1、第五单元 四边形与四边形有关的证明与计算巩固集训1. (10 分)(2017 襄阳)如图，AEBF，AC 平分 BAE ，且交 BF于点 C，BD 平分ABF，且交 AE 于点 D，连接 CD.(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(2)若 ADB30，BD6，求 AD 的长第 1 题图2. (10 分)(2017 广西四市联考)如图，矩形 ABCD 的对角线AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 BD 上， BEDF.(1)求证： AECF；(2)若 AB6，COD60，求矩形 ABCD 的面积第 2 题图3. (10 分)(2017 来宾)如图，在正方形 ABCD 中，H 为 CD 的中
2、点，延长 AH 至 F，使 AH3FH ，过 F 作 FGCD，垂足为 G，过F 作 BC 的垂线交 BC 的延长线于点 E.(1)求证： ADH FGH；(2)求证：四边形 CEFG 是正方形第 3 题图4. (14 分)(2017 常州)如图，在四边形 ABCD 中，如果对角线AC 和 BD 相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形(1)在“平行四边形、矩形、菱形 ”中，_一定是等角线四边形( 填写图形名称)；若 M、N、P、Q 分别是等角线四边形 ABCD 四边AB、BC、CD、DA 的中点，当对角线 AC、 BD 还需要满足_时，四边形 MNPQ 是正方形；(2)如图 ，已
3、知ABC 中， ABC90，AB4，BC 3，D 为平面内一点若四边形 ABCD 是等角线四边形，且 ADBD ，则四边形ABCD 的面积是_； 设点 E 是以 C 为圆心，1 为半径的圆上的动点，若四边形ABED 是等角线四边形，写出四边形 ABED 面积的最大值，并说明理由第 4 题图答案1. (1)证明：AE BF，ADBCBD，BD 平分ABF，ABDCBD，ABD ADB，AB AD，同理可证 ABBC ，AD BC，且 ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形，又AB AD，四边形 ABCD 是菱形；(2)解： 四边形 ABCD 是菱形，BD6，ACBD，OD BD3，12在 Rt
4、AOD 中，cosADBcos30 ，ODAD 32AD3 2 .23 32. (1)证明：四边形 ABCD 是矩形，AB CD， ABECDF，在ABE 和 CDF 中，AB CDABE CDFBE DF )ABECDF(SAS) ，AE CF；(2)解： 四边形 ABCD 是矩形，AO OB，COD60，AOB60，AOB 为等边三角形，AO AB6，AC12 ，在 RtABC 中，由勾股定理得：BC 6 ，AC2 AB2 122 62 3S 矩形 ABCD ABBC66 36 .3 33. 证明：(1)在正方形 ABCD 中，D90 ，GFCD，HGF90，又AHD FHG，ADHFGH
5、；(2)在正方形 ABCD 中，AD CD， BCD90 GCD，FGCD，FEBE，FGCCEF90 ，四边形 CEFG 是矩形，由(1)得 FGHADH，则 ，FHAH GHDH FGAD 13又H 为 CD 的中点，CH DH，GH DH CH，13 13CG CH CD CD，23 2312 13GF AD，13CGGF ，四边形 CEFG 是正方形4. 解：(1) 矩形；【解法提示】平行四边形和菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线相等，故矩形一定是等角线四边形ACBD；【解法提示】如解图， 四边形 ABCD 是等角线四边形，AC BD， M、 N、 P、 Q 分别是边 AB、 BC、
6、 CD、 DA 的中点，MN PQ AC，PN MQ BD，MN PQ PN MQ，四边形12 12MNPQ 是菱形，根据“ 有一个角是直角的菱形是正方形”可知需要四边形 MNPQ 有一个角是直角，又易知 MNPQAC， PNQMBD，要使四边形 MNPQ 是正方形需要 ACBD.第 4 题解图(2)32 ；21【解法提示】AD BD，点 D 在 AB 的垂直平分线上，四边形 ABCD 是等角线四边形，AC BD，在 RtABC 中，ABC90，AB4，BC3，AC5，BD 5，如解图 ，取 AB 的中点为 M，作四边形 ABCD 连接DM， BD，则 MDAB，在 RtADM 中，AD BD
7、 5，AM BM 2，由勾股定理得 DM .52 22 21S 四边形 ABCDS ABDS BCD ABDM BCBM 4 3232 ；12 12 12 21 12 21第 4 题解图如解图 ，设 AE 与 BD 交于点 O，过 D 作 DHAE 于点过 B 作 AAE，则 S 四边形 ABEDS AEDS ABE AEDH AEBG AEBD.12 12 12AE BD，S 四边形 ABED AE2，12当 AE 最大，且 BDAE 时，等号成立，四边形 ABED 的面积最大，此时延长 AC 交C 于 E，则 AE 最大为 5 16，四边形 ABED 的最大面积为 6218.12第 4 题解图