1、第2讲 取整函数【典型例题】例1（2022广元模拟）已知函数其中表示不超过的最大整数，若直线与的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是A，BCD例2（2022秋焦作期中）设函数，其中表示不超过的最大整数，如，若直线与函数的图象恰有2个不同的交点，则的取值范围是A，B，C，D，例3（2022春平顶山期末）设，记不超过的最大整数为，例如，令，则A是等差数列但不是等比数列B既是等差数列也是等比数列C是等比数列但不是等差数列D既不是等差数列也不是等比数列例4（2022浙江模拟）设表示不超过的最大整数，例如，设集合，集合，则表示的平面区域的面积为例5（2022秋上海月考）设表示不超过的最大整数，若，给出
2、下列命题：对任意的实数，都有对任意的实数、，都有若函数，当，时，令的值域为，记集合中元素个数为，则的最小值为，其中所有真命题的序号为【同步练习】1（2022湖南一模）设函数，表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为AB，C，0，D，2（2022陕西）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有ABCD3 为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上A为奇函数B为偶函数C为增函数D值域为，4（2022陕西）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有ABCD5已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是A，B，C，D，6（2022盐湖区校级二模）设函数，其中表示不超过的最大整
3、数，如，若有三个不同的根，则实数的取值范围是ABCD7（多选题）（2022秋历城区校级月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则下列说法正确的有A是奇函数B在上是增函数C是偶函数D的值域是，8（2022漳浦县校级模拟）设，记不超过的最大整数为，令，若已知给出下列结论：（1）（2）；（3）（4）（5）其中正确的结论是9（2022开化县校级模拟）设为不超过的最大整数，如，设集合，则所表示的平面区域的面积是10（2022春宜春期末）已知表示不超过实数的最大整数，如：，定义，给出如下命题：使成立的的取
4、值范围是；函数的定义域为，值域为，；设函数，则函数，的不同零点有7个其中正确的命题的序号为11设，记不超过的最大整数为，令，则以，为前三项的数列的通项公式12（2022武侯区校级开学）设，定义表示不超过的最大整数，如，等，则称为高斯函数，又称取整函数现令，设函数的零点个数为，函数的零点个数为，则的和为13（2022秋渭滨区校级月考）设是不大于的最大整数若函数存在最大值，则正实数的取值范围是14（2022秋仙游县校级月考）（附加题）（1）设为实数，定义为不小于的最小整数，例如，关于实数的方程的全部实根之和等于（2）若表示不大于的最大整数，方程的所有解为15（2022秋白云区校级期中）函数的函数值
5、表示不超过的最大整数，如，已知（）求函数的表达式；（）记函数，在给出的坐标系中作出函数的图象；（）若方程且有且仅有一个实根，求的取值范围第2讲 取整函数【典型例题】例1（2022广元模拟）已知函数其中表示不超过的最大整数，若直线与的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是A，BCD【解析】解：作出的函数图象如下：，恒过点若与的图象有3个交点，则必须满足：，解得故选：例2（2022秋焦作期中）设函数，其中表示不超过的最大整数，如，若直线与函数的图象恰有2个不同的交点，则的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：当，此时，当，当时，函数的周期为1，作出函数的图象如图：直线过定点，由图象可知当直线经过点
6、时，两个函数的图象有2个交点，此时，解得，当直线经过点时，两个图象有3个交点，此时，解得，但此时不满足条件，故要使直线与函数的图象恰有2个不同的交点，则，故选：例3（2022春平顶山期末）设，记不超过的最大整数为，例如，令，则A是等差数列但不是等比数列B既是等差数列也是等比数列C是等比数列但不是等差数列D既不是等差数列也不是等比数列【解析】解：根据题意，则，则，即，1，分析可得：，成等比数列，不成等差数列，故选：例4（2022浙江模拟）设表示不超过的最大整数，例如，设集合，集合，则表示的平面区域的面积为【解析】解：集合表示一个以原点为圆心的单位圆（即半径为1的圆）集合可以这样考虑，当时，所以，
7、的取值范围为，或，与无交集当时，所以的取值范围为，或，在第三象限于相交，所以交所表示的平面区域为一个在第三象限的四分之一单位圆面积为故答案为：例5（2022秋上海月考）设表示不超过的最大整数，若，给出下列命题：对任意的实数，都有对任意的实数、，都有若函数，当，时，令的值域为，记集合中元素个数为，则的最小值为，其中所有真命题的序号为【解析】解：对于，由表示不超过的最大整数，则对任意的实数，都有，命题正确；对于，记，则，故正确；对于，命题错误；对于，根据题意：，在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，则，当时，最小值为，命题正确故答案为：【同步练习】1（2022湖南一模）设函数，表示不超过的最大整
8、数，如，则函数的值域为AB，C，0，D，【解析】解：当当当所以：当当不等于0 所以，的值域：，故选：2（2022陕西）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有ABCD【解析】解：对，设，则，所以选项为假对，设，所以选项为假对，设，对，所以选项为假故选项为真故选：3（2022秋潞州区校级期中）为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上A为奇函数B为偶函数C为增函数D值域为，【解析】解：根据题意，则，则在上为周期是1的函数，在区间，上，则，其值域为，正确，同时既不是奇函数又不是偶函数，正确，在上为周期是1的函数，不是增函数，错误，故选：4（2022陕西）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有ABC
9、D【解析】解：对，设，则，所以选项为假对，设，则，所以选项为假对，则，所以选项为假故选项为真故选：5已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：函数有4个零点，函数与函数的图象有4个不同的交点，作函数与函数的图象如下，结合图象可知，故实数的取值范围是，；故选：6（2022盐湖区校级二模）设函数，其中表示不超过的最大整数，如，若有三个不同的根，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：函数的图象如下图所示：，故函数图象一定过点若有三个不同的根，则与的图象有三个交点当过点是，当过点是，故有三个不同的根，则实数的取值范围是故选：7（多选题）（2
10、022秋历城区校级月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则下列说法正确的有A是奇函数B在上是增函数C是偶函数D的值域是，【解析】解：对于，为奇函数，正确；对于，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，即在上是减函数，错误；对于，（1）（1），（1），不是偶函数，错误；对于，当，时，当，时，的值域是，正确故选：8（2022漳浦县校级模拟）设，记不超过的最大整数为，令，若已知给出下列结论：（1）（2）；（3）（4）（5）其中正确的结论是（1）（3）【解析】解：因为不超过的最大整数为，令，所以，
11、对于，所以对；对于，因，所以，所以错；对于，所以对；对于，因为，所以，所以不对，对于，所以错；故答案为（1）（3）9（2022开化县校级模拟）设为不超过的最大整数，如，设集合，则所表示的平面区域的面积是【解析】解：由题意知：集合表示以原点为圆心，以1为半径的单位圆，表示坐标轴上的点，其中轴上是，的线段长，轴上也是，的线段长；表示坐标轴上的点，其中轴上是，的线段长，轴上也是，的线段长，所表示的平面区域是以1为半径的单位圆，所表示的平面区域的面积是：故答案为：10（2022春宜春期末）已知表示不超过实数的最大整数，如：，定义，给出如下命题：使成立的的取值范围是；函数的定义域为，值域为，；设函数，则
12、函数，的不同零点有7个其中正确的命题的序号为【解析】解：对于，有，解得，故正确对于，函数的值域是，故错误；对于，所以；，故正确对于当时，当，则，当，则，当，则当，则，则，当，则，则，当，则，则，令，则，在同一个坐标系中，画出函数和的图象，显然有7个交点，故正确故其中正确的命题的序号为故答案为：11设，记不超过的最大整数为，令，则以，为前三项的数列的通项公式【解析】解：，是以为首项，以为公比的等比数列，故答案为：12（2022武侯区校级开学）设，定义表示不超过的最大整数，如，等，则称为高斯函数，又称取整函数现令，设函数的零点个数为，函数的零点个数为，则的和为127【解析】解：由得则或，即或即或若
13、，当时，由，解得，即，此时有16个零点，若，当时，不成立，由，解得，此时有16个零点，综上的零点个数为个，由得，分别作出函数和的图象如图：由图象可知当和时，函数和没有交点，但时，函数和在每一个区间上只有一个交点，的零点个数为个故，故答案为：12713（2022秋渭滨区校级月考）设是不大于的最大整数若函数存在最大值，则正实数的取值范围是【解析】解：记为实数的小数部分，即当时，因此，是以1为周期的周期函数，因此当，时，当，时，在处达到最大值当时，类似可知没有最大值当时，若，若，于是当时，有最大值；当时，没有最大值综上知时，有最大值，故答案为：14（2022秋仙游县校级月考）（附加题）（1）设为实数
14、，定义为不小于的最小整数，例如，关于实数的方程的全部实根之和等于（2）若表示不大于的最大整数，方程的所有解为【解析】解：（1）设，则，于是原方程等价于，即，从而，即或相应的为于是所有实根之和为（2），；，与矛盾；，与矛盾；，与矛盾；，；，；，综上知，方程的所有解为，故答案为：（1）；（2），15（2022秋白云区校级期中）函数的函数值表示不超过的最大整数，如，已知（）求函数的表达式；（）记函数，在给出的坐标系中作出函数的图象；（）若方程且有且仅有一个实根，求的取值范围【解析】解：（）由题意，当时，；当时，；当时，；当时，；所以（），图象如图所示：（）方程仅有一根等价于与图象仅有一个交点，由图象可知时，（1），解得；时，（2）或，解得或综上，的范围是，