1、第8讲 等高线问题与函数的整数解问题【典型例题】例1设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是A，B，C，D，例2（2022襄城区校级模拟）若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是ABCD例3（2022秋吕梁月考）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是A，B，C，D，例4（2022全国卷模拟）若不等式的解集中有且仅有两个正整数，则实数的取值范围是ABCD例5（2022北海一模）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是ABCD例6（2022秋德州期中）已知函数，关于的不等式只有1个整数解，则实数的取值范围是A，B，C，D，
2、例7（2022秋重庆期末）已知函数若关于的方程有四个不同的根，且，则的取值范围是A，B，C，D，例8（2022西城区一模）设函数，若关于的方程有四个实数解，2，3，其中，则的取值范围是A，B，C，D例9（2022巴中模拟）已知函数对任意都有，当时，（其中为自然对数的底数），若存在实数，满足（a）（b）（c）（d），则的取值范围为ABCD例10（2022春东湖区校级期中）已知幂函数的图象经过点（1）（3）与（2）的大小；（2）定义在上的函数满足，且当，时：若关于的不等式在，上有且只有151个整数解，求实数的取值范围【同步练习】一选择题1（2022春荔城区校级期中）设函数，其中，若存在唯一的整数，
3、使得，则的取值范围是A，BCD2（2022雨花区校级模拟）若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是ABCD3（2022临沂二模）已知函数，时，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是ABCD4（2022九江一模）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是A，B，C，D，5（2022秋浙江期末）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是ABCD6（2022杏花岭区校级模拟）已知函数若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是A，B，C，D7（2022中卫二模）已知函数，若函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数的
4、取值范围为A，B，C，D，8（2022秋新余期末）已知函数，若的解集中恰有一个整数，则的取值范围为ABCD9（2022秋庄河市校级月考）已知函数的导函数为，且对任意的实数都有是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数的取值范围是ABCD10（2022泸州模拟）已知函数，关于的不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是A，B，C，D，11（2022琼海模拟）已知函数，函数，直线分别与两函数交于，两点，则的最小值为AB1CD212（2022春南关区校级月考）已知直线分别与函数和函数（实常数，交于，两点，则的最小值为ABCD13（2022秋锡山区校级月考）已知函数，若方程有
5、3个不同的实根、，则的取值范围为A，BCD14（2022广东四模）已知函数，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最小值是A2BCD15（2022春上饶期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的的值之和是A13B15C21D2616（2022秋湖北校级月考）已知函数，若方程有四个不同解，且，则的取值范围为A，B，C，D，17（2022春龙岩期末）已知函数与函数的图象相交于不同的两点，若存在唯一的整数，则实数的最小值是A0BCD118（2022海淀区校级三模）已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为A2B3C4D无数二填空题19（2022秋浙江
6、期中）已知函数，若集合中有且只有一个元素，则实数的取值范围为20（2022春孝义市期末）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，实数的取值范围是21（2022春船营区校级月考）设函数，若方程有四个不同的实数解，则的取值范围是 22（2022秋杨浦区校级期末）已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围为23（2022春淮安期末）设函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且，则的取值范围是24（2022秋尚志市校级月考）设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的取值范围是 25（2022秋常熟市校级月考）已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数，满足，且，则的取值范围为26已知直线与函数和分别
7、交于，两点，若的最小值为2，则27（2022春日照期末）已知函数，若存在实数，满足则的最小值为三解答题28（2022春张家港市期中）已知函数（1）求函数的最大值；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（3）若不等式仅有一个整数解，求实数的取值范围29（2022镜湖区校级模拟）已知函数，（）记，试判断函数的极值点的情况；（）若有且仅有两个整数解，求的取值范围30（2022秋双峰县校级月考）已知函数，（1）当时，函数有两个零点，求的取值范围；（2）当时，不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围31已知函数，为自然对数的底数（1）当时，求函数在处的切线方程；求函数的单调区间；（2）若有且只有唯一整
8、数，满足，求实数的取值范围第8讲 等高线问题与函数的整数解问题【典型例题】例1设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：设，由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方，因为，令，可得，单调递增，令，可得，单调递减，所以当时，取得最小值，当时，（1）（1），当时，由可得，即，由可得，可得，所以，所以实数的取值范围为，故选：例2（2022襄城区校级模拟）若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：令，则，令，得 或；，得， 在和， 上单调递增，在上单调递减，且（2），当 时， 至多有一个整数解当 时， 在区间 内的解集中有且仅有
9、三个整数，只需，即，解得：，故选：例3（2022秋吕梁月考）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：由解析式得：函数的图象关于直线对称，且当时，函数递增，所以不等式可化为：，即，即，若原不等式的解集中有且仅有三个整数，则时，有且仅有三个整数，解得：，时，有且仅有三个整数，解得：，综上可得：，故选：例4（2022全国卷模拟）若不等式的解集中有且仅有两个正整数，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：设；，显然当时，在，恒成立，即不等式没有正整数解，当时，与的大致图象如图所示，两个函数的图象均过原点，则原不等式的解集中的两个正整数解必然是和，所
10、以，即，解得，所以实数的取值范围是，故选：例5（2022北海一模）已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：函数的导数，由得或，此时为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时，函数取得极大值，当时函数取得极小值，当时，不满足条件，当时，（2），（1），（3），若存在唯一的正整数，使得，则唯一的正整数，则满足，即，得，得，则实数的取值范围是，故选：例6（2022秋德州期中）已知函数，关于的不等式只有1个整数解，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：由，令，解得：，令，解得：，的递增区间为，递减区间为，故的最大值是（e）；时，时，（1），故在时，在时，函数的图
11、象如下：时，由不等式得或，而时无整数解，的解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式，得，解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式，得或，的解集为无整数解，而的解集整数解只有一个，且在递增，在递减，而，（2）（4）（3），这一个正整数只能为3，（2）（3），；综上，的取值范围是，故选：例7（2022秋重庆期末）已知函数若关于的方程有四个不同的根，且，则的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：作函数图象，的横坐标分别为，故，所以，即，所以，即，因为，所以，又，所以，所以，令，故选：例8（2022西城区一模）设函数，若关于的方程有四个实数解，2，3，其中，则的取值范围是A，B，C，D
12、【解析】解：函数的图象如右：关于的方程有四个实数解，可得的图象与直线有四个交点，可以判断，且，可得，即，即有，故，又由函数在，上递增，可得函数在，上的值域为，可知的取值范围为，故选：例9（2022巴中模拟）已知函数对任意都有，当时，（其中为自然对数的底数），若存在实数，满足（a）（b）（c）（d），则的取值范围为ABCD【解析】解：由函数对于任意，均满足，可知的对称轴方程为当时，作出函数的图象，如图：由图可知，与，与关于直线对称，则又（a）（b），所以，即，因此由题意知，令（b），则（b），令（b），得，故（b）在，上单调递减，在，上单调递增故（b），由，由，可得，所以得的取值范围是，故选：例
13、10（2022春东湖区校级期中）已知幂函数的图象经过点（1）（3）与（2）的大小；（2）定义在上的函数满足，且当，时：若关于的不等式在，上有且只有151个整数解，求实数的取值范围【解析】（1）由于函数为幂函数，故，即，又函数过点，则，即，故，此时（3），（2），故（3）（2）（2）由于函数满足，则为偶函数，又，则图象关于直线对称，由此可以得到，又，则有，即，故函数的周期为，然后由，以及奇偶性和对称性和周期性做出示意图如右图，其中函数的单调性，用导数方法判断，限于篇幅，只给出结论，在区间单调递增，在区间单调递减，最大值为，由不等式可得，则得到，或者，结合图象舍去第二种情形故只有可能成立，当时，由
14、上述不等式组可得，即时在，上有且只有151个整数解，结合图象可知，则在，上有且只有个整数解，则在区间，上有且只有3个整数解，我们设想直线在区间，和相交，当满足条件且时，整数解在区间，上有或者或者三个，满足题意，其中，这样有，即，满足；当时，由题意在，上有且只有151个整数解，我们结合图象可知，在一个周期，内，满足的整数解有2、3、4、5、6、8，显然不满足题意，故舍去；综上所述，实数的取值范围为【同步练习】一选择题1（2022春荔城区校级期中）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是A，BCD【解析】解：令，显然直线恒过点，则“存在唯一的整数，使得 “等价于存在唯一的故数使得点，在
15、直线下方，当时，当时，即在上递减，在上递增，则当时，当时，而，即当时，不存在整数使得点，在直线下方，当时，过点作函数图象的切线，设切点为，则切线方程为：，而切线过点，即有，整理得：，而，解得，因（1）（1），又存在唯一整数使得点，在直线下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点，（2）在直线下方，因此有，解得，所以的取值范围是故选：2（2022雨花区校级模拟）若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：令，则，令，得 或；，得， 在和 上单调递增，在上单调递减，（1），且如图所示，当 时， 至多有一个整数解当 时， 在区间 内的解集中有且仅有三个整数，只需
16、，即，解得故选：3（2022临沂二模）已知函数，时，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，作出的函数图象如图所示：由仅有一个整数解得只有一整数解，设，由图象可知，当时，在上恒成立，不符合题意，当时，若只有1个整数解，则此整数解必为1，即，解得故选：4（2022九江一模）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：，在上单调递增，在上单调递减，当时，或，此时不等式有无数个整数解，不符合题意；当时，此时不等式有无数个整数解，不符合题意；当时，或，要使不等式恰有两个整数解，必须满足（
17、3）（2），得，故选：5（2022秋浙江期末）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：设，所以或者时函数递增，时递减，并且（1），（2），（3），（4），图象如图，函数经过，要使存在唯一的正整数，使得，即有唯一正整数解，所以只要并且，即，解得：；故选：6（2022杏花岭区校级模拟）已知函数若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是A，B，C，D【解析】解：由题意，设，则，设，恒成立，恒成立，单调递减，（1），在上存在唯一的零点，即在上有唯一的极值点，且为极大值点，（1），（2），要使不等式有唯一的正整数解，需故选：7（2022中卫二模）已知函数，若函数的单调递
18、减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数的取值范围为A，B，C，D，【解析】解：因为函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，所以的解集中恰有两个正整数，由可得，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，作出函数与的大致图象如图所示：当恰有两个正整数解时，即为1和2，所以，解得，故实数的取值范围为，故选：8（2022秋新余期末）已知函数，若的解集中恰有一个整数，则的取值范围为ABCD【解析】解：，即，即，因为，所以，令，则，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，画出的大致图象如图所示：当直线与图象相切时，设切点为，则，解得，故，当直线过点时，故的取值范围是
19、，故选：9（2022秋庄河市校级月考）已知函数的导函数为，且对任意的实数都有是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：，解得，令，解得或，当或时，函数单调递减，当时，函数单调递减增，可得：时，函数取得极大值，时，函数取得极小值，时，的解集中恰有唯一一个整数故的取值范围是，故选：10（2022泸州模拟）已知函数，关于的不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：（1），令，解得：，令，解得：，的递增区间为，递减区间为，故的最大值是（e）时，时，（1），故在时，在时，函数的图象如下：时，由不等式得或，而的解集为无整
20、数解，的解集整数解一个，在递增，在递减，而，（2）（4）（3），这一个正整数只能为3，（2）（3），时，由不等式，得，解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式，得或，的解集为无整数解，而的解集为，整数解有无数多个，不合题意； 综上，故选：11（2022琼海模拟）已知函数，函数，直线分别与两函数交于，两点，则的最小值为AB1CD2【解析】解：由题意：两个函数的图象如图：作出的平行线，使得直线与函数相切，则直线分别与两函数交于，两点，此时取得最小值，设切点，则，切线的斜率为：，解得，切点为，即则，则的最小值为：故选：12（2022春南关区校级月考）已知直线分别与函数和函数（实常数，交于，两
21、点，则的最小值为ABCD【解析】解：设，可设，则，令，则，令，解得，函数在上单调递减，在，上单调递增，时，函数取得极小值，且为最小值2，函数在，上单调递减，故选：13（2022秋锡山区校级月考）已知函数，若方程有3个不同的实根、，则的取值范围为A，BCD【解析】解：，当或时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，当时，的大致图象如图所示，结合图象可知，则，令，则，易得在，上单调递减，在上单调递增，又，故的取值范围为，故选：14（2022广东四模）已知函数，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最小值是A2BCD【解析】解：的定义域为，且，可得为奇函数，当时，递增，可得，递增，可得，即在递增，进
22、而在上递增，作出的图象；作出的图象设，由，可得，即有，且，可得，则，由的导数为，当时，递增，时，递减，可得处取得极小值，且为最小值，则的最小值是故选：15（2022春上饶期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的的值之和是A13B15C21D26【解析】解：设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线，因为解集中有且仅有5个整数，结合二次函数的对称性可得，解得，又，所以，2，3，4，5，所以符合题意的的值之和，故选：16（2022秋湖北校级月考）已知函数，若方程有四个不同解，且，则的取值范围为A，B，C，D，【解析】解：作函数的图象如右，方程有四个不同的解，且，关于对
23、称，即，由得或，由得或，即，则，即，则即则；故，；则函数，在上为减函数，则故取得最大值，为，当时，函数取得最大值为即函数取值范围是，故选：17（2022春龙岩期末）已知函数与函数的图象相交于不同的两点，若存在唯一的整数，则实数的最小值是A0BCD1【解析】解：由得，设，求导，令，解得，时，单调递增；当时，单调递减；故当时，函数取得极大值，且，又时，；当时，故；作出函数大致图像，如图所示：又，因为存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，由图可知：（2）（1），即，所以的最小值为故选：18（2022海淀区校级三模）已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为A2B3C4D无数【解
24、析】解：作出的函数图象如图所示：表示点，与点所在直线的斜率，可得曲线上只有一个点，为整数）和点所在直线的斜率大于0，而点在到直线上运动，由，（1），（2），可得当时，只有点满足；当时，只有点满足综上可得的范围是，故满足条件的整数有：，0，1，2共四个故选：二填空题19（2022秋浙江期中）已知函数，若集合中有且只有一个元素，则实数的取值范围为，【解析】解：，即，分别令，易知过定点，分别画出函数的图象，如图所示：集合中有且只有一个元素，结合图象可得，解得故答案为：，20（2022春孝义市期末）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，实数的取值范围是，【解析】解：因为，所以在上单调递增，在上单调递
25、减，（1），时，；时，；函数的草图如下：当时，或，此时不等式有无数个整数解，不符合题意当时，此时不等式有无数个整数解，不符合题意，当时，或，要使得恰有两个整数解，必须满足（3）（2），得故答案为：，21（2022春船营区校级月考）设函数，若方程有四个不同的实数解，则的取值范围是 【解析】解：方程有四个不同的实数解，即函数的图象与直线有4个交点，且交点横坐标分别为，且，由题意可得，即，又，即，则，又在单调递减，即，故答案为：22（2022秋杨浦区校级期末）已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围为，【解析】解：作函数的图象如下，方程有四个不同的实根，结合图象，的横坐标分别为，故，故，故答案
26、为：，23（2022春淮安期末）设函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且，则的取值范围是，【解析】解：作函数草图如下，可以判断，且，根据对数的性质，且，故，且，又由函数在，递减，可知所求取值范围为，故答案为：，24（2022秋尚志市校级月考）设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的取值范围是 ，【解析】解：函数的图象如右：关于的方程有四个实数解，可得的图象与直线有四个交点，可以判断，且，可得，即，即有，故，又由函数在，上递增，可得函数在，上的值域为，可知的取值范围为，故答案为：，25（2022秋常熟市校级月考）已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数，满足，且，则的取值范围为，【解析】解
27、：存在实数，满足，且，即与函数在，上有两个交点；由图可得：；且；所以；设，则，令，得，当，时，单调递增，当，时，单调递减，所以当时，的值无限趋于；所以当时，取极大值也是最大值，即，（1）；所以最大值为；最小值为0故答案为：，26已知直线与函数和分别交于，两点，若的最小值为2，则2【解析】解：设，可设，则，令，则，由的最小值为2，可得，函数在上单调递减，在，上单调递增，时，函数取得极小值，且为最小值2，即有，解得，由，则，可得故答案为：227（2022春日照期末）已知函数，若存在实数，满足则的最小值为【解析】解：根据题意，作出函数的图象如图所示：存在实数，满足，根据函数图象可得，即，令，则，当时
28、，即在上为减函数；当，即在上为增函数（2），故答案为：三解答题28（2022春张家港市期中）已知函数（1）求函数的最大值；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（3）若不等式仅有一个整数解，求实数的取值范围【解析】解：（1）函数，则，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，也是最大值为（1）（2）函数有两个零点，相当于函数的图象与直线有两个交点当时，时，结合（1）中结论，可得（3）因为，所以不等式仅有一个整数解，即只有一个整数解，因为的极大值为（1），（2），所以当，时，只有一个整数解，即当，时，不等式仅有一个整数解所以实数的取值范围是，29（2022镜湖区校级模
29、拟）已知函数，（）记，试判断函数的极值点的情况；（）若有且仅有两个整数解，求的取值范围【解析】解：，令在上单调递增，又，（1）存在唯一，使得，即，此时函数单调递减，函数单调递增为极小值点，无极大值点（）化为：，即当时，由不等式有整数解，在时，有无穷多整数解当时，又，（1）不等式有两个整数解为0，1即，解得：当时，又，在时小于或等于1，不等式无整数解综上可得：30（2022秋双峰县校级月考）已知函数，（1）当时，函数有两个零点，求的取值范围；（2）当时，不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围【解析】解：（1）当时，由得：，即，令，则，可得在内递增，在内递减，在内递减，在内递增，则有，函数有两个零
30、点，则；（也可用过点作曲线的切线，可求得两切线的斜率分别是1和，由直线与曲线的位置可得）（2）当时，由得令，则令，则，所以在上单调递增，又，（1），所以在上有唯一零点，此时在上单调递减，在，上单调递增，易证，当时，；当时，（1）若，则，此时有无穷多个整数解，不合题意；若，即，因为在，上单调递减，在，上单调递增，所以时，（1），所以无整数解，不合题意；若，即，此时（1），故0，1是的两个整数解，又只有两个整数解，因此（1）且（2），解得所以，31已知函数，为自然对数的底数（1）当时，求函数在处的切线方程；求函数的单调区间；（2）若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围【解析】解：（1）当时，又，函数在处的切线方程为：，即：；，由于，当时，；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）由得，当时，不等式显然不成立；当时，；当时，设，函数在和，上为增函数，在和上为减函数，当时，当时，当时，由得，又在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，即，当时，由得，又在区间上单调递减，在区间，上单调递增，且，解得：，综上所述，的取值范围为，