1、第6讲 函数最值的灵活运用【典型例题】例1已知，且，若不等式恒成立，则的取值范围是A，B，C，D，例2（2022秋怀宁县校级月考）若函数在内有且只有一个零点，则在，上的最大值与最小值的和为ABC2D3例3（2022江西模拟）对任意，若不等式恒成立，则的取值范围为A，B，C，D，例4（2022海南）用，表示，三个数中的最小值，设，则的最大值为A7B6C5D4例5（2022春渝中区校级期中）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A，B，C，D，例6（2022秋江西月考）设函数，若无最大值，则实数的取值范围是AB，C，D，例7（2022秋浦东新区校级期末）已知函数为，其中，若对任意的恒
2、成立，且函数存在零点，则的最小值为 例8（2022太原一模）已知函数（）设，求在，上的最小值；（）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围例9（2022春渝中区校级月考）已知函数（1）若时，不单调，求的取值范围；（2）设，若，时，时，有最小值，求最小值的取值范围【同步练习】一选择题1（2022秋滨江区校级期末）已知，若不等式恒成立，则的最小值为ABCD2（2022山西自主招生）若不等式恒成立，则的取值范围是A，B，C，D，3（2022秋道里区校级月考）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是A，B，C，D4（2022大庆模拟）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是A，B，C，D，5用，表示
3、，三个数中的最小值，设，则的最大值为A4B5C6D76（2022秋鼓楼区校级期末）若函数的值域为，则的取值范围为ABCD7（2022秋武昌区校级月考）已知函数，设，（其中，表示、中的较大值，表示、中的较小值，记的最小值为，的最大值为，则为ABC16D8（2022秋遵义月考）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为A，B，C，D，9（2022春瑞金市月考）设函数的最大值为，若对任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是ABCD10（2022春武邑县校级期末）设，则的最小值为A2B4CD11（2022曲阜市校级模拟）若函数的图象关于直线对称，则的最大值是A9B14C15D16二填空题12（2022
4、秋吴忠校级月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，已知函数，则函数的值域是 13（2022春梅河口市校级期中）已知，且，则的最小值为14（2022秋秦淮区校级月考）已知，且，则的最小值为 15（2022郑州二模）已知，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为16（2022秋太原期末）已知函数在，上的最小值为1，若对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为17（2022秋道里区校级月考）若函数的值域是，则的取值范围是18（2022秋龙华区校级期中）设函数若，则的最大值为 ；若无最大值，
5、则实数的取值范围是 19（2022秋贵阳月考）已知函数，若函数只有一个零点，则函数的最小值是20（2022秋沈阳期末）已知函数若函数只有一个零点，则函数的最小值是21（2022秋河西区期末）已知，则的最小值为 22（2022春忻州校级期中）若函数的图象关于直线对称，则的最大值是23（2022新疆模拟）不等式对，恒成立，则的最大值为三解答题24（2022秋南城县校级期中）已知函数，函数的定义域为，（1）求的值；（2）若，试判断函数在，上的单调性，并加以证明；（3）若函数的最大值是，求的值25（2022春雅安校级期末）已知函数，其中（1）若对一切，恒成立，求的取值集合；（2）在函数的图象上去定点，
6、记直线的斜率为，证明：存在，使恒成立26（2022广西一模）设，其中，且（1）试讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围27（2022九江一模）已知函数，且直线和函数的图象相切（）求实数的值；（）设，若不等式对任意恒成立，为的导函数），求的最大值28（2022秋天心区校级月考）已知函数对一切实数，等式都成立，且（1）（1）求函数的解析式；（2）已知，当时，使不等式恒成立的的集合记为；当，时，使是单调函数的的集合记为求（3）设，记的最小值为，求的最大值29（2022天河区二模）已知函数，在点，（e）处的切线方程为（1）求，的值及函数的极值；（2）若且对任意的恒成立，求的最大值30（20
7、22呼和浩特模拟）已知函数，（）讨论的单调性；（）若，对任意恒成立，求的最大值第6讲 函数最值的灵活运用【典型例题】例1（2022秋河北月考）已知，且，若不等式恒成立，则的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：，（当且仅当，即时取等号），故选：例2（2022秋怀宁县校级月考）若函数在内有且只有一个零点，则在，上的最大值与最小值的和为ABC2D3【解析】解：函数，当时，函数在上单调递增，又，在上没有零点，舍去；当时，由，得，在上递减，在，递增，又只有一个零点，解得，则，的解集为，在上递增，在上递减，（1），在，上的最大值与最小值的和为：故选：例3（2022江西模拟）对任意，若不等式恒成立，则的取
8、值范围为A，B，C，D，【解析】解：，设，则，（1），当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以，当时，取得极小值也是最小值，即，令，则，所以，而，且仅当，所以故选：例4（2022海南）用，表示，三个数中的最小值，设，则的最大值为A7B6C5D4【解析】解：解法一：画出，的图象，观察图象可知，当时，当时，当时，的最大值在时取得为6，故选解法二：由，得时2，；时，；由得时，时，综上，（4）故选：例5（2022春渝中区校级期中）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：依题意，即，即，设，则在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，设，易知函数在单调递增，在单
9、调递减，则故选：例6（2022秋江西月考）设函数，若无最大值，则实数的取值范围是AB，C，D，【解析】解：因为，作出函数与直线的图象，它们的交点时，由，则令，可得或，当或时，则单调递增，当时，则单调递减，所以是的极大值点，是的极小值点，由图象可知，当时，有最大值，当时，有，此时无最大值，故实数的取值范围为故选：例7（2022秋浦东新区校级期末）已知函数为，其中，若对任意的恒成立，且函数存在零点，则的最小值为 【解析】解：根据题意，函数满足对任意的恒成立，且函数存在零点，必有，则有，则，又由，则，当且仅当时等号成立，即的最小值为；故答案为：例8（2022太原一模）已知函数（）设，求在，上的最小值
10、；（）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围【解析】解：，时，则，故在，上单调递增，所以当时，在，上的最小值；，因为在，上恒成立，当时，由知在，上单调递增，且，故存在唯一的使得，当时，单调递减，此时与已知矛盾，当时，若，由（1）知，所以在，上单调递增，恒成立，此时原不等式恒成立，符合题意；若，则，因为在，上为增函数且，故存在唯一的使得，当时，单调递减，当，时，单调递增，又，故存在唯一的，使得，故当，时，单调递减，当，时，单调递增，又，故当，时，单调递增，即在，上恒成立，综上的范围，例9（2022春渝中区校级月考）已知函数（1）若时，不单调，求的取值范围；（2）设，若，时，时，有最小值，求最小值
11、的取值范围【解析】解：（1），时，不单调，在上有解，（2），设，则，又，单调递增，又（1），存在，使得，即时，单调递减，时，单调递增，设，则，单调递减，又，（1），【同步练习】一选择题1（2022秋滨江区校级期末）已知，若不等式恒成立，则的最小值为ABCD【解析】解：，不等式等价为，令，令，令，（负值舍去）函数在上单调增，在，上单调减时，函数取得最大值为实数的最小值为故选：2（2022山西自主招生）若不等式恒成立，则的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：令，时，函数在上单调递增时，不满足不等式恒成立，舍去时，在上恒成立时，函数在上单调递增，存在，使得，可得函数在上单调递减，在，上单调递增，时
12、，函数取得极小值即最小值由可得，则，解得综上可得：的取值范围是，故选：3（2022秋道里区校级月考）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是A，B，C，D【解析】解：当时，恒成立，即为恒成立，令，当时，递减，当时，递增，即有时，取得最大值，即为，即有，令，导数为，当时，递减，当时，递增，当时，（e），即时，（e），则有的取值范围是故选：4（2022大庆模拟）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：由函数，所以不等式恒成立，等价于恒成立；因为，所以；设函数，则，计算（1），且；所以，当，时，令，解得，所以时，函数单调递增；当时，函数单调递减；所以（1）；设（a），
13、则（a），所以（a）在上单调递增，且；要使恒成立，需使（a）恒成立，即，所以的取值范围是，故选：5用，表示，三个数中的最小值，设，则的最大值为A4B5C6D7【解析】解：，当，即时，当，即时，时，；时，综上可得，的最大值为5故选：6（2022秋鼓楼区校级期末）若函数的值域为，则的取值范围为ABCD【解析】解：当时，当时，且，即，的值域为，且，故选：7（2022秋武昌区校级月考）已知函数，设，（其中，表示、中的较大值，表示、中的较小值，记的最小值为，的最大值为，则为ABC16D【解析】解：，当时，或；又，；，故选：8（2022秋遵义月考）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为A，B，C，D，【解
14、析】解：令，则，对任意的，恒成立，所以在，上单调递增，从而（1），若，则当时，恒成立，符合题意，若，易知在，上单调递增，因为，所以，所以（1），即，所以，因为，所以，所以，因为在，上单调递增，其图象是一条连续的曲线，且（1），所以存在唯一的，使得，当时，所以函数在上单调递减，（1），不符合题意，舍去，综上所述，实数的取值范围为，故选：9（2022春瑞金市月考）设函数的最大值为，若对任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：，函数为偶函数，当 时，函数单调递减，故，故 恒成立，即，故，解得，故选：10（2022春武邑县校级期末）设，则的最小值为A2B4CD【解析】解：因为，
15、所以，由基本不等式，得（当且仅当时，即，时，等号成立）所以，故，故的最小值为故选：11（2022曲阜市校级模拟）若函数的图象关于直线对称，则的最大值是A9B14C15D16【解析】解：的图象关于直线对称，（1）（3），（5），即，解得，即，则，由，解得或或，由，解得或，此时函数单调递增，由，解得或，此时函数单调递减，作出对应的函数图象如图：则当或时，函数取得极大值同时也是最大值则，故选：二填空题12（2022秋吴忠校级月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，已知函数，则函数的值域是
16、 ，1，2，【解析】解：，1，2或3，即函数的值域是，1，2，故答案为：，1，2，13（2022春梅河口市校级期中）已知，且，则的最小值为 【解析】解：因为，且，则，当且仅当，即且，此时，或，时取等号，所以的最小值为故答案为：14（2022秋秦淮区校级月考）已知，且，则的最小值为 6【解析】解：由，且，则，当且仅当，又，即，或，上式取得等号所以的最小值为6故答案为：615（2022郑州二模）已知，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为，【解析】解：不等式对任意的恒成立，令，则，所以不等式等价于对恒成立，变形可得不等式对恒成立，令，则不等式等价于对恒成立，当时，故单调递增，所以不等式转化为对恒
17、成立，即对恒成立，令，所以，令，解得，当时，则单调递减，当时，则单调递增，所以当时，取得最小值（e），所以，又，所以实数的取值范围为，故答案为：，16（2022秋太原期末）已知函数在，上的最小值为1，若对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为【解析】解：由的导数为，当时，递增；当时，递减，则在处取得极小值0，且为最小值0，则，所以，当且仅当且时取等号，即，故时取等号，不等式恒成立即为，令，故在，递增，而，故在递减，在，递增，故的最大值是（1）或（2），而（1）（2），故，故答案为：17（2022秋道里区校级月考）若函数的值域是，则的取值范围是，【解析】解：当时，的最小值为1，；当时，的最大值为
18、，保证值域是，即综上，可得的取值范围是故答案为：18（2022秋龙华区校级期中）设函数若，则的最大值为 0；若无最大值，则实数的取值范围是 【解析】解：若，则，当时，此时函数为增函数，当时，此时函数为减函数，当时，取得最大值，为当时，图像如图所示：，由图可知存在最大值，当时，图像如图所示：，由图可知不存在最大值，由（1）可知，当时，函数有最大值，综上所述，若无最大值，则实数的取值范围是，故答案为：0，19（2022秋贵阳月考）已知函数，若函数只有一个零点，则函数的最小值是12【解析】解：函数，所以，故函数为奇函数，由函数只有一个零点，所以只有一个根，可得只有一个根，由于在上单调递增，所以，化简
19、可得只有一个根，故，解得，所以，当且仅当，即时取等号，故函数的最小值是12故答案为：1220（2022秋沈阳期末）已知函数若函数只有一个零点，则函数的最小值是5【解析】解：函数满足，且恒成立，故是上的单调奇函数，令，所以，即只有一个实数解，则，解得，；当且仅当时，即时取等号；所以的最小值为5，故答案为：521（2022秋河西区期末）已知，则的最小值为 2【解析】解：因为，所以，当且仅当时，等号成立；故答案为：222（2022春忻州校级期中）若函数的图象关于直线对称，则的最大值是16【解析】解：函数的图象关于直线对称，且（1），即且，解之得，因此，求导数，得当，时，当，时，在单调递增，在，单调递
20、减，在单调递增，在，单调递减，故当和时取极大值，故答案为：1623（2022新疆模拟）不等式对，恒成立，则的最大值为【解析】解：，恒成立，设，则，设，则在上恒成立，在上单调递增，又（1），当时，当时，（1），的最大值为故答案为：三解答题24（2022秋南城县校级期中）已知函数，函数的定义域为，（1）求的值；（2）若，试判断函数在，上的单调性，并加以证明；（3）若函数的最大值是，求的值【解析】解：（1），（2）由（1）及得，任取，则，即，即，在，上是减函数，（3）设，当，即时，；当，即时，（舍；当，即时，（舍综上25（2022春雅安校级期末）已知函数，其中（1）若对一切，恒成立，求的取值集合；（
21、2）在函数的图象上去定点，记直线的斜率为，证明：存在，使恒成立【解析】（1）解：，令得当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对一切，恒成立，当且仅当令，则当时，单调递增；当时，单调递减故当时，大值（1）因此，当且仅当时，式成立综上所述，的取值集合为（2）证明：由题意知，令，则，令，则当时，单调递减；当时，单调递增故当，即从而，又，所以，因为函数在区间，上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在，使，即成立26（2022广西一模）设，其中，且（1）试讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围【解析】解：（1）由题意得：，时，的定义域是，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，
22、时，的定义域是，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；综上：时，在递减，在递增，时，在递减，在递增（2）当时，恒成立，等价于恒成立，即恒成立，即恒成立，设，则，设，则，当时，当，时，故在递减，在，递增，故，故，又，故当时，当时，故在单调递减，在单调递增，故（1），故，即的取值范围是，27（2022九江一模）已知函数，且直线和函数的图象相切（）求实数的值；（）设，若不等式对任意恒成立，为的导函数），求的最大值【解析】解：（）设切线的坐标为，由得，切线方程为，即，由已知和为同一条直线，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，当且仅当时等号成立，（）由于，令，令，在单调递增，且（1），（2），在
23、上存在唯一零点，设此零点为，且，当时，当，时，由，又，的最大值为228（2022秋天心区校级月考）已知函数对一切实数，等式都成立，且（1）（1）求函数的解析式；（2）已知，当时，使不等式恒成立的的集合记为；当，时，使是单调函数的的集合记为求（3）设，记的最小值为，求的最大值【解析】解：（1）令，则（1），故（2），则，恒成立，所以，；，为单调函数，所以或，即或，；所以，（3），分情况讨论：当，时，；当，时，（2），（5）；当，时，此时（1）；综上所述，的最大值为29（2022天河区二模）已知函数，在点，（e）处的切线方程为（1）求，的值及函数的极值；（2）若且对任意的恒成立，求的最大值【解析】
24、解：（1），函数在点，（e）处的切线方程为，解得，则，由，得当时，当，时，在上为减函数，在，上为增函数，则当时，函数取得极小值为；（2）当时，由，得令，则，设，则，在上为增函数，（3），（4），且，当时，在上单调递减；当，时，在，上单调递增，的最大值为330（2022呼和浩特模拟）已知函数，（）讨论的单调性；（）若，对任意恒成立，求的最大值【解析】解：（），当时，在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（）即为，即，设，则，易知函数在上单调递增，而，所以，即，当时，即为，设，则，易知函数在上单调递减，在上单调递增，（e），即的最大值为