1、7.4 空间距离题组一 点线距1.（2022福建）在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为_2（2022北京二模）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为 3（2022广东）如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点到直线的距离的最小值为_.题组二 点面距1（2022江苏）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为_2（2022福建福州）如图，在正四棱柱中，已知，E，F分别为，上的点，且(1)求证：平面ACF：(2)求点B到平面ACF的距离3（2022河北邯郸）在直三棱柱中，分别是，的中点.(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离.
2、4（2022四川成都）在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD平面PAB，点E，F分别在线段CB，AP上，且，(1)求证：平面PCD；(2)若，求点D到平面EFP的距离5（2022云南保山）如图，在四棱锥，四边形正方形，平面，点是的中点(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离题组三 线线距1（2022全国课时练习）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，点D是中点，则异面直线与的距离是_2（2022福建）如图，在正方体中，AB1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为_.3（2022浙江）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点若点M，N
3、分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为_4（2022湖北）如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为_. 题组四 线面距 1（2022山东滨州）在棱长为的正方体中，直线BD到平面的距离为（）ABCD2（2022山西）如图，在正方体中，为的中点(1)证明：平面AD1E(2)求直线到平面的距离；3（2022云南会泽县实验高级中学校）如图，在梯形ABCD中，平面ABCD，且，点F在AD上，且(1)求点A到平面PCF的距离；(2)求AD到平面PBC的距离题组五 面面距1（2022江苏）已知正方体的棱
4、长为，则平面与平面的距离为（）ABCD2（2022云南）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，则A1B1到平面D1EF的距离是_3（2022上海）如图，在棱长为a的正方体中，E、F分别是、的中点则点A和点的距离为_，点到棱BC的距离为_，点E到平面的距离为_，到平面AEFD的距离为_4（2022广东）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面之间的距离5（2022天津河北）如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，点在棱上，且，.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面与平面的距离.6（2022哈尔滨）已
5、知正方体的棱长均为1.(1)求到平面的距离；(2)求平面与平面之间的距离.7.4 空间距离题组一 点线距1.（2022福建）在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为_【答案】【解析】依题意得，则到直线的距离为故答案为：2（2022北京二模）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为 【答案】【解析】如图建立空间直角坐标系，则，设，则，动点P到直线的距离为，当时取等号，即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.3（2022广东）如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点到直线的距离的最小值为_.【答案】【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
6、因点P在线段上，则，向量在向量上投影长为，而，则点到直线的距离，当且仅当时取“=”，所以点到直线的距离的最小值为.故答案为：题组二 点面距1（2022江苏）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为_【答案】【解析】记AC与BD的交点为O，图1中，由正方形性质可知，所以在图2中，所以，即如图建立空间直角坐标系，易知则则设为平面ABC的法向量，则，取，得所以点到平面的距离故答案为：2（2022福建福州）如图，在正四棱柱中，已知，E，F分别为，上的点，且(1)求证：平面ACF：(2)求点B到平面ACF的距离【答案】(1)证明见详解.(2).【解析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴
7、建立空间直角坐标系，如下图所示：则,设面的一个法向量为，可得，即，不妨令则,平面.（2），则点到平面的距离为.3（2022河北邯郸）在直三棱柱中，分别是，的中点.(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离.【答案】(1)详见解析(2)【解析】（1）连结交于点，连结，因为点分别是的中点，所以，且，所以，即四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面；（2）因为，则,，所以，所以，,因为，且，所以平面，因为，所以点到平面的距离为1，根据等体积转化可知，即，解得：，所以点到平面的距离为.4（2022四川成都）在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD平面PAB，点E，F分别在线
8、段CB，AP上，且，(1)求证：平面PCD；(2)若，求点D到平面EFP的距离【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：如图，取的中点，连接，在中，点，分别为，的中点，且在矩形中，点为的中点，且，且.四边形是平行四边形，又平面，平面，平面(2)解：四边形是矩形，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，平面.平面，即就是点到平面的距离，平面，平面，所以平面，点到平面的距离等于点到平面的距离又，同理可证平面，即，且， 平面，平面.，即，点到平面的距离为5（2022云南保山）如图，在四棱锥，四边形正方形，平面，点是的中点(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)【
9、解析】(1)证明：连接交于点，连接，底面为正方形，为中点，点是的中点，平面，平面，平面(2)解：因为平面，平面，所以，又四边形为正方形，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，又点是的中点，所以，所以，设点到平面的距离为，则，即，即，解得，即点到平面的距离为.题组三 线线距1（2022全国课时练习）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，点D是中点，则异面直线与的距离是_【答案】【解析】以为坐标原点，分别以，,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,设是，的公垂线方向上的单位向量，则，即，即，易知，联立解得，或，；不妨取，又,则异面直线与的距离，故答案为：.2（2022福建）如图，在正方体中，AB1，
10、M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为_.【答案】【解析】以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知，设同时垂直于，由，令，得，又，则异面直线，EN间的距离为.故答案为：.3（2022浙江）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为_【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则有：，可得：设，且则有：，可得：则有：故则当且仅当时，故答案为：4（2022湖北）如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为_
11、. 【答案】【解析】正方体的棱长为1，如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，=(0，0，1)，.设直线BM与B1N的公垂线方向上的向量，由，得，令x=2，则z=6，y=-7，设直线BM与B1N之间的距离为d，则d=.故答案为：.题组四 线面距 1（2022山东滨州）在棱长为的正方体中，直线BD到平面的距离为（）ABCD【答案】B【解析】因为,平面,平面,因此平面,故直线BD到平面的距离即为点到平面的距离；为边长为2的等边三角形，故，,设点到平面的距离为，由等体积法可得,即,故选:B2（2022山西）如图，在正方体中，为的中点(1
12、)证明：平面AD1E(2)求直线到平面的距离；【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1），四边形为平行四边形，面，面，平面（2）如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离，所以，设平面的一个法向量为，则，取，得，直线到平面的距离为.3（2022云南会泽县实验高级中学校）如图，在梯形ABCD中，平面ABCD，且，点F在AD上，且(1)求点A到平面PCF的距离；(2)求AD到平面PBC的距离【答案】(1)；(2).【解析】(1)连接AC，因为平面ABCD，又平面ABCD，PACF，又，平面PAC，又平面PFC，平面PFC平面PAC，平面PFC平面PAC
13、=PC，过点A作AHPC于H，则AH平面PFC，故AH即为所求，在梯形ABCD中，在中，即点A到平面PCF的距离为；(2)，平面PBC，平面PBC，平面PBC，过点A作AEPB于E，又因为平面ABCD，则BC，又ABBC，BC平面PBA，则BCAE，又AE平面PBC，即AE的长为AD到平面PBC的距离，在等腰直角三角形PAB中，故AD到平面PBC的距离为.题组五 面面距1（2022江苏）已知正方体的棱长为，则平面与平面的距离为（）ABCD【答案】C【解析】由正方体的性质，,，易得平面平面，则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空
14、间直角坐标系，则，所以，连接，由，且，可知平面，得平面的一个法向量为，则两平面间的距离故选：C2（2022云南）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，则A1B1到平面D1EF的距离是_【答案】【解析】因为，且面，所以，面，则A1B1到平面D1EF的距离为到面的距离，且明显可见，面，对于三棱锥，有，设到面的距离为，由题意得，在中，得到，所以，化简得，进而可得，故答案为：3（2022上海）如图，在棱长为a的正方体中，E、F分别是、的中点则点A和点的距离为_，点到棱BC的距离为_，点E到平面的距离为_，到平面AEFD的距离为_【答案】 a 【解析】连
15、接, 连接，在正方体中，平面，又平面所以，即为点到棱BC的距离取的中点，连接，则平面所以为点E到平面的距离E、F分别是、的中点，则 又，则又平面AEFD, 平面AEFD，所以平面AEFD，则点到平面AEFD的距离等于直线到平面AEFD的距离.由平面,则平面,又平面，所以平面平面，且平面平面则过点作交直线于点，则平面即为直线到平面AEFD的距离.由, 则故答案为：； ；4（2022广东）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面之间的距离【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：因为、分别为、的中点，则又因为平面，平面，所以平面因为，、分别为、的中点，则
16、且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，所以，平面又因为，所以平面平面(2)解：连接分别交、于点、，则为的中点，且，因为平面，平面，又因为，平面，因为平面平面，所以，平面，所以线段的长度等于平面与平面之间的距离，因为、分别为、的中点，则且，且有，则，因为正方体的棱长为，所以，即平面与平面之间的距离为5（2022天津河北）如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，点在棱上，且，.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面与平面的距离.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【解析】(1)证明：在直三棱柱中，为的中点，故，因为，所以，又平面，平面，所以，又因，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；(2)证明：取的中点，连接，则为的中点，因为，分别为，的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因为，所以，又平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面平面；(3)设，因为平面，平面平面，所以平面，所以即为平面与平面的距离，因为平面，所以，所以，即平面与平面的距离为.6（2022哈尔滨）已知正方体的棱长均为1.(1)求到平面的距离；(2)求平面与平面之间的距离.【答案】(1)；(2).【解析】(1)如图： 设到平面的距离为，正方体的棱长均为1，且面.,.(2) 平面,平面.故平面平面.到平面的距离等于平面与平面之间的距离，设为. 即.