1、专题7 一元二次方程一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1将方程x26x+10配方后，原方程可变形为（）A（x3）28B（x3）210C（x+3）210D（x+3）282（2022春南浔区期末）关于x的一元二次方程2x23x10，该方程的常数项是（）A2B3C1D13（2022春越城区期末）已知x1是方程x2+ax+20的一个根，则a的值为（）A1B1C3D34（2022鹿城区校级模拟）下面是某同学在一次测验中解答的填空题：（1）若x2a2，则xa（2）方程2x（x1）x1的解为x0（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5其中答案错误的题目个数为（）A0个B1
2、个C2个D3个5（2022衢州二模）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，则下列方程正确的是（）A100（1+x）264B100（1x）264C100（1+2x）64D100（12x）646（2022金东区二模）已知方程x24x+20，在中添加一个合适的数字使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是（）A0B1C2D37（2022镇海区校级二模）已知（a2+b2）28（a2+b2）480，则a2+b2的值为（）A12B4C4D12或48（2022鹿城区校级模拟）满足（x3）2+（y3）26的所
3、有实数对（x，y），使yx取最小值，此最小值为（）A3-22B4-2C5+33D5-39（2022衢江区二模）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（）A（5040+x）（500x）8000B（40+x）（50010x）8000C（5040+x）（50010x）8000D（50x）（50010x）800010（2022春上城区校级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c0（a0），下列说法：若a+b+c0，则b24ac0；若方程
4、ax2+c0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c0必有两个不相等的实根；若c是方程ax2+bx+c0的一个根，则一定有ac+b+10成立；若x0是一元二次方程ax2+bx+c0的根，则b24ac（2ax0+b）2其中正确的（）ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2022宁波模拟）已知方程x23x+10的根是x1和x2，则x1+x2x1x2 12（2022杭州模拟）已知a是方程x2+3x40的根，则代数式2a2+6a+4的值是 13（2022泗阳县一模）若关于x的一元二次方程x24x+m10有两个相等的实数根，则m的值为 14（2022北
5、仑区二模）由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解，疫情难以消停新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未尽进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了 人15（2022仙居县二模）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a，b，c为常数，且a0），此方程的解为x12，x23则关于x的一元二次方程9ax23bx+c0的解为 16（2021临海市模拟）小丽在解一个三次方程x32x+10时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为（x1）（x2+bx+c）0根据这个提示，请你写出
6、这个方程的所有的解 三、解答题（本大题共7小题，共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2021东阳市模拟）解方程：（x3）2（2x1）（x3）18（2022滨江区一模）以下是小滨在解方程（x+2）（x3）3x时的解答过程解原方程可化为（x+2）（x3）（x3），解得原方程的解是x3小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程19（2021长兴县模拟）关于x的一元二次方程x2+mx+m30（1）若方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：方程总有两个不相等的实数根20（2022春鄞州区校级期末）已知关于x的一元二次方程x22tx+t22t+40，有两个不相等的实数根m，
7、n（1）求t的取值范围；（2）当t3时，解这个方程；（3）若m，n是方程的两个实数根，设Q（m2）（n2），试求Q的最小值21（2022秋温州月考）据统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率22（2022鹿城区校级开
8、学）某毕业班将举办同学会，特为参会同学购买文化衫，据文化衫销售商家介绍，购买不超过10件，每件价格为140元；若超出10件，每超出1件，文化衫单价就降低1元；若购买数量不少于60件时，一律每件80元（1）若购买x件（10x60）文化衫，总费用为 元（用x的代数式表示）；（2）由于同学会筹备组没有统一协调好，导致分两次一共购买了100件文化衫已知第一次购买的数量超过30件，但不超过40件，且两次购买文化衫一共支付了9200元，求第一次购买的文化衫数量23（2021永嘉县校级模拟）某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开
9、，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米（1）饲养场的长为 米（用含a的代数式表示）（2）若饲养场的面积为288m2，求a的值专题7 一元二次方程一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1将方程x26x+10配方后，原方程可变形为（）A（x3）28B（x3）210C（x+3）210D（x+3）28【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【解答】解：x26x+10，x26x1，则x26x+91+9，即（x3）28，故选：A2（2022春南浔区期末）关于x
10、的一元二次方程2x23x10，该方程的常数项是（）A2B3C1D1【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c0（a，b，c为常数且a0），即可解答【解答】解：关于x的一元二次方程2x23x10，该方程的常数项是1，故选：D3（2022春越城区期末）已知x1是方程x2+ax+20的一个根，则a的值为（）A1B1C3D3【分析】把x1代入方程得到关于a的方程，解方程即可【解答】解：x1是方程x2+ax+20的一个根，1a+20，a3故选：D4（2022鹿城区校级模拟）下面是某同学在一次测验中解答的填空题：（1）若x2a2，则xa（2）方程2x（x1）x1的解为x0（3）若直角三角形有两边
11、长分别为3和4，则第三边的长为5其中答案错误的题目个数为（）A0个B1个C2个D3个【分析】根据一元二次方程的解法、勾股定理计算，判断即可【解答】解：（1）若x2a2，则xa，故本小题计算错误；（2）方程2x（x1）x1的解为x10，x21，故本小题计算错误；（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5或7，故本小题说法错误；故选：D5（2022衢州二模）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，则下列方程正确的是（）A100（1+x）264B100（1x）264C100（1+2x）64D1
12、00（12x）64【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格降价前的价格（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1x），第二次后的价格是100（1x）2，据此即可列方程求解【解答】解：根据题意得：100（1x）264，故选：B6（2022金东区二模）已知方程x24x+20，在中添加一个合适的数字使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是（）A0B1C2D3【分析】由方程有两个不等实数根可得b24ac0，代入数据即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出的取值，根据的值即可得出结论【解答】解：方程x24x+20有两个不相等的实数根，b24ac（4）280，且0
13、，解得：2故选：B7（2022镇海区校级二模）已知（a2+b2）28（a2+b2）480，则a2+b2的值为（）A12B4C4D12或4【分析】设a2+b2m，则原方程化为：m28m480，解出m的值即可确定a2+b2的值【解答】解：设a2+b2m，则原方程化为：m28m480，解得m4（不符合题意，舍去）或m12，a2+b212，故选：A8（2022鹿城区校级模拟）满足（x3）2+（y3）26的所有实数对（x，y），使yx取最小值，此最小值为（）A3-22B4-2C5+33D5-3【分析】先令yx=t，把（x3）2+（y3）26进行变形整理得到（t2+1）26（t+1）+120，再求出36（
14、t+1）248（t2+1）0，得出t26t+10，求出t的解集，即可得出答案【解答】解：令yx=t，则（x3）2+（y3）26可变形为：（x3）2+（tx3）26，整理得：（t2+1）x26（t+1）x+120，则6（t+1）24（t2+1）1236（t+1）248（t2+1）0，t26t+10，由t26t+1t（322）t（3+22）知t26t+10的解集为322t3+22，故yx取最小值，此最小值为322；故选：A9（2022衢江区二模）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件超市为了每月获利8000元，则每件
15、应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（）A（5040+x）（500x）8000B（40+x）（50010x）8000C（5040+x）（50010x）8000D（50x）（50010x）8000【分析】设这种商品每件涨价x元，则销售量为（50010x）件，根据“总利润每件商品的利润销售量”列出一元二次方程【解答】解：设这种商品每件涨价x元，则销售量为（50010x）件，根据题意，得：（10+x）（50010x）8000，故选：C10（2022春上城区校级期中）对于一元二次方程ax2+bx+c0（a0），下列说法：若a+b+c0，则b24ac0；若方程ax2+c0有两个不相等的
16、实根，则方程ax2+bx+c0必有两个不相等的实根；若c是方程ax2+bx+c0的一个根，则一定有ac+b+10成立；若x0是一元二次方程ax2+bx+c0的根，则b24ac（2ax0+b）2其中正确的（）ABCD【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除【解答】解：若a+b+c0，则x1是方程ax2+bx+c0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：b24ac0，故正确；方程ax2+c0有两个不相等的实根，04ac0，4ac0则方程ax2+bx+c0的判别式b24ac0，方程ax2+bx+c0必有两个不相等的实根，故正确；c是方程ax2+bx+c0的一个根，则ac2+b
17、c+c0，c（ac+b+1）0，若c0，等式仍然成立，但ac+b+10不一定成立，故不正确；若x0是一元二次方程ax2+bx+c0的根，则由求根公式可得：x0=-bb2-4ac2a，2ax0+bb2-4ac，b24ac（2ax0+b）2，故正确故正确的有，故选：B二填空题（共6小题）11（2022宁波模拟）已知方程x23x+10的根是x1和x2，则x1+x2x1x22【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x23、x1x21，将其代入x1+x2x1x2中即可求出结论【解答】解：方程x23x+10的两个实数根为x1、x2，x1+x23、x1x21，x1+x2x1x2312故答案为212（2022杭
18、州模拟）已知a是方程x2+3x40的根，则代数式2a2+6a+4的值是12【分析】把xa代入已知方程，得到a2+3a4，然后代入所求的代数式进行求值即可【解答】解：a是方程x2+3x40的根，a2+3a40，a2+3a4，2a2+6a+42（a2+3a）+424+412故答案为：1213（2022泗阳县一模）若关于x的一元二次方程x24x+m10有两个相等的实数根，则m的值为5【分析】利用判别式的意义得到（4）24（m1）0，然后解关于m的方程即可【解答】解：根据题意得（4）24（m1）0，解得m5故答案为514（2022北仑区二模）由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得
19、到缓解，疫情难以消停新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未尽进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了 10人【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染，根据经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染，依题意得：1+x+x（1+x）121，即（1+x）2121，解得：x110，x212（不合题意，舍去），每轮
20、传染中平均每个人传染了10人故答案为：1015（2022仙居县二模）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a，b，c为常数，且a0），此方程的解为x12，x23则关于x的一元二次方程9ax23bx+c0的解为 x1=-23，x21【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a、b、c为常数，且a0）的解是x12，x23，从而求得3x，然后求得x的值即可【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+bx+c0（a、b、c为常数，且a0）的解是x12，x23，方程9ax23bx+c0中3x2或3x3，解得：x1=-23，x21故答案为：x1=-23，x2116（2021临海市模拟）小丽在解
21、一个三次方程x32x+10时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为（x1）（x2+bx+c）0根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解 1，-152【分析】先求b，c的值，再解方程【解答】解：有题意得：x32x+1（x1）（x2+bx+c）x32x+1x3+（b1）x2+（cb）xcb10，cb2，c1b1，c1x32x+1（x1）（x2+bx+c）0x10或x2+x10x1或x=-152故答案为：1，-152三解答题（共7小题）17（2021东阳市模拟）解方程：（x3）2（2x1）（x3）【分析】先移项得到（x3）2（2x1）（x3）0，然后利用因式分解法解方程
22、【解答】解：（x3）2（2x1）（x3）0，（x3）（x32x+1）0，x30或x32x+10，所以x13，x2218（2022滨江区一模）以下是小滨在解方程（x+2）（x3）3x时的解答过程解原方程可化为（x+2）（x3）（x3），解得原方程的解是x3小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程【分析】有错误，忽略了x30的情况，写出正确的解答过程即可【解答】解：小滨的解答有错误，忽略了x30的情况，正确的解答为：方程可化为：（x+2）（x3）（x3），移项得：（x+2）（x3）+（x3）0，分解因式得：（x3）（x+3）0，所以x30或x+30，解得：x13，x2319（2021
23、长兴县模拟）关于x的一元二次方程x2+mx+m30（1）若方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：方程总有两个不相等的实数根【分析】（1）将x1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解方程求得m的值；（2）由根的判别式符号进行证明【解答】（1）解：方程的一个根为1，1+m+m30，m1；（2）证明：a1，bm，cm3，b24acm24（m3）m24m+12（m2）2+80，方程总有两个不相等的实数根20（2022春鄞州区校级期末）已知关于x的一元二次方程x22tx+t22t+40，有两个不相等的实数根m，n（1）求t的取值范围；（2）当t3时，解这个方程；（3）若m，n是方程的两个实数根，设Q
24、（m2）（n2），试求Q的最小值【分析】（1）利用根的判别式的意义得到（2t）24（t22t+4）0，然后解不等式即可；（2）当t3时，方程化为x26x+70，然后利用配方法解方程即可；（3）根据根与系数的关系得m+n2t，mnt22t+4，则Qt26t+8，配方得到Q（t3）21，利用非负数的性质得到当t3时，Q有最小值，最小值为1【解答】解：（1）根据题意得（2t）24（t22t+4）0，解得t2，即t的取值范围为t2；（2）当t3时，方程化为x26x+70，x26x+92，（x3）22，x32，所以x13+2，x23-2；（3）根据根与系数的关系得m+n2t，mnt22t+4，Qmn2（
25、m+n）+4t22t+44t+4t26t+8（t3）21，t2，当t3时，Q有最小值，最小值为121（2022秋温州月考）据统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率【分析】设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的
26、年平均增长率是x，根据2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆可列方程求解设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，根据要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，假设每年新增汽车数量相同，可列出不等式求解【解答】解：设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据题意，得75（1+x）2108，解得x10.220%，x22.2（不合题意，舍去），设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，由题意得：（1080.9+y）0.9+y1
27、25.48，解得y20，答：从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆；2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%22（2022鹿城区校级开学）某毕业班将举办同学会，特为参会同学购买文化衫，据文化衫销售商家介绍，购买不超过10件，每件价格为140元；若超出10件，每超出1件，文化衫单价就降低1元；若购买数量不少于60件时，一律每件80元（1）若购买x件（10x60）文化衫，总费用为 （x2+150x）元（用x的代数式表示）；（2）由于同学会筹备组没有统一协调好，导致分两次一共购买了100件文化衫已知第一次购买的数量超过30件，但不超过40件，且两次购买文化衫一共支付
28、了9200元，求第一次购买的文化衫数量【分析】（1）由题意得单价为（150x）元，利用单价乘以数量即可表示出总费用；（2）设第一次购买了x（30x40）件，则第二次购买（100x）件，由题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案【解答】解：（1）由题意得：x140（x10）x（150x）x2+150x，故答案为：（x2+150x）；（2）设第一次购买了x（30x40）件，则第二次购买（100x）件，由题意得：x（150x）+80（100x）9200，解得：x130（不符合题意，舍去），x240，答：第一次购买了40件文化衫23（2021永嘉县校级模拟）某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养
29、场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米（1）饲养场的长为（603a）米（用含a的代数式表示）（2）若饲养场的面积为288m2，求a的值【分析】（1）用总长减去3a后加上三个1米宽的门即为所求；（2）由（1）表示饲养场面积计算即可，注意a的范围讨论【解答】解：（1）由已知饲养场的长为572a（a1）+2603a；故答案为：（603a）；（2）由（1）饲养场面积为a（603a）288，解得a12或a8；当a8时，603a60243627，故a8舍去，则a12