1、第10讲 主元法巧解双变量或多变量问题【典型例题】例1已知函数是定义在，上的奇函数，对于任意，总有且（1）若对于任意，存在，使成立，则实数的取值范围是AB或C或D或或例2已知函数，对于，若，满足（a）（b），则的取值范围是A，B，C，D，例3设函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是 例4设当时恒成立，则的取值范围是 例5设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围为 ，或 例6已知函数（1）如图，设直线将坐标平面分成，四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；（2）当时，求证：，且，有例7已知函数（1）求函数的单调区间
2、和最小值；（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；（3）若，求证：（b）例8设函数（） 求的极值；（）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（）若，证明：【同步练习】一选择题1设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项的和为，满足，则的取值范围是A，B，C，D，2若存在正实数，使得，则A实数的最大值为B实数的最小值为C实数的最大值为D实数的最小值为3已知函数在区间，上有零点，则的取值范围是A，BC，D4已知任意，若存在实数使不等式对任意的，恒成立，则A的最小值为4B的最小值为6C的最小值为8D的最小值为105已知以下四个命题：对任意实数，存在，使得；对任意，存在实数，使得；对任意实数
3、，均有成立；对任意实数，均有成立其中所有正确的命题是ABCD二填空题6已知实数，满足，则的最小值是7已知实数，满足，则的最小值是 8设函数，若对任意，都存在，使，则实数的取值范围为9设，为实数，首项为，且，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是10若，设，则的最小值为11若，设，则的最小值为12若，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是13若正数，满足，则的最大值是三解答题14设函数，为的导函数（1）若，（4），求的值；（2）若，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，且的极大值为，求证：15已知函数，若，使得，求的取值范围16已知函数当时，讨论的单调性；设当时，若对任意，
4、存在，使，求实数的取值范围；对于任意，都有，求实数的取值范围17已知实数，设函数，（）当时，求函数的单调区间；（）对任意，均有，求的取值范围注：为自然对数的底数18已知实数，设函数，（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有，求实数的取值范围19已知函数，（）若时，取得极小值，求实数及的取值范围；（）当，时，证明：20已知函数，（1）若，求实数的值（2）若，（a）（b），求正实数的取值范围21已知函数（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；（2）证明：当时，22已知函数，其中，为自然对数的底数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意的，23已知函数，（1）当为何值时，曲线在处
5、的切线与轴垂直；（2）讨论的单调性；（3）当时，试证明第10讲 主元法巧解双变量或多变量问题【典型例题】例1已知函数是定义在，上的奇函数，对于任意，总有且（1）若对于任意，存在，使成立，则实数的取值范围是AB或C或D或或【解析】解：是定义在，上的奇函数，当、，且时，有，函数在，上单调递增（1），的最小值为（1），最大值为（1），若对于任意，存在，使成立，即对所有，恒成立，设（a），则满足，即，或或，故选：例2已知函数，对于，若，满足（a）（b），则的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：，当，（b），若（a）（b），（a），当时，解得，当，即，解得，若（a），则，即，故选：例3设函数，若时，恒
6、成立，则实数的取值范围是【解析】解：为递增函数且为奇函数，恒成立等价于恒成立，即恒成立，也就是，恒成立，的最小值为1，使恒成立的实数的取值范围是故答案为：例4设当时恒成立，则的取值范围是【解析】解：是奇函数且为增函数，由得，则，当时，不等式等价为，此时，当时，此时不等式等价为，故答案为：例5设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围为，或【解析】解：，由等差数列的求和公式可得，整理得，由于方程可看作关于的一元二次方程，方程一定有根，故，整理得，解得，或故答案为：，或例6已知函数（1）如图，设直线将坐标平面分成，四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判
7、断其所在的区域并求对应的的取值范围；（2）当时，求证：，且，有【解析】解：（1）函数的定义域为，且当时，又直线恰好过原点，所以函数的图象应位于区域内，于是，即，令，令，得，时，单调递增，时，单调递减，的取值范围是：（2），设，则，时为单调递减函数，不妨设，令，可得，且单调递减函数，为单调递减函数，即例7已知函数（1）求函数的单调区间和最小值；（2）当时，求证：（其中为自然对数的底数）；（3）若，求证：（b）【解析】解：（1） （1分）令得：，；令得：；（2分）在，上为增函数；在，上为减函数（4分）（2）由（1）知：当时，有（b），（6分），即：，（8分）（3）将（a）（b）变形为：（a）（b）
8、（7分）即只证：（a）设函数（8分），令，得：在，上单调递增；在，上单调递减；的最小值为：，即总有：（12分），即：，（13分）令，则（a）（b），（a）（b）成立（14分）例8设函数（） 求的极值；（）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（）若，证明：【解析】（本小题满分14分）解：（）函数，则，令，解得：，且当时，时，因此：的极小值为（）令，则注意到：，若要，必须要求，即，亦即另一方面：当时，恒成立；故实数的取值范围为：构造函数，在上是单调递增的；故（b）（a），即：另一方面，构造函数，在上是单调递减的故（b）（a）即：综上，【同步练习】一选择题1设，为实数，首项为，公差为的等差数
9、列的前项的和为，满足，则的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：由题意可得，整理得此方程可看作关于的一元二次方程，它一定有实根，整理得，解得或故选：2若存在正实数，使得，则A实数的最大值为B实数的最小值为C实数的最大值为D实数的最小值为【解析】解：，可得，由于存在，可得上式有两个正根，可得，即有，且，解得或，则的最大值为，故选：3已知函数在区间，上有零点，则的取值范围是A，BC，D【解析】解：不妨设，为函数的两个零点，其中，则，则，由，所以，可令，当，恒成立，所以（2），（3），则的最大值为，此时，还应满足，显然，时，故选：4已知任意，若存在实数使不等式对任意的，恒成立，则A的最小值为4B的最
10、小值为6C的最小值为8D的最小值为10【解析】解：由题意可得，可得等价为，又时，不等式显然成立，只需考虑，可得，由任意，即，可得即对恒成立，由在，递增，可得函数在处取得最大值6，则，又即对恒成立，而在，的最小值为处取得，可得最小值为，可得，则，故由可得，即的最小值为6，故选：5已知以下四个命题：对任意实数，存在，使得；对任意，存在实数，使得；对任意实数，均有成立；对任意实数，均有成立其中所有正确的命题是ABCD【解析】解：令，所以，因为为开口向上的二次函数，所以对任意，总存在使得，故正确错误；因为当，时，所以方程，无解，所以恒成立，故正确；因为当，时，所以方程，有一根或两根，所以对任意，不恒成
11、立，故错误故选：二填空题6已知实数，满足，则的最小值是【解析】解：若取最小值，则异号，根据题意得：，又由，即有，则，即的最小值为，故答案为：7已知实数，满足，则的最小值是 【解析】解：根据题意，实数，满足，又由，则有，即或，解可得或，故，又由，而，故时，取得最小值，其最小值为，当且仅当且时等号成立，故答案为：8设函数，若对任意，都存在，使，则实数的取值范围为【解析】解：，的值域是，设的值域为，对任意，都存在，使，设的值域为，则，显然当时，上式成立当时，解得当时，即恒成立综上可得：实数的取值范围为：，故答案为：，9设，为实数，首项为，且，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是【解析】解
12、：，可得，化为：，解得的取值范围是，故答案为：，10若，设，则的最小值为【解析】解：当且仅当，表达式取得最小值故答案为：11若，设，则的最小值为【解析】解：当且仅当，时取等号的最小值为故答案为：12若，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是【解析】将原不等式看成关于变量得不等式，即，其判别式为，因此不等式的解为，因为，所以，故答案为：13若正数，满足，则的最大值是【解析】解：依题意有正数解，因为对称轴，所以，即有解，因为对称轴为，所以，解得，故答案为：三解答题14设函数，为的导函数（1）若，（4），求的值；（2）若，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，且的极大值为，求证：【解析】
13、解：（1），（4），解得（2），设令，解得，或令，解得，或和的零点均在集合，1，中，若：，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，因此，可得：可得时，函数取得极小值，（1）（3）证明：，令解得：，可得时，取得极大值为，令，可得：，令，函数在上单调递减，函数在上单调递增，15已知函数，若，使得，求的取值范围【解析】解：若，使得，即在，上的值域要包含在，上的值域，又在，上，当时，单调递减，此时，解得，当时，显然不满足题设；当时，单调递增，此时，解得综上，使得的取值范围为，16已知函数当时，讨论的单调性；设当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围；对于任意，都有，求实数的取值范围【解
14、析】解：，时，令，解得：，此时函数在，是增函数，在和上是减函数；当时，在单调递减；当时，时，时，函数在，上单调递减；当，时，函数在上单调递增；当，时，函数在上单调递减，当时，若对任意，存在，使成立，只需；由知，当时，在，单调递减，在，单调递增，（1），在，成立即，在，成立设，在，恒成立，在，上单调递减，（2），不妨设，由函数在，上是增函数，函数在，是减函数，等价于，设是减函数，所以在，上恒成立，即，解得17已知实数，设函数，（）当时，求函数的单调区间；（）对任意，均有，求的取值范围注：为自然对数的底数【解析】解：（1）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为（2）由（1），得，当时，等价于，
15、令，则，设，则，当，时，则，记，则，列表讨论：，10单调递减极小值（1）单调递增（1），当时，令，则，故在，上单调递增，由得（1），由知对任意，即对任意，均有，综上所述，所求的的取值范围是，18已知实数，设函数，（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有，求实数的取值范围【解析】解：（1）当时，则，令，可得，令，可得，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为（2）由（1），得当时，等价于令，则设，则当，时，则记，则故10单调递减极小值（1）单调递增所以，（1）因此，当时，令，则，（因为，而故在上单调递增，所以解法1：由得，（回代中间函数（因为，所以解法2：也可以直接证明（放缩法）因为，且，
16、所以即，即所以，因此由知对任意，即对任意，均有综上所述，所求的取值范围是19已知函数，（）若时，取得极小值，求实数及的取值范围；（）当，时，证明：【解析】解：（）由函数，得，当时，取得极小值，即的取值范围为：（）当时，要证成立，即证成立，令，则，令，则，当时，此时递减；当时，此时递增，显然，即时，20已知函数，（1）若，求实数的值（2）若，（a）（b），求正实数的取值范围【解析】解：（1）函数，由，得，令，则，在单调递增，又，当时，单调递增，当时，单调递减，当且仅当时等号成立，方程有且仅有唯一解，实数的值为0（2）令（b），则，当时，单调递增当时，单调递减，故（b），令，则，若时，在单调递增，
17、满足题意；若时，满足题意；若时，在单调递减，不满足题意综上，正实数的取值范围是，21已知函数（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；（2）证明：当时，【解析】解：（1）函数，是的极值点，（2），解得，当时，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是（2）证法一：当时，设，则，由，得，当时，当时，是的最小值点，故当时，（1），当时，证法二：函数，即，令，则，（1），当时，当时，在单调递增，在单调递减，（1），当时，证法三：当时，即只需证明，由于，则，令，则，即为增函数，又易证，故，即成立，故当时，22已知函数，其中，为自然对数的底数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意的，【解析】解：（1）当时，则，故则在上单调递减（2）当时，要证明对任意的，则只需要证明对任意的，设（a），看作以为变量的一次函数，要使，则，即，恒成立，恒成立，对于，令，则，设时，即，在上，单调递增，在上，单调递减，则当时，函数取得最大值，故式成立，综上对任意的，23已知函数，（1）当为何值时，曲线在处的切线与轴垂直；（2）讨论的单调性；（3）当时，试证明【解析】（1）解：，曲线在处的切线与轴垂直，（1），即，得；（2）解：，当时，则在上单调递增；当时，则在上单调递增，在，单调递减；（3）证明：由（2）知，当时，令，则，解得在上单调递增，在单调递减（1），即，