1、7.5 外接球题组一 汉堡模型1（2022全国高三专题练习）在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，则四棱锥的外接球O的表面积是（）A80B160C60D402（2022全国高三专题练习）在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（）ABCD3（2022全国高三专题练习）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（）ABCD4（2022全国高三专题练习）据九章算术记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，且，三棱锥外接球表面积为（）ABCD5（2022全国高三专题练习）已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该
2、几何体的外接球的表面积为（）ABCD6（2023全国高三专题练习）已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，ABBC，则球O的表面积等于（）ABCD7（2022河北衡水高三阶段练习）在三棱锥中，则三棱锥外接球的体积为（）ABCD题组二 墙角模型1（2022广西贵港市高级中学三模（理）九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（）ABCD2（2023全国高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，为棱的中点若四棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为_3
3、（2022四川雅安三模（文）在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积是_.4（2022河北保定二模）在九章算术中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P-ABC中，ABBC，PA平面ABC，且，则鳖臑P-ABC外接球的体积是_.题组三 斗笠模型1（2022黑龙江）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（ ）ABCD2（2022广西）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为，则球O的表面积等于（ ）ABCD3（2022宁夏银川市）已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（ ）ABC
4、D4（2022河南）一圆台的两底面半径分别为，高为，则该圆台外接球的表面积为（ ）ABCD5（2022浙江）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（ ）ABCD6（2022天津南开区）已知一个圆锥的底面半径为，高为，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是（ ）ABCD题组四 L模型1（2022安徽巢湖市第一中学）已知三棱锥中，平面平面，且，若，则三棱锥外接球的表面积为（）A64B128C40D802（2022吉林洮南市第一中学高三阶段练习（理）已知三棱锥中，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为_3（2023全国高三专题练习）在三棱
5、锥中，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是_.4（2022新疆乌鲁木齐模拟预测（文）在三棱锥中，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（）ABCD5（2022重庆八中高三阶段练习）在三棱锥中、平面平面，且，则三棱维的外接球表面积是（）ABCD6（2022内蒙古满洲里市教研培训中心模拟预测（理）已知四棱锥中，平面平面ABCD，其中为正方形，是边长为2的等边三角形，则四棱锥外接球的表面积为（）A4BCD题组五 怀表模型1（2022全国高三专题练习）四边形ABDC是菱形，沿对角线BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_.2（2022全国高三专题练习）如图，在三棱锥中
6、，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（）ABCD3（2023全国高三专题练习）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（）ABCD4（2022全国模拟预测）已知四边形为菱形，且，现将沿折起至，并使得与平面所成角的余弦值为，此时三棱锥外接球的体积为，则该三棱锥的表面积为（）ABCD5（2022全国高三专题练习）已知菱形中，将其沿对角线折成四面体，使得二面角的大小为，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）ABCD6（2021安徽高三月考（文）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD题
7、组六 矩形模型1（2022安徽合肥市）在三棱锥中，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD2（2022甘肃酒泉市）已知三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则外接球的表面积为_.3（2021江西南昌市）四面体中，则该四面体的外接球表面积为_4（2023全国高三专题练习）在矩形中，点，分别是，的中点，沿将四边形折起，使，若折起后点，都在球的表面上，则球的表面积为 题组七 内切球1（2023全国高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（）ABCD2（2022湖北模拟预测）已知中，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（）ABC
8、D3（2022河南）六氟化硫是一种无机化合物，化学式为，常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳定气体，密度约为空气密度的5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系统六氟化硫分子结构呈正八面体排布（8个面都是正三角形）若此正八面体的表面积为，则该正八面体的内切球的体积为_4（2022安徽）连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为_.5（2022河南）正四棱锥的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为_6（2021山东高三）已知正三棱锥的底面边长为侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点，则的长度为_.7.5 外接球题组一 汉堡模型1（
9、2022全国高三专题练习）在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，则四棱锥的外接球O的表面积是（）A80B160C60D40【答案】D【解析】由题意底面矩形的外接圆半径，则原四棱锥外接球半径，故选：D2（2022全国高三专题练习）在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点，直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接AO，,设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=，则，该直三棱柱外接球的表面积为,故选：C3（2022全国高三专题练习）已知正三棱柱所有棱长都为6，
10、则此三棱柱外接球的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】如图，为棱的中点，为正的中心，为外接球的球心根据直棱柱外接球的性质可知，外接球半径，正的边长为6，则外接球的表面积故选：C4（2022全国高三专题练习）据九章算术记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，且，三棱锥外接球表面积为（）ABCD【答案】B【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径.所以三棱锥外接球表面积.故选：B.5（2022全国高三专题练习）已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】由题意知：底面BCD是正三
11、角形，底面BCD，将三棱锥补成如图所示正三棱柱，取上下底面的外心，易得球心即为中点，连接，易得，设外接球半径为，则，则.故选：C6（2023全国高三专题练习）已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，ABBC，则球O的表面积等于（）ABCD【答案】A【解析】因为、是球表面上的点，所以又平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，而平面，所以，所以可得为的中点，所以，所以球的半径径为， 所以球表面积为故选：A7（2022河北衡水高三阶段练习）在三棱锥中，则三棱锥外接球的体积为（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以.又，所以平面SAC.在中，所以.又，则外接圆的半径为，取BC，AC的中点D，E
12、，的外心为F，过D作平面ABC的垂线l，过F作平面SAC的垂线交l于点O，即为球心，连接DE，EF，FA，OA，则四边形DEFO为矩形，则，所以，即三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的体积为.故选：D题组二 墙角模型1（2022广西贵港市高级中学三模（理）九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（）ABCD【答案】B【解析】由题知：剩余的几何体为三棱锥，平面，将三棱锥放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示：外接球半径，所以外接球体
13、积，阳马的体积为故选：B2（2023全国高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，为棱的中点若四棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为_【答案】【解析】由题意知：四边形的面积，设点到平面的距离为，则，解得：，又为中点，平面，；，两两互相垂直，三棱锥的外接球半径，三棱锥的外接球表面积.故答案为：.3（2022四川雅安三模（文）在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积是_.【答案】【解析】因为，则，同理可证，所以，、两两垂直，将三棱锥补成正方体，如下图所示：正方体的体对角线即为三棱锥的外接球直径，设三棱锥的外接球半径为，则，所以，因此，三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.4（2022河北保定二模）在九章算
14、术中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P-ABC中，ABBC，PA平面ABC，且，则鳖臑P-ABC外接球的体积是_.【答案】【解析】由题意可得三角形ABC外接圆的半径，因为PA平面ABC，所以鳖臑P-ABC外接球的半径，故鳖臑P-ABC外接球的体积是.故答案为：题组三 斗笠模型1（2022黑龙江）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（ ）ABCD【答案】C【解析】设圆锥的母线长为，则展开后扇形的弧长为，再设圆锥的底面圆半径为，可得，即，圆锥的高为，设圆锥外接球的半径为，则，解得圆锥的体积为，圆锥外接球的体积，该圆锥的体积与它的外接球
15、的体积之比为故选：C2（2022广西）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为，则球O的表面积等于（ ）ABCD【答案】A【解析】设底面半径为，圆锥母线为，所以，所以，如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，是圆锥底面的圆心，设球半径为，则，所以，如图1，即，解得，不符合题意，当为如图2时，即，解得，所以球表面积为故选：A3（2022宁夏银川市）已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（ ）ABCD【答案】B【解析】设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为，圆锥的外接球半径为，则，可得，由于圆锥的侧面展开图是半圆，则，可得，由圆锥的几
16、何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴上，所以，解得,因此，该圆锥的外接球的表面积为.故选：B.4（2022河南）一圆台的两底面半径分别为，高为，则该圆台外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】设该圆台的外接球的球心为，半径为，则或，解得，所以该圆台的外接球的表面积为.故选：C.5（2022浙江）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（ ）ABCD【答案】A【解析】设圆锥母线为，底面半径为，则，解得，如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，设球半径为，所以球表面积为故选：A6（2022天津南开区）已知一个圆锥的底面半径为，高为，其体积大小等
17、于某球的表面积大小，则此球的体积是（ ）ABCD【答案】D【】解析设球的半径为，圆锥的体积为，由于球的体积大小等于某球的表面积大小，则，因此，该球的体积为.故选：D.题组四 L模型1（2022安徽巢湖市第一中学）已知三棱锥中，平面平面，且，若，则三棱锥外接球的表面积为（）A64B128C40D80【答案】D【解析】由题意得，平面，将三棱锥补成三棱柱，如图，则三棱柱的外接球即为所求.设外接球的球心为，则的外心为，则，又，则外接球的半径，表面积，故选：D2（2022吉林洮南市第一中学高三阶段练习（理）已知三棱锥中，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】取的中点，连接，如图所示
18、：因为，所以为的外接圆圆心，又因为，为的中点，所以.因为平面平面，所以平面，所以三棱锥的外接球球心在直线上.在上取一点，使得，即为三棱锥的外接球球心，设，所以，.在中，所以，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：3（2023全国高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是_.【答案】【解析】如图所示：设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，O在CD上，且，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAB，又AB，平面PAB，在中，D为AB的中点，O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，该三棱锥外接球的表面积.故答案为：.4（2022新疆乌鲁木齐模拟预测（文）在三棱锥中，
19、平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】由题意得，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则外接圆圆心在DE上，且，解得，设三棱锥外接球球心为O，连接，过作，垂足为，由平面平面，得，故四边形为矩形，因为，所以，且，所以，设三棱锥外接球半径为R，有，又，所以，解得，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：D.5（2022重庆八中高三阶段练习）在三棱锥中、平面平面，且，则三棱维的外接球表面积是（）ABCD【答案】C【解析】由题意，为直角三角形，故在三棱维的外接球的一个切面圆上，为该圆直径；又平面平面，故外接球的球心在所在的平面内，又，故为等腰三角形，球心O在BD边中线所在直线上 ，
20、点到线段的距离为，设外接球的半径为，则，解得，则外接球的表面积为.故选：C.6（2022内蒙古满洲里市教研培训中心模拟预测（理）已知四棱锥中，平面平面ABCD，其中为正方形，是边长为2的等边三角形，则四棱锥外接球的表面积为（）A4BCD【答案】B【解析】连接交于，球心在底面的射影必为点，取的中点，在截面中，连接，如图，在等边中，的中点为，所以，又平面平面，是交线，所以平面，且，设，外接球半径为，则在正方形中，在中，而在截面中，由可得：解得，所以，所以故选：B题组五 怀表模型1（2022全国高三专题练习）四边形ABDC是菱形，沿对角线BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值为，则三棱锥D-ABC的
21、外接球的体积为_.【答案】【解析】如图，取的中点为，连接AM,DM,则 ,则二面角的平面角为，由四边形ABDC是菱形，可知为正三角形，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，则为的中心，所以，由于二面角A-BD-C的余弦值为，故设，则， ，故，则，球的半径，所求外接球的体积为，故答案为：2（2022全国高三专题练习）如图，在三棱锥中，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】如图1，过作垂足为，取的中点，连接过作,且=，连接，则为等边三角形，则，根据题意可得，则由题意可得，则，则如图2，则顶点在平面的投影为的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接，则的
22、外接圆半径，则设棱锥的外接球的半径为，则即，解得三棱锥的外接球的表面积为故选：D3（2023全国高三专题练习）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（）ABCD【答案】B【解析】由题，设正三角形与的中心分别为，根据外接球的性质有平面，平面，又二面角的大小为，故，又正三角形与的边长均为2，故，故.易得，故，故，又，故球的半径，故球的表面积为故选：B4（2022全国模拟预测）已知四边形为菱形，且，现将沿折起至，并使得与平面所成角的余弦值为，此时三棱锥外接球的体积为，则该三棱锥的表面积为（）ABCD【答案】B【解析】在菱形中，设，则和均为边长为的正三角
23、形将折起后，取的中点，连接、，如图因为，则，又因为，平面，过点在平面内作，垂足为点，连接，平面，则，又因为，平面，平面，所以，直线与平面所成角为，在中，所以，在中，所以，则，因此点为正的中心，所以三棱锥是棱长为的正四面体将正四面体补成正方体，则正方体的棱长为，所以，三棱锥外接球半径为，三棱锥外接球的体积为，解得，因此，正四面体的表面积为.故选：B.5（2022全国高三专题练习）已知菱形中，将其沿对角线折成四面体，使得二面角的大小为，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）ABCD【答案】A【解析】在菱形中，则为等边三角形，设线段的中点为，连接、，则，因为，则，同理可知，所以，二
24、面角的平面角为，即，因为，则为等边三角形，所以，延长至点，使得为的中点，连接、，易知，则为等边三角形，可得，同理，所以，为的外心，延长至点，使得为的中点，同理可知点为的外心，过点在平面内作，过点在平面内作，设，因为，平面，平面，平面，同理可证平面，所以，为三棱锥的外接球球心，如下图所示：因为，所以，所以，则，因为，由勾股定理可得，因此，三棱锥的外接球半径为，因此，三棱锥的表面积为.故选：A.6（2021安徽高三月考（文）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图所示：取的中点，连接，则.因为为直角三角形，所以其外接圆圆心为的中点，
25、设四面体的外接球球心为，则平面，易知点，点位于平面同侧，又因为平面，所以，连接，故四边形为直角梯形，过作于点，则四边形为矩形，连接，设四面体的外接球的半径为，.在中，所以，.在中，所以，在中，在直角梯形中，.在中，即.解组成的方程组，得，所以，解得(负值舍去).所以四面体的外接球的表面积.故选：C题组六 矩形模型1（2022安徽合肥市）在三棱锥中，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以和为以为斜边的直角三角形，则的中点到各个顶点的距离都相等，则为外接球的球心.即为直径.过做平面，垂足为，连结，则，解得：.，则分别为在平面内的射影，所以有，又，
26、为公共边，所以，则，所以在的角平分线上，所以有平面，平面，则有，因为，所以，则，则 故外接球的表面积为.故选：D.2（2022甘肃酒泉市）已知三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则外接球的表面积为_.【答案】【解析】如图，在中，由，可得：，所以为直角三角形，由，若要三棱锥的体积最大，则平面时三棱锥的体积最大，由为直角三角形，所以外接圆直径为，所以外接球直径，所以外接球的表面积，故答案为：3（2021江西南昌市）四面体中，则该四面体的外接球表面积为_【答案】【解析】由题意，则，所以，同理，取中点，则到四点的距离相等，即为外接球的球心，所以球半径为，球表面积为故答案为：4（2023全国高三专题练习）在矩
27、形中，点，分别是，的中点，沿将四边形折起，使，若折起后点，都在球的表面上，则球的表面积为 【答案】【解析】因为矩形中，点，分别是，的中点，所以四边形和四边形是正方形，又沿将四边形折起，使，所以几何体是正三棱柱，设球的球心在底面的射影为，因此，显然是等边三角形的中心，在直角三角形中，所以球的表面积为，题组七 内切球1（2023全国高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（）ABCD【答案】B【解析】如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接,PO,OE,PE,则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高，因为,故 ,则 ，设该四棱锥的内切球的半径
28、为r，则 ，即 ，解得 ，故内切球的体积为 ,故选：B2（2022湖北模拟预测）已知中，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（）ABCD【答案】B【解析】旋转体的轴截面如图所示，其中为内切球的球心，过作的垂线，垂足分别为，则（为内切球的半径），故，故，故，故，故旋转体的内切球的表面积为，故选：B3（2022河南）六氟化硫是一种无机化合物，化学式为，常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳定气体，密度约为空气密度的5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系统六氟化硫分子结构呈正八面体排布（8个面都是正三角形）若此正八面体的表面积为，则该正八面体的内切球的体积为_【答案】【解
29、析】设该正八面体的棱长为a，则，解得a4故内切球圆心O到各顶点的距离为故在正三棱锥OABC中，故由正八面体的结构特征可得的长为内切球半径.所以该正八面体的内切球体积为故答案为：.4（2022安徽）连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为_.【答案】【解析】不妨设正方体边长为2，则正方体内切球半径，正八面体边长为，它的内切球球心为正方体中心，记正八面体内切球半径为，将正八面体分为8个以为顶点的三棱锥，故，解得，所以该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为.故答案为：5（2022河南）正四棱锥的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为_【答案】【解析】设底面的中心为，连接，则，设四棱锥的内切球的半径为，连接，得到四个三棱锥和一个四棱锥，它们的高均为，即，解得，该四棱锥的内切球的表面积为.故答案为：.6（2021山东高三）已知正三棱锥的底面边长为侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点，则的长度为_.【答案】【解析】如图，设正三棱锥内切球的半径为，为内切球与侧面的切点，为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为，为等边三角形，, , 即,，解得，,由正三棱锥的定义知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故, 由余弦定理可得，所以故答案为：