1、第5讲 嵌套函数的高级应用【典型例题】例1（2022春日照期中）已知是定义在上的单调函数，是的导函数，若对都有，则方程的解所在的区间是ABCD例2（2022秋庐阳区校级期中）已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是A，BC，D，例3已知函数，若关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是A，B，C，D，例4（2022秋龙湾区校级期中）已知函数，关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是ABCD例5（2022秋南岗区校级月考）设，分别是函数和的零点（其中，则的取值范围AB，CD，例6（2022春江宁区期末）已知函数是定义域为的偶函数当时，关于的方程，有且仅有5个不同实数根
2、，则实数的取值范围是 例7（2022秋浔阳区校级期末）已知函数，则关于的方程的实根个数构成的集合为【同步练习】1（2022春福田区校级期中）已知函数是定义在上的增函数，且对，都有，若关于的方程，的两个根分别为和，且，则的值为A2B1C16D2（2022秋渭城区校级期末）已知定义在上的单调函数，对，都有，则函数的零点所在区间是ABC，D3（2022秋西湖区校级期中）已知函数是上的单调函数，且对任意实数，都有成立，则的值是ABCD4（2022广元模拟）若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则A1BCD05已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程，有且只有7个不同实数根，则实数的取值范围是
3、ABCD6已知定义在上的函数为单调函数，且，则（1）A1B或CD7（2022秋北京校级期中）已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是A5B6C7D88（2022南昌校级二模）设，若函数为单调递增函数，且对任意实数，都有是自然对数的底数），则的值等于A1BC3D9（2022广东模拟）设，分别是函数和的零点（其中，则的取值范围是A，BC，D10（2022秋沈阳期中）是的零点，若，则的值满足A的符号不确定BCD11设函数若方程有解，则的取值范围为ABCD，12（2022秋岳阳校级月考）设函数，若曲线上存在，使得则的取值范围为A，B，C，D，13设函数若存在，使（b）成立，则的取值范围是
4、A，B，C，D，14（2022浙江模拟）关于的方程，给出下列四个命题：存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数，使得方程恰有8个不同的实根其中假命题个数是A0B1C2D415（2022秋永州期末）关于的方程，给出下列四个命题存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数，使得方程恰有7个不同的实根其中正确的命题个数是A3B2C1D016设，已知方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围是A或 BCD或17（2022张掖模拟）已知函数，
5、若对恒成立是自然对数的底数），则的取值范围是A，BC，D，18（2022秋沙河口区校级期中），则函数的零点个数为A7B6C5D319（2022宿州一模）已知函数，若方程有四个不同的实数根，、，则的取值范围是A，B，C，D，20（多选题）（2022秋日照期末）已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，则的值可能为AB8C9D1221（多选题）（2022秋潞州区校级月考）已知函数，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值可能是ABCD22（多选题）（2022春麒麟区校级期末）已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为A函数的零点的个数为2B实数的取值范围为，C函数无最值D函数在上单调递
6、增23（2022南通模拟）已知函数是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，则24（2022秋亭湖区校级期末）已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是25（2022秋工农区校级期末）已知函数若函数恰有8个零点，则的范围为26（2022西湖区校级模拟）已知定义在上的函数为单调函数，且，则（1）27（2022春雅安期末）已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是28已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则不等式的解集为29（2022秋闵行区校级月考）设，分别是函数和的零点（其中，则的取值范围是30若是方程的解，是方程的解，则等于31（2022秋鲤城区校级期中）已知
7、函数（1）求函数的单调区间；（2）讨论函数在定义域内零点的个数；（3）若，当时，不等式恒成立，求的取值范围32（2022秋北仑区校级期中）已知函数，（1）求关于的不等式的解集；（2）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围第5讲 嵌套函数的高级应用【典型例题】例1（2022春日照期中）已知是定义在上的单调函数，是的导函数，若对都有，则方程的解所在的区间是ABCD【解析】解：由题意，可知是定值，令，则，又，解得，所以有，所以，令，可得（1），（2），即零点在区间内，所以的解所在的区间是，故选：例2（2022秋庐阳区校级期中）已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是A，
8、BC，D，【解析】解：由，可得，解得，那么不等式，等价于，又当时，取得最小值，即函数的值域为，若不等式的解集为空集，则的解集为空集，那么与函数的值域的交集为空集，所以，所以故选：例3已知函数，若关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：因为函数，所以，令得：当时，单调递减；当时，单调递增；由当时，；当时，得：作出的大致图象如下图所示：因为，所以当，即，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；当，即或，由图象可知有无穷多整数解，不符合题意；当，即或，由图象可知有无穷多整数解，故有两个整数解，因为（1）（2），且在，上单调递减，所以的两个整数解必为，又因为（3），所以
9、，解得故选：例4（2022秋龙湾区校级期中）已知函数，关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：函数的图象如图所示，令，则方程可变形为，由题意可知该方程有2个不同的实数根，设为，则，设，所以（2），解得，所以实数的取值范围是故选：例5（2022秋南岗区校级月考）设，分别是函数和的零点（其中，则的取值范围AB，CD，【解析】解：由得，由得，在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，则，且，又和的图象以及的图象均关于直线对称，点，关于直线对称，又点直线对称的点坐标为，即，故选：例6（2022春江宁区期末）已知函数是定义域为的偶函数当时，关于的方程，有且仅有5个不同实数根，则实
10、数的取值范围是 ，【解析】解：当时，可得的最大值为，作出的函数图象如图所示：令，显然，当时，方程只有一解，当时，方程有四个解，当或时，方程有两解，当或时，方程无解关于的方程，有且仅有5个不同实数根，关于的方程，有两解，且一解为，另一解，的两解分别为，解得（另解：设，由（1），且，即为，且，解得可得的范围是，故答案为：，例7（2022秋浔阳区校级期末）已知函数，则关于的方程的实根个数构成的集合为，3，4，6，7，【解析】解：函数的图象，如图：当时，当时，当时，当时，当时，或，故方程的实根个数为4；当时，或或，故方程的实根个数为6；当时，或或或，故方程的实根个数为8；当时，或或或，故方程的实根个数
11、为7；当时，或或，故方程的实根个数为4；当时，或，故方程的实根个数为3；当时，故方程的实根个数为2关于的方程的实根个数构成的集合为：，3，4，6，7，故答案为：，3，4，6，7，【同步练习】1（2022春福田区校级期中）已知函数是定义在上的增函数，且对，都有，若关于的方程，的两个根分别为和，且，则的值为A2B1C16D【解析】解：令，则，且，又是定义在上的增函数，所以为常数，即，解得，所以，又，即，即或，即或，所以，所以；故选：2（2022秋渭城区校级期末）已知定义在上的单调函数，对，都有，则函数的零点所在区间是ABC，D【解析】解：根据题意，对任意的，都有，又由是定义在上的单调函数，则为定值
12、，设，则，又由，即，解得：，则，即，则方程的解可转化成方程的解，令，而（2），（1），方程的解所在区间为，方程的解所在区间为，故选：3（2022秋西湖区校级期中）已知函数是上的单调函数，且对任意实数，都有成立，则的值是ABCD【解析】解：根据题意，函数是上的单调函数，且对任意实数，都有成立，则为常数，设，则，又由，则，解可得，故，则，故选：4（2022广元模拟）若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则A1BCD0【解析】解：函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，恒成立，且（a），即，（a），解得：，故选：5（2022秋库尔勒市校级期中）已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程，有且
13、只有7个不同实数根，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：由题意，在，和，上是减函数，在，和，上是增函数，时，函数取极大值1，时，取极小值，时，关于的方程、有且只有7个不同实数根，设，则方程必有两个根，其中，则即，故选：6（2022全国二模）已知定义在上的函数为单调函数，且，则（1）A1B或CD【解析】解：故设（1），由题意知，则代入得，（1）（1），即，令代入得，（1），在上的函数为单调函数，化简得，解得，或故选：7（2022秋北京校级期中）已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是A5B6C7D8【解析】解：根据题意，得若对任意，都有，得到为一个常数，令，则，故选：8（2022
14、南昌校级二模）设，若函数为单调递增函数，且对任意实数，都有是自然对数的底数），则的值等于A1BC3D【解析】解：设，则，则条件等价为，令，则，函数为单调递增函数，得，即，故选：9（2022广东模拟）设，分别是函数和的零点（其中，则的取值范围是A，BC，D【解析】解：因为，分别是函数和的零点，则，分别是和的解，所以，分别是函数与函数和函数交点的横坐标，所以交点分别为，因为，所以，由于函数与函数和函数都关于对称，所以点与点关于对称，因为关于对称的点坐标为，所以，即，且，所以，由于所以不能取等号，因为，所以，即，故选：10（2022秋沈阳期中）是的零点，若，则的值满足A的符号不确定BCD【解析】解：
15、根据题意，其导数为，在函数在上是减函数，若是的零点，则有（a），若，则，故选：11（2022秋上城区校级期中）设函数若方程有解，则的取值范围为ABCD，【解析】解：设，则方程等价为，即，即，在时有解，即，在时成立，设，当时，取得最大值，即，故选：12（2022秋岳阳校级月考）设函数，若曲线上存在，使得则的取值范围为A，B，C，D，【解析】解：由题意可得，曲线上存在点，使得，存在，使成立，即在，上有解，即 在，上有解令，则为在，上的值域由，即故选：13设函数若存在，使（b）成立，则的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：由（b），可得（b）（b），其中是函数的反函数因此命题“存在，使（b）成立”
16、，转化为“存在，使（b）（b）”，即的图象与函数的图象有交点，且交点的横坐标，的图象与的图象关于直线对称，的图象与函数的图象的交点必定在直线上，由此可得，的图象与直线有交点，且交点横坐标，根据，化简整理得，即，根据二次函数的性质得出：即实数的取值范围为，故选：14（2022浙江模拟）关于的方程，给出下列四个命题：存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数，使得方程恰有8个不同的实根其中假命题个数是A0B1C2D4【解析】解：关于的方程可化为或（1）或（2）当时，方程（1）的解为，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的
17、实根当时，方程（1）有两个不同的实根，方程（2）有两个不同的实根，即原方程恰有4个不同的实根当时，方程（1）的解为，方程（2）的解为，原方程恰有5个不同的实根当时，方程（1）的解为，方程（2）的解为，即原方程恰有8个不同的实根故选：15（2022秋永州期末）关于的方程，给出下列四个命题存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数，使得方程恰有7个不同的实根其中正确的命题个数是A3B2C1D0【解析】解：关于的方程可化为或（1）或（2）当，即时，方程（1）的解为，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根当，即时，方程（
18、1）有两个不同的实根，方程（2）有两个不同的实根，即原方程恰有4个不同的实根当时，方程（1）的解为，方程（2）的解为，原方程恰有5个不同的实根当，即时，方程（1）的解为，方程（2）的解为，即原方程恰有8个不同的实根三个命题都是真命题故选：16设，已知方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围是A或BCD或【解析】解，设，则，由得图象可知，有且只有一个正根，否则，原方程不会恰好有三个不等实根，当只有一个根且是4时，解得；当有两个根，一个负根，一个正根且是4时，解得：综上所述：实数的取值范围时或，故选：17（2022张掖模拟）已知函数，若对恒成立是自然对数的底数），则的取值范围是A，BC，D，
19、【解析】解：当时，的导数为，即递减，则；当时，的导数为，当时，递减；当时，递增则处取得极大值，且为最大值，即有令，则，即有，则，即，由在递增，且时，可得可得恒成立，即有，即有，当时，由，可得时，取得最大值，可得不成立；当时，由，可得，解得综上可得的范围是，故选：18（2022秋沙河口区校级期中），则函数的零点个数为A7B6C5D3【解析】解：因为的零点个数的根的个数，令，则的图象如图所示：由图可知：有三个根，当时，由图可知方程有且只有一个根；当时，由图可知方程有三个实根；当时，由图可知方程有三个根，综上所述：有7个零点故选：19（2022宿州一模）已知函数，若方程有四个不同的实数根，、，则的取
20、值范围是A，B，C，D，【解析】解：由题意，当时，方程有四个不同的解，且，且；故，故，即的取值范围是，故选：20（多选题）（2022秋日照期末）已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，则的值可能为AB8C9D12【解析】解：由题意可得时，显然不成立；当时，令，则由得，又方程有8个不同的实根，由题意结合可得，即，解得，故选：21（多选题）（2022秋潞州区校级月考）已知函数，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值可能是ABCD【解析】解：函数，关于的方程有8个不同的实数解，所以，示意图如图，由方程，可得，即，或，解得或，有3个解：，有2个解，关于的方程有8个不同的实数解，必须，解得，故选：
21、22（多选题）（2022春麒麟区校级期末）已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为A函数的零点的个数为2B实数的取值范围为，C函数无最值D函数在上单调递增【解析】解：函数，作出的图象如图所示，由图象可知，有和两个零点，故选项正确；方程有4个不同的实数根，令，则或或，因为方程必有一正一负两个根，所以，且，所以，所以或，则，令，则，因为函数在，和，上单调递增，当时，当时，所以，故选项正确；无最值，故选项正确；在上不单调，故选项错误故选：23（2022南通模拟）已知函数是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，则【解析】解：根据题意，对任意的，都有，又是定义在上的单调函数，所以为定值，设，
22、则，又由，可得，解得，所以故答案为：24（2022秋亭湖区校级期末）已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是，【解析】解：，其值域为，由，即，当时，的解集为要使不等式的解集为空集，则，解得：当时，的解集为要使不等式的解集为空集，则，解得：综上可得实数的取值范围是：故答案为：，25（2022秋工农区校级期末）已知函数若函数恰有8个零点，则的范围为【解析】解：画出函数的图象如图所示，设，由，得，因为有8个零点，所以方程有4个不同的实根，结合的图象可得在，内有4个不同的实根，所以方程必有两个不等的实数根，即在，内有2个不同的实根，结合图象可知，则有，解得，所以的范围为故答案为：26（
23、2022西湖区校级模拟）已知定义在上的函数为单调函数，且，则（1）【解析】解：的定义域为，当时，（1）（1），（1）；（1）作为（1）的自变量的一个取值，它必须在定义域内，（1），即（1）；设（1），（其中，；令（其中，代入中，得；把代入，得，即；（1），（1）；把 和 1 分别看作函数的自变量的2个取值，由于函数是单调函数，要使对应的函数值相等，自变量必须相等；即，解得 或；由，解得或；又，所以符合题意；综上知，（1）；故答案为：27（2022春雅安期末）已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是2021【解析】解：在定义域上是单调函数，若对任意，都有，可设，故，且（c），解可得
24、，则故答案为：202128已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则不等式的解集为【解析】解：根据题意，得若对任意，都有，得到为一个常数，以换，得，则，等价于，而定义域为，故答案为：，29（2022秋闵行区校级月考）设，分别是函数和的零点（其中，则的取值范围是【解析】解：由是函数的零点可知，是方程，即方程的解，同理是方程的解，则、分别为函数的图象与函数和函数的图象交点的横坐标，设两交点分别为，由知，又和以及的图象均关于直线对称，两交点一定关于对称，点，关于直线的对称点坐标为，设，其中，由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，的取值范围是：，故答案为：，30若是方程的解，是方程的解，则等于1
25、【解析】解：考虑到，是函数、函数与函数的图象的公共点，的横坐标，而，两点关于对称，因此故答案为：131（2022秋鲤城区校级期中）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）讨论函数在定义域内零点的个数；（3）若，当时，不等式恒成立，求的取值范围【解析】解：（1），；当时，；函数在上是增函数；当时，当时，当时，；函数的单调增区间为，单调减区间为；综上所述，当时，函数在上是增函数；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）的定义域为，由得，令，则，由于，；当时，；当，；故函数在上单调递减，在上单调递增；故（1）；又由（1）知，当时，对，有；即，故；，当时，；当时，函数有两个不同的零点，当时，函数有
26、且级有一个零点，当时，函数没有零点；（3）由（2）知，当时，故对，；构造函数，则；故函数在上单调递增，则，则，成立，当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，帮当时，所以，则不满足题意，所以满足题意的的取值范围是，32（2022秋北仑区校级期中）已知函数，（1）求关于的不等式的解集；（2）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围【解析】解：（1），当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；（2）当时，令，当且仅当时取等号，设，则原方程可化为，由题意知在有两个不等的实根，因为，（1），故有，由知，存在，使不等式成立，解得，故实数的取值范围是