当时，则在，、，上单调递增，在上单调递减，且，故的最小值是，故选：10（多选题）（2
8、022新高考）若，满足，则ABCD【解析】解：方法一：由可得，令，则，故错，对，故对，错，方法二：对于，由可得，即，故错，对，对于，由得，故对；，故错误故选：11（多选题）（2022秋番禺区校级期中）已知，且，则ABCD【解析】解：，当且仅当时等号成立，故正确；，故正确；，当且仅当，即，时等号成立，故正确；，当且仅当时等号成立，故不正确故选：12（2022浙江）设，为实数，若，则的最大值是 【解析】解：，令则，即，解得，的最大值是，当，时，取得等号故答案为：13（2022秋沧州月考）已知实数，满足，则的取值范围是 ，【解析】解：，的取值范围是，故答案为：，14（2022秋徐汇区校级期中）已知实
9、数，且满足：，则的取值范围是 【解析】解：，即，下面精确的下限，假设，由，由，所以，因此，矛盾，故，所以，综上可得，故答案为：15（2022盐城二模）若实数、满足，则的最小值为【解析】解：，点是曲线上的点，是直线上的点，要使最小，当且仅当过曲线上的点且与线平行时，由得，；由得当时，取得极小值，为1作图如下：，直线的斜率，或（由于，故舍去）设点到直线的距离为，则，的最小值为故答案为：16对任意的，的最小值为3；若正实数，满足，则的最大值是【解析】解：对任意，当且仅当，成立，的最小值为3；正实数，满足，当且仅当时，等号成立，的最大值为故答案为：3；17已知正实数，满足，当取最大值时，的最小值为【解
10、析】解：，当且仅当时取等号，即，即，当且仅当时取等号故答案为：18（2022湖北校级二模）已知正实数，满足，则的最小值为【解析】解：，满足，又，为正实数，即，当且仅当时等号成立的最小值为故答案为19（2022淮安一模）已知正数，满足，则的最小值为【解析】解：正数，满足，当且仅当时取等号故答案为：20（2022春梅河口市校级期中）已知，且，则的最小值为 【解析】解：因为，且，则，当且仅当，即且，此时，或，时取等号，所以的最小值为故答案为：21（2022黄冈模拟）设正实数，满足，则的最小值是7【解析】解：正实数，满足，令，且，由可得，令，解得当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增因此当时，
11、函数取得最小值，的最小值是7故答案为：722（2022江苏一模）若正实数，满足，则的最大值为 【解析】解：，的最大值故答案为：23（2022秋越城区校级期末）已知实数，如果，是公差为2的等差数列，则的最小值为【解析】解：实数，是公差为2的等差数列，的最小值为故答案为：24（2022宁波模拟）已知，均为正数，且，则的最小值为【解析】解：因为，所以，当且仅当即、时取等号，所以，当且仅当时取等号，故答案为：25已知，不同时为0，求的最大值【解析】解：要求最大值，可设，当且仅当时，等号成立，故所求最大值为26（2022秋枣阳市校级月考）（1）已知，求的最小值；（2）若、，求的最大值【解析】解：（1）因为，则，又，当且仅当，即时，取等号，故最小值为9，（2），当且仅当时取等号，又，当且仅当，即时，取等号，联立方程组，得，当且仅当，时取等号，故最大值为