1、第九章中心对称图形平行四边形（基础版）一、单选题（每题3分，共16分）1（2021八下盐城期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），将点 A 绕原点逆时针旋转90得到点 A ，则点 A 的坐标为（） A（3，2）B（3，2）C（3，2）D（2，3）2（2021八下江阴期末）如图，在 ABC 中， A=70，AC=BC ，以点 B 为旋转中心把 ABC 按顺时针旋转一定角度，得到 ABC， 点 A 恰好落在 AC 上，连接 CC， 则 ACC 度数为（） A110B100C90D703（2022八下沭阳期末）下列图案既是轴对称又是中心对称图形的有（） ABCD4（2022八下梁溪期中）能
2、判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 （）ACB=CD，AB=ADBA=B，C=DCAB/CD，AD=BCDAB=CD，AD=BC5（2022八下淮安期末）下列说法正确的是（）A两组对边分别平行的四边形是平行四边形B有一组邻边相等的的平行四边形是矩形C有一个角是直角的平行四边形是菱形D有一组邻边相等并且有一个角是直角的四边形是正方形6（2021八下徐州期中）菱形的对角线长分别是8，6，则这个菱形的面积是（）A48B24C14D127（2021八下相城期末）下列条件中，能使菱形 ABCD 为正方形的是（） AAB=ADBABBCCACBDDAC 平分 BAD8（2022八下金东期末）如图，矩形
3、ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，AD的中点，若EF4，AB8，则ACB的度数为（）A30B35C45D60二、填空题（每题3分，共16）9（2022八下广陵期中）如图，ABC为钝角三角形，将ABC绕点A按逆时针方向旋转120得到ABC，连接BB，若ACBB，则CAB的度数为 10（2022八下扬州期中）在平面直角坐标系中，ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（3，4）、（2，4），则顶点D的坐标是 .11（2022八下南京月考）用反证法证明：“多边形中最多有三个锐角”的第一步是：假设 12（2022八下大丰期中）已知矩形ABCD中，若AC=8，则BD 13（
4、2022八下淮安期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC=8，BD=6，则该菱形的周长是 .14（2022八下大丰期中）如图，四边形ABCD是正方形，按如下步骤操作：分别以点A、D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP、DP；连接BP、CP，则PBC 15（2022八下启东月考）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ACCD，OEBC交CD于E，若OC=4，CE=3，则BC的长是 .16（2022八下婺城期末）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN=16m，则A，B两点间的距离是 m.三、作
5、图题（共9分）17（2022八下广陵期末）如图，在平面直角坐标系中，ABC和A1B1C1 关于点E成中心对称画出对称中心E，并写出点E的坐标 ；画出A1B1C1绕点O逆时针旋转90后的A2B2C2；画出与A1B1C1关于点O成中心对称的A3B3C3.四、解答题（共10题，共79分）18（2020八下无锡期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BEDF.求证：四边形AECF是平行四边形.19（2022八下淮安开学考）如图，把一张长方形（对边平行）纸条按如图所示折叠.判断三角形HBC的形状，说明理由.20（2022八下淮安期末）如图所示，点E、F、G、H分别是四边形
6、ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.小明同学做法是：连接BD，利用三角形的中位线定理证明得出EHFG，EHFG，从而得到四边形EFGH是平行四边形.请你完成小明的做法：证明：连接BD，21（2022八下南京期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于O点，DEAC，CEBD.（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若AD =5，BD =8，计算DE的值.22（2022八下泰兴期末）如图，ABC中，ABAC5，BC6（1）仅用圆规在平面内找一点D（异于点A），使得点D到射线AB、AC的距离相等，且DB5；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求四边形ABDC的面积
7、23（2021八下丹徒期中）如图，正方形ABCD，E为平面内一点，且BEC90，把BCE绕点B逆时针旋转90得BAG，直线AG和直线CE交于点F.（1）证明：四边形BEFG是正方形；（2）若CECF，则AGD .24（2022八下梁溪期中）如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，由钝角顶点D向AB、BC引两条高DE、DF，且DE=4cm，DF=5cm.（1）求这个平行四边形的面积.（2）1与B的关系怎样？为什么？（3）平行四边形两条对角线长分别为8cm和10cm，求则其边长x的范围.25（2022八下江都期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，ABOC，点B，C的坐标分别为（15，8
8、），（21，0），动点M从点A沿AB以每秒1个单位的速度运动；动点N从点C沿CO以每秒2个单位的速度运动M，N同时出发，设运动时间为t秒（1）在t=3时，M点坐标 ，N点坐标 ；（2）当t为何值时，四边形OAMN是矩形？（3）运动过程中，四边形MNCB能否为菱形？若能，求出t的值；若不能，说明理由26（2022八下大丰期中）已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DEAF，DEAF于点G（1）如图1，若BAD90，求证：四边形ABCD是正方形；（2）在（1）的条件下，延长CB到点H，使得BHAE，判断AHF的形状，并说明理由（3）如图2，若AB=AD，AED60，AE6，BF
9、2，求DE的长27（2020八下海安月考）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形的中心.（1）写出一种你学过的和美四边形 ； （2）如图1，点O是和美四边形ABCD的中心，E，F，G、H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接OE，OF，OG，OH，记四边形AEOH，BEOF，CGOF，DHOG的面积为 S1,S2,S3,S4 ，用等式表示 S1,S2,S3,S4 的数量关系(无需说明理由). （3）如图2，四边形ABCD是和美四边形，若AB=3，BC=2，CD=4，求AD的长. 答案解析部分1解：观察图象可知A（3，2）.故答案为：A.根据旋转的性质，在
10、坐标系中找出点A的位置，进而得到点A的坐标.2三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质解：AC=BC，A=ABC=70，ACB=180-A-ABC =180-70-70=40，以点B为旋转中心把ABC按顺时针旋转，得到ABC，AB=AB，BC=BC，且CBC=ABA，BAA=A=70，ABA=40，CBC=40，BCC= 180-402 =70，ACC=ACB+BCC=40+70=110.故答案为：A.根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得ACB的度数，由旋转的性质可得AB=AB，BC=BC，且CBC=ABA=40，则BAA=A=70，然后求出BCC的度数，据此解答.3轴对称图形；
11、中心对称及中心对称图形解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意.故答案为：D.轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.4解：AB=CD，AD=BC四边形ABCD为平行四边形，即选项D正确；其他选项，均无法推导得四边形ABCD为平行四边形故答案为：D.利用平行四边形的
12、判定定理：有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可对A，D作出判断；利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可对B作出判断；利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可对C作出判断.5平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，符合题意；B. 有一组邻边相等的的平行四边形是菱形，故答案为：错误，不符合题意；C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故答案为：错误，不符合题意；D. 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故答案为：错误，不符合题意，故答案为：A.根据平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的
13、判定分别判断即可.6解：菱形的面积：S菱形=1286=24故答案为：B. 菱形的面积等于对角线乘积的一半，依此列式计算即可.7解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等.即ABC=90或AC=BD.故答案为：B.根据有一个角是90的菱形是正方形，以及对角线相等的菱形是正方形进行判断即可.8等边三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理解：矩形ABCD，OD=OB=OA=12BD，ABC=90，点E，F分别为AO，AD的中点，EF是AOD的中位线，EF=12OD=4，OD=8，AB=OB=OA，AOB是等边三角形BAC=60，ACB=90
14、-BAC=90-60=30.故答案为：A.利用矩形的性质可证得OD=OB=OA=12BD，ABC=90，利用三角形的中位线定理可求出OB的长，由此可证得AB=OB=OA，可得到AOB是等边三角形；然后利用等边三角形的性质及三角形的内角和定理求出ACB的度数.9平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质解：将ABC绕点A按逆时针方向旋转l20得到ABC，BAB=CAC=120，AB=AB，ABB=ABB=12（180-120）=30，又ACBB，CAB=ABB=30.故答案为：30.根据旋转的性质可得BAB=CAC=120，AB=AB，根据等腰三角形的性质可得ABB=ABB，结
15、合内角和定理可得ABB的度数，由平行线的性质可得CAB=ABB，据此解答.10坐标与图形性质；平行四边形的性质解：如图：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，ADBC，ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（3，4）、（2，4），顶点D的坐标为（5，2）.故答案为：（5，2）.画出示意图，根据平行四边形的性质可得AD=BC，ADBC，然后结合点A、B、C的坐标就可求出顶点D的坐标.11解：根据反证法的第一步：假设结论不成立，则有假设多边形的内角中至少有四个角是锐角.故答案为：至少有四个角是锐角.反证法的第一步为：假设结论不成立，故只需找出最多有三个锐角的反面即可.12解：四边形AB
16、CD是矩形，AC=8，BD= AC=8.故答案为：8.根据矩形的对角线相等可得AC=BD，据此解答.13依题意可知BDAC，AO=4，BO=3AB=32+42=5，菱形的周长为45=20由菱形的性质可得BDAC，AO=4，BO=3，利用勾股定理求出AB=5，根据菱形的周长=4AB，继而得解.14三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质解：根据作图过程可知：ADAPPD，ADP是等边三角形，DAPADPAPD60，四边形ABCD是正方形，ABAD，BADABC90，ABAP，BAP30，ABPAPB180-302=75，PBCABCABP907515.故答案为：1
17、5.根据作图过程可知：ADAPPD，则ADP是等边三角形，得到DAPADPAPD60，根据正方形的性质可得ABAD，BADABC90，推出ABAP，BAP30，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得ABPAPB75，再根据PBCABC-ABP进行计算.15勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理解：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，ADBC，OEBC，OEAD，OE是ACD的中位线，CE=3，DC=2OE=23=6.CO=4，AC=8，ACCD，AD= AC2+CD2=62+82=10，BC=AD=10，故答案为：10.由平行四边形性质及OEBC，可推出OE是ACD的中位线，再
18、由CE=3，可求得DC=6，再由CO=4，可得AC=8，又ACCD，再根据勾股定理求得AD=10，即可得出BC的长度.16解：点M，N分别为OA，OB的中点，MN是OAB的中位线，AB=2MN=32(m).故答案为：32.由题意可得MN是OAB的中位线，则AB=2MN，据此计算.17解：连接BB1、CC1，交于点E（-3，-1），故答案为（-3，-1）；如图，A2B2C2即为所求作三角形；如图，A3B3C3即为所求作三角形（1）连接BB1、CC1，其交点即为点E，结合点E的位置可得对应的坐标；（2）根据旋转方向及角度，找出点A1、B1、C1绕点O逆时针旋转90的对应点A2、B2、C2，然后顺次
19、连接即可；（3）找出点A1、B1、C1关于原点O对称的对应点A3、B3、C3，然后顺次连接即可.18证明：连接AC，交BD于点O， 四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD ，BEDF，OE=OF .四边形AECF是平行四边形. 连接AC，根据平行四边形的对角线互相平分得出OA=OC,OB=OD，然后根据等式的性质得出OE=OF，进而利用对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可.19解： HBC 是等腰三角形，理由如下： 四边形ABCD是矩形，CFBD，1CBA，将长方形折叠，CBA2，12，HBC 是等腰三角形.等腰三角形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）由平行线的性质
20、可得1=CBA，由折叠的性质可得CBA=2，从而得到1=2，即可判断HBC是等腰三角形.20证明：连接BD，如图所示：点E、F分别是边AB、DA的中点，EHBD，EH=12BD，G、H分别是边BC、CD的中点，FGBD，FG=12BD，EHFG，EHFG，四边形EFGH是平行四边形.平行四边形的判定；三角形的中位线定理连接BD，由三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得EHBD，EH=12BD，FGBD，FG=12BD，根据平行线的传递性可得EHFG，EH=FG，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EFGH是平行四边形.21（1）证明：DEAC，
21、CEBD，四边形OCED是平行四边形，四边形ABCD是菱形，ACBD，DOC=90，四边形OCED是矩形；（2）解：四边形ABCD是菱形，BD=8，OD=12BD=4，OC=OA，AD=CD，AD=5，OC=AO=AD2-OD2=3，四边形OCED是矩形，DE=OC=3.勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质（1）由题意根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形OCED是平行四边形，由菱形的对角线互相垂直平分可得ACBD，则DOC=90，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可求解；（2）由菱形的对角线互相垂直平分可得OD=12BD，用勾股定理可求得OC=OA
22、的值，然后由矩形的对边相等可求解.22（1）解：如图，点D即为所求 ， （2）解：如图，分别连接BD，CD，AD，AD于BC交于点O， 易得AD垂直平分BC， 由（1）可知，BD=BA， 四边形ABDC为菱形， BC=2BO，AD=2AO， BC=6， BO=3， 在RtAOB中，AB=5， AO=52-32=4， AD=8， 四边形ABDC的面积=12BCAD=1268=24.勾股定理；菱形的性质；作图-线段垂直平分线（1）分别以点B、点C为圆心，BA长为半径，画圆弧并交于BC线段下的点D，此时点D到射线AB、AC的距离相等，且DB=5；（2）分别连接BD，CD，AD，AD于BC交于点O，易
23、得AD垂直平分BC，由（1）可知，BD=BA，根据菱形性质可得BC=2BO，AD=2AO，由BC=6，则BO=3，再利用勾股定理求得AO=4，则AD=8，最后由菱形的面积公式，即四边形ABDC的面积=12BCAD，代入数据计算即可求解.23（1）证明：四边形ABCD是正方形， ABBCAD，把BCE绕点B逆时针旋转90得BAG，GBE90，BECAGB90BGF，BGBE，AGCE，四边形BEFG是矩形，又BEBG，四边形BEFG是正方形（2）135矩形的判定；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）（2）过点D作DHAF于H，四边形BEFG是正方形，EFGFBG，CECF，
24、AGCE，EFGFBG2CE2AG，BAG+DAG90，BAG+ABG90，DAGABG，在ABG和DAH中，ABG=DAHAGB=AHDAB=AD ，ABGDAH（AAS），AGDH，AHBG，AGDHCE，AHBG2AG，GHDH，DGH45，AGD135，故答案为：135.（1）先运用正方形的性质得到ABBCAD，在根据旋转的性质结合矩形的判定即可得到四边形BEFG是矩形，最后根据正方形的判定即可求解；（2）过点D作DHAF于H，先根据正方形的性质即可得到EFGFBG，再根据题意结合全等三角形的判定即可证明ABGDAH（AAS），进而得到AGDH，AHBG，最后结合题意即可求解.24（1
25、）解：设AB=x，则BC=18-x，由ABDE=BCDF，即4x=5(18-x)，解得：x=10.则平行四边形的面积是：104=40(cm2).（2）解：1+B=180，理由如下：在四边形BFDE中，1+B+DEB+DFB=360，由钝角顶点D向AB、BC引两条高DE、DF，DEB=DFB=90，1+B=360-DEB+DFB=180；（3）解：平行四边形两条对角线长分别为8cm和10cm，平行四边形两条对角线一半长分别为4cm和5cm，由三角形三边的关系可得：5-4x4+5，1x9，答：x的范围为1x9.（1）利用平行四边形的周长为36，可得到相邻的两边长的和为18，因此设AB=x，可表示出
26、BC的长；再利用平行四边形的面积公式可得到关于x的方程，解方程求出x的值；然后求出平行四边形的面积.（2）利用四边形的内角和为360，利用垂直的定义可知DEB=DFB=90，由此可求出1+B的值.（3）利用平行四边形的对角线互相平分，可求出对角线长的一半，再利用三角形的三边关系定理，可得到x的取值范围.25（1）（3，8）；（15，0）（2）解：当四边形OAMN是矩形时，AM=ON，t=21-2t，解得t=7秒，故t=7秒时，四边形OAMN是矩形；（3）解：存在t=5秒时，四边形MNCB能为菱形理由如下：四边形MNCB是平行四边形时，BM=CN，15-t=2t，解得：t=5秒，此时CN=52=
27、10，过点B作BDOC于D，则四边形OABD是矩形，OD=AB=15，BD=OA=8，CD=OC-OD=21-15=6，在RtBCD中，BC=BD2+CD2=82+62=10，BC=CN，平行四边形MNCB是菱形，故，存在t=5秒时，四边形MNCB为菱形坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质解：（1）B（15，8），C（21，0），AB=15，OA=8，OC=21，当t=3时，AM=13=3，CN=23=6，ON=OC-CN=21-6=15，点M（3，8），N（15，0）；故答案为：（3，8）；（15，0）；（1）根据点B、C的坐标可得AB=15，OA=8，O
28、C=21，当t=3时，AM=3，CN=6，则ON=OC-CN=15，据此不难得到点M、N的坐标；（2）当四边形OAMN是矩形时，AM=ON，由题意可得AM=t，ON=21-2t，代入求解可得t的值；（3）根据平行四边形的性质可得BM=CN，由题意可得BM=15-t，CN=2t，代入求出t的值，据此可得CN，过点B作BDOC于D，则四边形OABD是矩形，OD=AB=15，BD=OA=8，CD=OC-OD=6，利用勾股定理求出BC，推出BC=CN，然后根据菱形的判定定理进行解答.26（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BAD90， 四边形ABCD是矩形，DAEABF90，BAF+DAF90，D
29、EAF，AGD90，ADE+DAF90，ADEBAF，DEAF，ADEBAF（AAS），ADBA，四边形ABCD是正方形（2）解：AHF是等腰三角形，理由如下： 由（1）得：ADEBAF，AEBF，BHAE，BFBH，四边形ABCD是正方形，ABC90，ABBC，即AB垂直平分FH，AHAF，AHF是等腰三角形（3）解：延长CB到点H，使得BHAE，连接AH，如图2所示： 四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，四边形ABCD是菱形，ADBC，ABHBADBHAE，DAEABH（SAS），DEAH，AHBDEA60，DEAF，AHAF，AHF是等边三角形，AHHFBH+BFAE+BF6+28，
30、DEAH8三角形全等的判定；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定（1）易得四边形ABCD是矩形，DAEABF90，根据垂直的概念可得AGD90，由同角的余角相等可得ADEBAF，结合DEAF，利用AAS证明ADEBAF，得到ADBA，然后根据正方形的判定定理进行证明；（2）根据全等三角形的性质可得AEBF，结合BHAE，则BFBH，根据正方形的性质可得ABC90，推出AB垂直平分FH，得到AHAF，然后根据等腰三角形的判定定理进行解答；（3）延长CB到点H，使得BHAE，连接AH，则四边形ABCD是菱形，ADBC，由平行线的性质可得ABHBAD，证明DAEA
31、BH，得到DEAH，AHBDEA60，结合DEAF可得AHAF，推出AHF是等边三角形，则AHHFBH+BFAE+BF8，据此解答.27（1）正方形（答案不唯一，也可以是菱形.）（2）S1+S3=S2+S4（3）解：如图2，连接AC、BD交于点O，则ACBD， 在RtAOB中，AO2=AB2-BO2，RtDOC中，DO2=DC2-CO2，AB=3，BC=2，CD=4，AD2=AO2+DO2=AB2-BO2+DC2-CO2=AB2+DC2-BC2=32+42-22=21，AD= 21 .勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理解：（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形；（答案不唯一，
32、也可以是菱形.）（ 2 ） S1,S2,S3,S4 的数量关系是S1+S3=S2+S4；理由如下：如图1，连接AC、BD，由和美四边形的定义可知，ACBD，则AOB=BOC=COD=DOA=90，又E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，AOE的面积=BOE的面积，BOF的面积=COF的面积，COG的面积=DOG的面积，DOH的面积=AOH的面积，S1+S3=AOE的面积+COF的面积+COG的面积+AOH的面积，S2+S4=BOE的面积+BOF的面积+DOG的面积+DOH的面积，S1+S3= S2+S4；（1）根据正方形的对角线互相垂直解答(答案不唯一)；（2）根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答；（3）根据和美四边形的定义、勾股定理计算即可.