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2023年浙江省中考数学一轮复习专题训练7:一元二次方程(含答案解析)

1、专题7 一元二次方程一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1将方程x26x+10配方后,原方程可变形为()A(x3)28B(x3)210C(x+3)210D(x+3)282(2022春南浔区期末)关于x的一元二次方程2x23x10,该方程的常数项是()A2B3C1D13(2022春越城区期末)已知x1是方程x2+ax+20的一个根,则a的值为()A1B1C3D34(2022鹿城区校级模拟)下面是某同学在一次测验中解答的填空题:(1)若x2a2,则xa(2)方程2x(x1)x1的解为x0(3)若直角三角形有两边长分别为3和4,则第三边的长为5其中答案错误的题目个数为()A0个B1

2、个C2个D3个5(2022衢州二模)为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为64元,设平均每次降价的百分率为x,根据题意,则下列方程正确的是()A100(1+x)264B100(1x)264C100(1+2x)64D100(12x)646(2022金东区二模)已知方程x24x+20,在中添加一个合适的数字使该方程有两个不相等的实数根,则添加的数字可以是()A0B1C2D37(2022镇海区校级二模)已知(a2+b2)28(a2+b2)480,则a2+b2的值为()A12B4C4D12或48(2022鹿城区校级模拟)满足(x3)2+(y3)26的所

3、有实数对(x,y),使yx取最小值,此最小值为()A3-22B4-2C5+33D5-39(2022衢江区二模)某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时,每月可售出500件经试销发现,该商品售价每上涨1元,其月销量就减少10件超市为了每月获利8000元,则每件应涨价多少元?若设每件应涨价x元,则依据题意可列方程为()A(5040+x)(500x)8000B(40+x)(50010x)8000C(5040+x)(50010x)8000D(50x)(50010x)800010(2022春上城区校级期中)对于一元二次方程ax2+bx+c0(a0),下列说法:若a+b+c0,则b24ac0;若方程

4、ax2+c0有两个不相等的实根,则方程ax2+bx+c0必有两个不相等的实根;若c是方程ax2+bx+c0的一个根,则一定有ac+b+10成立;若x0是一元二次方程ax2+bx+c0的根,则b24ac(2ax0+b)2其中正确的()ABCD二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)请把答案直接填写在横线上11(2022宁波模拟)已知方程x23x+10的根是x1和x2,则x1+x2x1x2 12(2022杭州模拟)已知a是方程x2+3x40的根,则代数式2a2+6a+4的值是 13(2022泗阳县一模)若关于x的一元二次方程x24x+m10有两个相等的实数根,则m的值为 14(2022北

5、仑区二模)由于许多国外国家直接放开防空政策,导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解,疫情难以消停新冠肺炎具有人传人的特性,若一人携带病毒,未尽进行有效隔离,经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎(假设每轮传染的人数相同),则每轮传染中平均每个人传染了 人15(2022仙居县二模)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c0(a,b,c为常数,且a0),此方程的解为x12,x23则关于x的一元二次方程9ax23bx+c0的解为 16(2021临海市模拟)小丽在解一个三次方程x32x+10时,发现有如下提示:观察方程可以发现有一个根为1,所以原方程可以转化为(x1)(x2+bx+c)0根据这个提示,请你写出

6、这个方程的所有的解 三、解答题(本大题共7小题,共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(2021东阳市模拟)解方程:(x3)2(2x1)(x3)18(2022滨江区一模)以下是小滨在解方程(x+2)(x3)3x时的解答过程解原方程可化为(x+2)(x3)(x3),解得原方程的解是x3小滨的解答是否有错误?如果有错误,请写出正确的解答过程19(2021长兴县模拟)关于x的一元二次方程x2+mx+m30(1)若方程的一个根为1,求m的值;(2)求证:方程总有两个不相等的实数根20(2022春鄞州区校级期末)已知关于x的一元二次方程x22tx+t22t+40,有两个不相等的实数根m,

7、n(1)求t的取值范围;(2)当t3时,解这个方程;(3)若m,n是方程的两个实数根,设Q(m2)(n2),试求Q的最小值21(2022秋温州月考)据统计,2008年底该市汽车拥有量为75万辆,而截止到2010年底,该市的汽车拥有量已达108万辆为了保护环境,缓解汽车拥堵,该市拟控制汽车总量,要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆;且从2011年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同,请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆,并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率22(2022鹿城区校级开

8、学)某毕业班将举办同学会,特为参会同学购买文化衫,据文化衫销售商家介绍,购买不超过10件,每件价格为140元;若超出10件,每超出1件,文化衫单价就降低1元;若购买数量不少于60件时,一律每件80元(1)若购买x件(10x60)文化衫,总费用为 元(用x的代数式表示);(2)由于同学会筹备组没有统一协调好,导致分两次一共购买了100件文化衫已知第一次购买的数量超过30件,但不超过40件,且两次购买文化衫一共支付了9200元,求第一次购买的文化衫数量23(2021永嘉县校级模拟)某农场要建一个饲养场(长方形ABCD),饲养场的一面靠墙(墙最大可用长度为27米),另三边用木栏围成,中间也用木栏隔开

9、,分成两个场地,并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏),建成后木栏总长57米,设饲养场(长方形ABCD)的宽为a米(1)饲养场的长为 米(用含a的代数式表示)(2)若饲养场的面积为288m2,求a的值专题7 一元二次方程一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1将方程x26x+10配方后,原方程可变形为()A(x3)28B(x3)210C(x+3)210D(x+3)28【分析】将常数项移到方程的右边,两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【解答】解:x26x+10,x26x1,则x26x+91+9,即(x3)28,故选:A2(2022春南浔区期末)关于x

10、的一元二次方程2x23x10,该方程的常数项是()A2B3C1D1【分析】根据一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c0(a,b,c为常数且a0),即可解答【解答】解:关于x的一元二次方程2x23x10,该方程的常数项是1,故选:D3(2022春越城区期末)已知x1是方程x2+ax+20的一个根,则a的值为()A1B1C3D3【分析】把x1代入方程得到关于a的方程,解方程即可【解答】解:x1是方程x2+ax+20的一个根,1a+20,a3故选:D4(2022鹿城区校级模拟)下面是某同学在一次测验中解答的填空题:(1)若x2a2,则xa(2)方程2x(x1)x1的解为x0(3)若直角三角形有两边

11、长分别为3和4,则第三边的长为5其中答案错误的题目个数为()A0个B1个C2个D3个【分析】根据一元二次方程的解法、勾股定理计算,判断即可【解答】解:(1)若x2a2,则xa,故本小题计算错误;(2)方程2x(x1)x1的解为x10,x21,故本小题计算错误;(3)若直角三角形有两边长分别为3和4,则第三边的长为5或7,故本小题说法错误;故选:D5(2022衢州二模)为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为64元,设平均每次降价的百分率为x,根据题意,则下列方程正确的是()A100(1+x)264B100(1x)264C100(1+2x)64D1

12、00(12x)64【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x,根据降价后的价格降价前的价格(1降价的百分率),则第一次降价后的价格是100(1x),第二次后的价格是100(1x)2,据此即可列方程求解【解答】解:根据题意得:100(1x)264,故选:B6(2022金东区二模)已知方程x24x+20,在中添加一个合适的数字使该方程有两个不相等的实数根,则添加的数字可以是()A0B1C2D3【分析】由方程有两个不等实数根可得b24ac0,代入数据即可得出关于的一元一次不等式,解不等式即可得出的取值,根据的值即可得出结论【解答】解:方程x24x+20有两个不相等的实数根,b24ac(4)280,且0

13、,解得:2故选:B7(2022镇海区校级二模)已知(a2+b2)28(a2+b2)480,则a2+b2的值为()A12B4C4D12或4【分析】设a2+b2m,则原方程化为:m28m480,解出m的值即可确定a2+b2的值【解答】解:设a2+b2m,则原方程化为:m28m480,解得m4(不符合题意,舍去)或m12,a2+b212,故选:A8(2022鹿城区校级模拟)满足(x3)2+(y3)26的所有实数对(x,y),使yx取最小值,此最小值为()A3-22B4-2C5+33D5-3【分析】先令yx=t,把(x3)2+(y3)26进行变形整理得到(t2+1)26(t+1)+120,再求出36(

14、t+1)248(t2+1)0,得出t26t+10,求出t的解集,即可得出答案【解答】解:令yx=t,则(x3)2+(y3)26可变形为:(x3)2+(tx3)26,整理得:(t2+1)x26(t+1)x+120,则6(t+1)24(t2+1)1236(t+1)248(t2+1)0,t26t+10,由t26t+1t(322)t(3+22)知t26t+10的解集为322t3+22,故yx取最小值,此最小值为322;故选:A9(2022衢江区二模)某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时,每月可售出500件经试销发现,该商品售价每上涨1元,其月销量就减少10件超市为了每月获利8000元,则每件

15、应涨价多少元?若设每件应涨价x元,则依据题意可列方程为()A(5040+x)(500x)8000B(40+x)(50010x)8000C(5040+x)(50010x)8000D(50x)(50010x)8000【分析】设这种商品每件涨价x元,则销售量为(50010x)件,根据“总利润每件商品的利润销售量”列出一元二次方程【解答】解:设这种商品每件涨价x元,则销售量为(50010x)件,根据题意,得:(10+x)(50010x)8000,故选:C10(2022春上城区校级期中)对于一元二次方程ax2+bx+c0(a0),下列说法:若a+b+c0,则b24ac0;若方程ax2+c0有两个不相等的

16、实根,则方程ax2+bx+c0必有两个不相等的实根;若c是方程ax2+bx+c0的一个根,则一定有ac+b+10成立;若x0是一元二次方程ax2+bx+c0的根,则b24ac(2ax0+b)2其中正确的()ABCD【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除【解答】解:若a+b+c0,则x1是方程ax2+bx+c0的解,由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知:b24ac0,故正确;方程ax2+c0有两个不相等的实根,04ac0,4ac0则方程ax2+bx+c0的判别式b24ac0,方程ax2+bx+c0必有两个不相等的实根,故正确;c是方程ax2+bx+c0的一个根,则ac2+b

17、c+c0,c(ac+b+1)0,若c0,等式仍然成立,但ac+b+10不一定成立,故不正确;若x0是一元二次方程ax2+bx+c0的根,则由求根公式可得:x0=-bb2-4ac2a,2ax0+bb2-4ac,b24ac(2ax0+b)2,故正确故正确的有,故选:B二填空题(共6小题)11(2022宁波模拟)已知方程x23x+10的根是x1和x2,则x1+x2x1x22【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x23、x1x21,将其代入x1+x2x1x2中即可求出结论【解答】解:方程x23x+10的两个实数根为x1、x2,x1+x23、x1x21,x1+x2x1x2312故答案为212(2022杭

18、州模拟)已知a是方程x2+3x40的根,则代数式2a2+6a+4的值是12【分析】把xa代入已知方程,得到a2+3a4,然后代入所求的代数式进行求值即可【解答】解:a是方程x2+3x40的根,a2+3a40,a2+3a4,2a2+6a+42(a2+3a)+424+412故答案为:1213(2022泗阳县一模)若关于x的一元二次方程x24x+m10有两个相等的实数根,则m的值为5【分析】利用判别式的意义得到(4)24(m1)0,然后解关于m的方程即可【解答】解:根据题意得(4)24(m1)0,解得m5故答案为514(2022北仑区二模)由于许多国外国家直接放开防空政策,导致新冠肺炎疫情至今没能得

19、到缓解,疫情难以消停新冠肺炎具有人传人的特性,若一人携带病毒,未尽进行有效隔离,经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎(假设每轮传染的人数相同),则每轮传染中平均每个人传染了 10人【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人,则第一轮传染中有x人被感染,第二轮传染中有x(1+x)人被感染,根据经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论【解答】解:设每轮传染中平均每个人传染了x人,则第一轮传染中有x人被感染,第二轮传染中有x(1+x)人被感染,依题意得:1+x+x(1+x)121,即(1+x)2121,解得:x110,x212(不合题意,舍去),每轮

20、传染中平均每个人传染了10人故答案为:1015(2022仙居县二模)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c0(a,b,c为常数,且a0),此方程的解为x12,x23则关于x的一元二次方程9ax23bx+c0的解为 x1=-23,x21【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c0(a、b、c为常数,且a0)的解是x12,x23,从而求得3x,然后求得x的值即可【解答】解:关于x的一元二次方程ax2+bx+c0(a、b、c为常数,且a0)的解是x12,x23,方程9ax23bx+c0中3x2或3x3,解得:x1=-23,x21故答案为:x1=-23,x2116(2021临海市模拟)小丽在解

21、一个三次方程x32x+10时,发现有如下提示:观察方程可以发现有一个根为1,所以原方程可以转化为(x1)(x2+bx+c)0根据这个提示,请你写出这个方程的所有的解 1,-152【分析】先求b,c的值,再解方程【解答】解:有题意得:x32x+1(x1)(x2+bx+c)x32x+1x3+(b1)x2+(cb)xcb10,cb2,c1b1,c1x32x+1(x1)(x2+bx+c)0x10或x2+x10x1或x=-152故答案为:1,-152三解答题(共7小题)17(2021东阳市模拟)解方程:(x3)2(2x1)(x3)【分析】先移项得到(x3)2(2x1)(x3)0,然后利用因式分解法解方程

22、【解答】解:(x3)2(2x1)(x3)0,(x3)(x32x+1)0,x30或x32x+10,所以x13,x2218(2022滨江区一模)以下是小滨在解方程(x+2)(x3)3x时的解答过程解原方程可化为(x+2)(x3)(x3),解得原方程的解是x3小滨的解答是否有错误?如果有错误,请写出正确的解答过程【分析】有错误,忽略了x30的情况,写出正确的解答过程即可【解答】解:小滨的解答有错误,忽略了x30的情况,正确的解答为:方程可化为:(x+2)(x3)(x3),移项得:(x+2)(x3)+(x3)0,分解因式得:(x3)(x+3)0,所以x30或x+30,解得:x13,x2319(2021

23、长兴县模拟)关于x的一元二次方程x2+mx+m30(1)若方程的一个根为1,求m的值;(2)求证:方程总有两个不相等的实数根【分析】(1)将x1代入已知方程,列出关于m的新方程,通过解方程求得m的值;(2)由根的判别式符号进行证明【解答】(1)解:方程的一个根为1,1+m+m30,m1;(2)证明:a1,bm,cm3,b24acm24(m3)m24m+12(m2)2+80,方程总有两个不相等的实数根20(2022春鄞州区校级期末)已知关于x的一元二次方程x22tx+t22t+40,有两个不相等的实数根m,n(1)求t的取值范围;(2)当t3时,解这个方程;(3)若m,n是方程的两个实数根,设Q

24、(m2)(n2),试求Q的最小值【分析】(1)利用根的判别式的意义得到(2t)24(t22t+4)0,然后解不等式即可;(2)当t3时,方程化为x26x+70,然后利用配方法解方程即可;(3)根据根与系数的关系得m+n2t,mnt22t+4,则Qt26t+8,配方得到Q(t3)21,利用非负数的性质得到当t3时,Q有最小值,最小值为1【解答】解:(1)根据题意得(2t)24(t22t+4)0,解得t2,即t的取值范围为t2;(2)当t3时,方程化为x26x+70,x26x+92,(x3)22,x32,所以x13+2,x23-2;(3)根据根与系数的关系得m+n2t,mnt22t+4,Qmn2(

25、m+n)+4t22t+44t+4t26t+8(t3)21,t2,当t3时,Q有最小值,最小值为121(2022秋温州月考)据统计,2008年底该市汽车拥有量为75万辆,而截止到2010年底,该市的汽车拥有量已达108万辆为了保护环境,缓解汽车拥堵,该市拟控制汽车总量,要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆;且从2011年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同,请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆,并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率【分析】设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的

26、年平均增长率是x,根据2008年底该市汽车拥有量为75万辆,而截止到2010年底,该市的汽车拥有量已达108万辆可列方程求解设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆,根据要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆;另据统计,从2011年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%,假设每年新增汽车数量相同,可列出不等式求解【解答】解:设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x,根据题意,得75(1+x)2108,解得x10.220%,x22.2(不合题意,舍去),设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆,由题意得:(1080.9+y)0.9+y1

27、25.48,解得y20,答:从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆;2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%22(2022鹿城区校级开学)某毕业班将举办同学会,特为参会同学购买文化衫,据文化衫销售商家介绍,购买不超过10件,每件价格为140元;若超出10件,每超出1件,文化衫单价就降低1元;若购买数量不少于60件时,一律每件80元(1)若购买x件(10x60)文化衫,总费用为 (x2+150x)元(用x的代数式表示);(2)由于同学会筹备组没有统一协调好,导致分两次一共购买了100件文化衫已知第一次购买的数量超过30件,但不超过40件,且两次购买文化衫一共支付

28、了9200元,求第一次购买的文化衫数量【分析】(1)由题意得单价为(150x)元,利用单价乘以数量即可表示出总费用;(2)设第一次购买了x(30x40)件,则第二次购买(100x)件,由题意列出一元二次方程,解方程即可得出答案【解答】解:(1)由题意得:x140(x10)x(150x)x2+150x,故答案为:(x2+150x);(2)设第一次购买了x(30x40)件,则第二次购买(100x)件,由题意得:x(150x)+80(100x)9200,解得:x130(不符合题意,舍去),x240,答:第一次购买了40件文化衫23(2021永嘉县校级模拟)某农场要建一个饲养场(长方形ABCD),饲养

29、场的一面靠墙(墙最大可用长度为27米),另三边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地,并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏),建成后木栏总长57米,设饲养场(长方形ABCD)的宽为a米(1)饲养场的长为(603a)米(用含a的代数式表示)(2)若饲养场的面积为288m2,求a的值【分析】(1)用总长减去3a后加上三个1米宽的门即为所求;(2)由(1)表示饲养场面积计算即可,注意a的范围讨论【解答】解:(1)由已知饲养场的长为572a(a1)+2603a;故答案为:(603a);(2)由(1)饲养场面积为a(603a)288,解得a12或a8;当a8时,603a60243627,故a8舍去,则a12