1、重难点20 简单线性规划问题1、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况： 竖直线或水平线：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断 一般直线：可代入点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式，代
2、入符合不等式，则所表示区域为直线的右下方 过原点的直线：无法代入，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。例如：直线穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。考虑第四象限的点，所以必有，所以第四象限所在区域含在表示的区域之中。（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件（或）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件（或）边界能取值时，在图像中边界用实线表示2、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设为常数） 线性表达式与纵截距相关：例如，则有，从而的
3、取值与动直线的纵截距相关，要注意的符号，若，则的最大值与纵截距最大值相关；若，则的最大值与纵截距最小值相关。 分式与斜率相关（分式）：例如：可理解为是可行域中的点与定点连线的斜率。 含平方和与距离相关：例如：可理解为是可行域中的点与定点距离的平方。（3）根据的意义寻找最优解，以及的范围（或最值）随着新课改深入开展，新课标中去掉了线性规划内容，近几年的高考线性规划内容逐步在弱化，但每年也都考有，故2023年线性规划问题考查的可能性依然很大，其侧重于目标函数为线性的规划问题考查，难度为基础题，题型为选择或填空题.（建议用时：40分钟）一、单选题1设集合则A对任意实数a，B对任意实数a，（2,1）C
4、当且仅当a0时,（2,1）D当且仅当 时,（2,1）2设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A2B3C5D63若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）ABCD4若x，y满足约束条件则的最大值是（）AB4C8D125设x，y满足约束条件，则z=x-y的取值范围是A3,0B3,2C0,2D0,36若实数满足约束条件，则的最大值是AB1C10D127若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）ABCD8若满足约束条件则的最小值为（）A18B10C6D49设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为A6B19C21D4510设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A0B1C2D
5、311记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：；，这四个命题中，所有真命题的编号是ABCD12已知a0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=ABC1D2二、填空题13若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为_.14若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_15若,满足约束条件则的最大值 16某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企
6、业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元.三、解答题17电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用， 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相
7、应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？18某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z(单位：元)是一个随机变量.(I)求Z的分布列和均值；(II)若每天
8、可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.重难点20 简单线性规划问题1、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况： 竖直线或水平线：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断 一般直线：可代入点进行判断，若
9、符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式，代入符合不等式，则所表示区域为直线的右下方 过原点的直线：无法代入，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。例如：直线穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。考虑第四象限的点，所以必有，所以第四象限所在区域含在表示的区域之中。（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件（或）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件（或）边界能取值时，在图像中边界用实线表示2、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数在式子中的几
10、何意义，常见的几何意义有：（设为常数） 线性表达式与纵截距相关：例如，则有，从而的取值与动直线的纵截距相关，要注意的符号，若，则的最大值与纵截距最大值相关；若，则的最大值与纵截距最小值相关。 分式与斜率相关（分式）：例如：可理解为是可行域中的点与定点连线的斜率。 含平方和与距离相关：例如：可理解为是可行域中的点与定点距离的平方。（3）根据的意义寻找最优解，以及的范围（或最值）随着新课改深入开展，新课标中去掉了线性规划内容，近几年的高考线性规划内容逐步在弱化，但每年也都考有，故2023年线性规划问题考查的可能性依然很大，其侧重于目标函数为线性的规划问题考查，难度为基础题，题型为选择或填空题.（建
11、议用时：40分钟）一、单选题1设集合则A对任意实数a，B对任意实数a，（2,1）C当且仅当a0时,（2,1）D当且仅当 时,（2,1）【答案】D【解析】若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.2设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A2B3C5D6【答案】C【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值由，得，所以故选C3若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）ABCD【答案】B【解析】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B.4若x，y满足约
12、束条件则的最大值是（）AB4C8D12【答案】C【解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数为，上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，所以.故选：C.5设x，y满足约束条件，则z=x-y的取值范围是A3,0B3,2C0,2D0,3【答案】B【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值；在轴上的截距最小时，目标函数取得最大值，即在点处取得最小值，为；在点处取得最大值，为.故的取值范围是3,2.所以选B.6若实数满足约束条件，则的最大值是AB1C10D12【答案】C【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不
13、等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.7若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是.故选：B.8若满足约束条件则的最小值为（）A18B10C6D4【答案】C【解析
14、】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选：C.9【2018年天津卷文】设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为A6B19C21D45【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.10设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A0B1C2D3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D11记不等式组表示的平面区域为
15、，命题；命题.给出了四个命题：；，这四个命题中，所有真命题的编号是ABCD【答案】A【解析】如图，平面区域D为阴影部分，由得即A（2，4），直线与直线均过区域D，则p真q假，有假真，所以真假故选A12已知a0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=ABC1D2【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示：当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时，取得最小值，而点A的坐标为（1，），所以，解得，故选B.二、填空题13若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为_.【答案】1【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系
16、在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故答案为：114若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_【答案】7【解析】不等式组所表示的可行域如图因为，所以，易知截距越大，则越大，平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，由，得，所以.故答案为：7.15若,满足约束条件则的最大值 【答案】【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.16某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新
17、型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元.【答案】【解析】试题分析：设生产产品和产品的件数分别为件，利润之和为元，则根据题意可得，整理得，如图所示，阴影部分为可行域，目标函数为，目标函数表示直线的纵轴截距的倍，由图可知，当直线经过点时，取得最大值联立方程，解得，所以当时，目标函数取得最大值，.故本题正确答案
18、为.三、解答题17电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用， 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【答案】（），画图见解析；（）电
19、视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多【解析】试题分析：根据已知条件列出应满足的条件，注意，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，根据已知条件列出应满足的条件，画出可行域，设总收视人次为万，则目标函数为，利用线性规划找出最优解，并求出的最值.试题解析：（）解：由已知，满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分的整点坐标：（）解：设总收视人次为万，则目标函数为.考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一组平行直线.为直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即最大.解
20、方程组得点M的坐标为.所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.18某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z(单位：元)是一个随机变量.(I)求Z的分布列和均值；(II
21、)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.【答案】（）的分布列见解析，；（）0973【解析】（）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有（1）目标函数为当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利当时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利故最大获利的分布列为81601020010800030502因此，（）由（）知，一天最大获利超过10000元的概率，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为