1、重难点25 椭圆1.用定义法求椭圆的标准方程先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程其中常用的关系有：b2a2c2；椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤3.椭圆的常用性质(1)若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则b|OP|a；ac|PF|ac.(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin.(3)与椭圆1(ab0)有共焦点的椭圆方程为1(b2)(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的PF1F2叫做焦点三角形若r1
2、|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中：当r1r2，即点P为短轴端点时，最大；S|PF1|PF2|sin c|y0|，当|y0|b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；PF1F2的周长为2(ac)(5)若M(x0，y0)是椭圆1(ab0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kABkOM.椭圆仍然是2023年的必考点。椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中题型主要以选择题、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.（建议用时：40分钟）一、单选题1已知，是椭圆的两
3、个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为ABCD2已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若，则C的方程为（）ABCD3已知椭圆（ab0）的离心率为，则Aa2=2b2B3a2=4b2Ca=2bD3a=4b4设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为ABCD5已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为ABCD6椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线的斜率之积为，则C的离心率为（）ABCD7已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为ABCD8设是椭圆的上顶点，若上的任意一点
4、都满足，则的离心率的取值范围是（）ABCD9已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为ABCD10已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）A13B12C9D611已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为ABCD12已知椭圆1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为 A1B1C1D1二、填空题13在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，
5、焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为_14已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于_15设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_.16已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，离心率为过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则的周长是_三、解答题17已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，求的面积18已知椭圆C：的离心率为，且过点（1）求的方程：（2）点，在上，且，为垂足证明：存在定点，使得为定值重难点25 椭圆1.用定义法求椭圆的标准方程先根据椭圆的定义
6、确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程其中常用的关系有：b2a2c2；椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤3.椭圆的常用性质(1)若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则b|OP|a；ac|PF|ac.(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin.(3)与椭圆1(ab0)有共焦点的椭圆方程为1(b2)(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的PF1F2叫做焦点三角形若r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S
7、，则在椭圆1(ab0)中：当r1r2，即点P为短轴端点时，最大；S|PF1|PF2|sin c|y0|，当|y0|b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；PF1F2的周长为2(ac)(5)若M(x0，y0)是椭圆1(ab0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kABkOM.椭圆仍然是2023年的必考点。椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中题型主要以选择题、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.（建议用时：40分钟）一、单选题1已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为ABCD【答案】D【
8、解析】在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.2已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若，则C的方程为（）ABCD【答案】B【解析】因为离心率，解得，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.3已知椭圆（ab0）的离心率为，则Aa2=2b2B3a2=4b2Ca=2bD3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率,化简得,故选B.4设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为ABCD【答案】C【解析】如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有所以，所以又因为，所以，所以所以答案选C.5已知椭圆
9、C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为ABCD【答案】A【解析】若AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,，所以方程为，故选A.6椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线的斜率之积为，则C的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】方法一：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.方法二：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.7已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为ABCD【答案】C【解析】根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆的离心
10、率为，故选C.8设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】设，由，因为 ，所以，因为，当，即 时，即 ，符合题意，由可得，即 ；当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立故选：C9已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为ABCD【答案】D【解析】因为为等腰三角形，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，由正弦定理得,所以，故选D.10已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）A13B12C9D6【答案】C【解析】由题，则，所以（当且仅当时，等号成立）故选：C11已知O为坐标原点，F是
11、椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为ABCD【答案】A【解析】试题分析：如图取与重合，则由直线同理由,故选A.12已知椭圆1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为 A1B1C1D1【答案】D【解析】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.二、填空题13在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么
12、的方程为_【答案】【解析】试题分析：依题意：4a16，即a4，又e，c，b28.椭圆C的方程为14已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于_【答案】【解析】由于是圆，即：圆其中圆心为，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即，那么短轴长为故答案为：15设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_.【答案】【解析】由已知可得，又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，设点的坐标为，则，又，解得，解得（舍去），的坐标为16已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，离心率为过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则的周长是_【答案】13【解析】椭圆的离
13、心率为，椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，为正三角形，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式， ， 得， 为线段的垂直平分线，根据对称性，的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13. 三、解答题17已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】（1），根据离心率，解得或(舍)，的方程为：，即（2）方法一：通性通法不妨设,在x轴上方，过点作轴垂线，垂足为，设直线与轴交点为根据题意画出图形，如
14、图， ，又， ，根据三角形全等条件“”，可得：，设点为，可得点纵坐标为，将其代入，可得：，解得：或，点为或，当点为时，故，可得：点为，画出图象，如图, ，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为，根据两点间距离公式可得：，面积为：；当点为时，故，可得：点为，画出图象，如图, ，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为，根据两点间距离公式可得：，面积为： ，综上所述，面积为：.方法二【最优解】：由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作轴，垂足为E设，由题知，故，因为，如图，所以，因为，如图，所以 综上有方法三：由已知可得，直线的斜率一定存在，设直线
15、的方程为，由对称性可设，联立方程消去y得，由韦达定理得，所以，将其代入直线的方程得，所以，则因为，则直线的方程为，则因为，所，即，故或，即或当时，点P，Q的坐标分别为，直线的方程为，点A到直线的距离为，故的面积为当时，点P，Q的坐标分别为，直线的方程为，点到直线的距离为，故的面积为综上所述，的面积为方法四：由（1）知椭圆的方程为，不妨设在x轴上方，如图设直线因为，所以由点P在椭圆上得，所以由点P在直线上得，所以所以，化简得所以，即所以，点Q到直线的距离又故即的面积为方法五：由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作轴，垂足为C，设，由题知，所以（1）则（其中）（2）同理，（其中）综上，的面积为1
16、8已知椭圆C：的离心率为，且过点（1）求的方程：（2）点，在上，且，为垂足证明：存在定点，使得为定值【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.(2)方法一：通性通法设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得，因为，所以，即，根据,代入整理可得：，所以，整理化简得，因为不在直线上，所以，故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：， 解得：或（舍）.此时直线过点.令为的中点，即，若与不重合，则由题设知是的斜边，故，若与重合，则，故存在点，使得为定值.方法二【最优解】：平移坐
17、标系将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即设，因为则，即代入直线方程中得则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点又，D在以为直径的圆上的中点即为圆心Q经检验，直线垂直于x轴时也成立故存在，使得方法三：建立曲线系A点处的切线方程为，即设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为由题意得则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）即对比项、x项及y项系数得将代入，消去并化简得，即故直线的方程为，直线过定点又，D在以为直径的圆上中点即为圆心Q经检验，直线垂直于x轴时也成立故存在，使得方法四：设若直线的斜率不存在，则因为，则，即由，解得或（舍）所以直线的方程为若直线的斜率存在，设直线的方程为，则令，则又，令，则因为，所以，即或当时，直线的方程为所以直线恒过，不合题意；当时，直线的方程为，所以直线恒过综上，直线恒过，所以又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动取线段的中点为，则所以存在定点Q，使得为定值