1、第五单元 四边形第 22 课时矩形、菱形、正方形基础达标训练1. (2017 兰州)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点O，ADB 30，AB4，则 OC( )第 1 题图A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 32. (2017 遂宁) 顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是( )A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形3. (2017 西宁)如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，OMAB 交 AD 于点 M，若 OM3，BC10，则 OB 的长为( )A. 5 B. 4 C. D. 342 34第 3 题图4. (2017 河南)如图，在ABCD
2、 中，对角线 AC，BD 相交于点O，添加下列条件不能判定ABCD 是菱形的只有( )第 4 题图A. ACBD B. ABBCC. ACBD D. 125. (2017 马鞍山一模)如图， 在正方形 ABCD 中，AB 2，延长AB 至点 E，使得 BE 1，EFAE，EFAE .分别连接 AF，CF ，M为 CF 的中点，则 AM 的长为( )A. 2 B. 3 C. D. 2 2114 262第 5 题图6. (2017 黔东南州)如图，正方形 ABCD 中， E 为 AB 的中点，FEAB，AF2AE ，FC 交 BD 于 O，则 DOC 的度数为( )第 6 题图A. 60 B. 6
3、7.5 C. 75 D. 547. (2017 河南)我们知道：四边形具有不稳定性如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O.固定点 A，B，把正方形沿箭头方向推，使点 D落在 y 轴正半轴上点 D处，则点 C 的对应点 C的坐标为( )A. ( ，1) B. (2，1) C. (1， ) D. (2， )3 3 3第 7 题图8. (2017 乌鲁木齐)如图，在菱形 ABCD 中，DAB60，AB2，则菱形 ABCD 的面积为_第 8 题图9. (2017 丹东)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，M 、
4、N 分别为边 AB、BC 的中点，连接 MN，若 MN1，BD2，则菱形的周长为_ 3第 9 题图10. (2017 崇左)如图，在边长为 2 的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形 ABCD，则四边形 ABCD 的周长是_第 10 题图11. (2017 黄冈)已知：如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，则 BED _度第 11 题图12. (2017 广东省卷)如图，矩形纸片 ABCD 中，AB5，BC 3，先按图操作：将矩形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折叠，使点 D 落在边 AB 上的点 E 处，折痕为 AF；再按图操作：沿过点 F 的直线折
5、叠，使点 C 落在 EF 上的点 H 处，折痕为FG，则 A、 H 两点间的距离为_第 12 题图13. (2017 十堰)如图，菱形 ABCD 中，AC，BD 交于点O，DE BC 于点 E，连接 OE，若ABC 140，则OED_第 13 题图14. (2017 天津)如图，正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1，点 F，G 分别在边 BC，CD 上，P 为 AE 的中点，连接PG，则 PG 的长为_第 14 题图15. (2017 哈尔滨 )四边形 ABCD 是菱形，BAD60 ，AB 6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 AC 上，若 OE ，则
6、 CE3的长为_16. (2017 芜湖二十九中一模)在矩形 ABCD 中，AB6，BC 8，AC，BD 相交于点 O，P 是边 BC 上一点，AP 与BD 交于点 M，DP 与 AC 交于点 N.第 16 题图若点 P 为 BC 的中点，则 AMPM21；若点 P 为 BC 的中点，则四边形 OMPN 的面积是 8；若点 P 为 BC 的中点，则图中阴影部分的总面积为 28；若点 P 在 BC 的运动，则图中阴影部分的总面积不变其中正确的是_(填序号即可)17. (10 分)(2017 沈阳)如图，在菱形 ABCD 中，过点 D 作DEAB 于点 E，作 DFBC 于点 F，连接 EF.求证
7、：(1) ADECDF；(2)BEFBFE .第 17 题图18. (10 分)(2017 蚌埠六中一模)已知：如图，在四边形 ABCD 中，点 G 在边 BC 的延长线上，CE 平分BCD， CF 平分GCD ，EF BC交 CD 于点 O.(1)求证： OEOF; (2)若点 O 为 CD 的中点，求证：四边形 DECF 是矩形第 18 题图能力提升拓展1. (2017 温州)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为 S 的小正方形EFGH.已知 AM 为 RtABM 较长直角边，AM 2 EF，则正方形2ABCD 的面积为( )A. 12S
8、 B. 10S C. 9S D. 8S第 1 题图2. (2017 亳州蒙城县模拟)如图，在矩形 ABCD 中，ABa，ADb，分别延长 AB 至 E，AD 至 F，使得AFAEc(b ac)，连接 EF，交 BC 于 M，交 CD 于 N，则AMN的面积为( )第 2 题图A. c(abc) B. c(bc a)12 12C. c(acb) D. a(bca)12 123. (2017 陕西)如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC3.若点 E是边 CD 的中点，连接 AE，过点 B 作 BFAE 交 AE 于点 F，则 BF的长为( )A. B. C. D. 3102 3105 105 3
9、55第 3 题图4. (2017 合肥西苑中学质量检测)如图，点 E 是矩形 ABCD 的边AD 的中点，且 BEAC 于点 F，则下列结论中错误的是( )第 4 题图A. AF CF 12B. DCF DFCC. 图中与 AEF 相似的三角形共有 4 个D. tanCAD225. (2017 东营)如图，已知菱形 ABCD 的周长为 16，面积为8 ， E 为 AB 的中点，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EPAP 的3最小值为_第 5 题图6. (2017 合肥西苑中学质量检测)如图，点 E，F 分别为正方形ABCD 的边 BC，CD 上一点，AC，BD 交于点 O，且EAF45，A
10、E，AF 分别交对角线 BD 于点 M，N，则有以下结论：AEB AEF ANM； EFBEDF；AOMADF； SAEF2S AMN，以上结论中，正确的是 _( 请把正确结论的序号都填上)第 6 题图7. (10 分)(2017 上海)已知：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ADCD，E 是对角线 BD 上一点，且 EAEC.(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(2)如果 BEBC，且CBEBCE 2 3，求证：四边形 ABCD是正方形第 7 题图教材改编题1. (沪科八下 P105C 组复习题第 3 题改编)如图，四边形 ABCD是菱形，点 O 是两条对角线的交点，过 O 点的三条直
11、线将菱形分成阴影部第 1 题图分和空白部分当菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8 时，则阴影部分的面积为_2. (10 分)(北师九上 P27 第 11 题改编)如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，连接 OE.过点 C作 BD 的平行线交线段 OE 的延长线于点 F，连接 DF.求证：(1) ODEFCE；(2)四边形 CODF 是菱形第 2 题图变式：(10 分) 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 BD 的平行线交 CD 的延长线于点 E.(1)求证： AEAC；(2)若 AE5，DE 3
12、，连接 OE，求 tanOEC 的值变式题图答案基础达标训练1. B 【解析】矩形 ABCD 中，AB4，ADB30，BAD90，BD 8， 矩形对角线相等且互相平分，OC AC BD4.12 122. B 【解析】如解图，由三角形中位线定理知，EF= AC，GH= AC， GHEF，四边形 EFGH 为平行四边形，12 12ACBD ， EH BD， EHEF，四边形 EFGH 为菱形12第 2 题解图3. D 【 解析】OM3，点 O 是 AC 的中点，且OMAB，OM 为ACD 的中位线，CD2OM6，AC2 ， O 为 AC 中点， 在 RtABC 中，OB ACAB2 BC2 341
13、2.故选 D.344. C 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析 正误A 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C 对角线相等的平行四边形是矩形 D 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 5. D 【解析】如解图，连接 AC，四边形 ABCD 是正方形，BAC45.EF AE，EF AE，AEF 是等腰直角三角形，EAF45，CAF90.AB BC 2，AC 2 ，EF AE ABBE21322 22 2，AF 3 ， CF 32 32 2 AC2 AF2 （22）2 （32）2， M 为 CF 的中点，AM CF .2612 262第 5 题解图6. A 【解
14、析】如解图，连接 BF， 点 E 为 AB 的中点 ，AB 2AE，EFAB，AF2AE，cos FAE ，FAE60，12点 E 为 AB 的中点，EF AB， EF 是线段 AB 的垂直平分线，AF BF，ABF 是等边三角形， ABF60，BFAB，四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABC 90 ，FBC ABF ABC150，BFBC， BCFBFC (18012150) 15，BD 是正方形 ABCD 的对角线，DBC45，DOCDBC BCF451560.第 6 题解图7. D 【解析】在 RtAOD中，AD 2，OA1，AD O30，DAO 60，由平行四边形的性质得：C
15、DAO 60，点 B 到 CD的距离为 BCsin602 ，点 C的坐标是(2， )32 3 38. 2 【 解析】如解图，过点 D 作 DEAB 于点 E，在菱形3ABCD 中， DAB60，AB2，ADAB2，在 RtAED 中， DE ADsinDAEAD sin602 ， S 菱形32 3ABCD ABDE2 2 .3 3第 8 题解图9. 8 【解析 】M、N 是菱形 ABCD 的两边 AB，BC 的中点，MN 是 ABC 的中位线，AC 2MN2，在菱形 ABCD 中，ACBD，AO AC 1，BO BD ， AB2， 菱形的周长为12 12 38.10. 8 8 【解析】如解图，
16、正八边形的每一个外角为2 45，即 DEFDFE45，D90.EF2，在 Rt3608DEF 中，DFEF sin452 ，DE ，同理，22 2 2CPCO BNBMAGAH ， 四边形 ABCD 的周长为：28 248 8.2 2第 10 题解图11. 45 【解析】四边形 ABCD 是正方形，AB AD， BAD90，ADE 为等边三角形，ADAE， DAEAED60，BAEBADDAE 150，ABAE，ABEAEB 15， BEDAED AEB45.12. 【解析】如解图，连接 AH，在矩形 ABCD 中，10AB5，BC 3， ADBC3，CDAB 5.根据折叠性质可得AEAD 3
17、，FHCF ，AF 平分DAE，EAF45，AEF 是等腰直角三角形，EF DFAE 3，FH CFCDDF532，EHEFFH321，AH .AE2 EH2 32 12 10第 12 题解图13. 20 【解析】四边形 ABCD 是菱形，OBOD BD，ABD CBD， ABC140， CBD 12ABC 70，DE BC，BDE 90CBD20，在 RtBDE12中， O 为 BD 的中点 BD，OEOD， OEDBDE20.1214. 【解析】如解图，过点 P 作 PHCD，垂足为点 H，则5PH 是梯形 AEGD 的中位线， PH 2，GH 1，在1 32 3 12RtPHG 中，由勾
18、股定理得，PG .GH2 PH2 12 22 5第 14 题解图15. 2 或 4 【解析】AB6，ACBD ，BAD60，3 3OC3 ， 当点 E 靠近点 A 时，如解图3，CE OCOE 4 ；当点 E 靠近点 C 时，如解图3，CE OCOE 2 .3第 15 题解图16. 【解析】四边形 ABCD 是矩形，ABC BCD90 ，ADBC，ADBC， ADMPBM， AMPMAD PB， 点 P 为 BC 的中点，BP BC AD，AM PM21，正确；由矩形性质得12 12BMPCNP.如解图，作 MGBC 于点 G，则 MGAB，PMGPAB， MGABPM PA1 3， MG A
19、B2， 四边形 OMPN 的13面积BOC 的面积MBP 的面积NCP 的面积 862 424，错误； 图中空白部分的面积DBP 的14 12面积ACP 的面积四边形 OMPN 的面积 46 46420，图中阴影部分的总面积矩形 ABCD 的12 12面积图中空白部分的面积862028，正确；P 在 B 时，阴影部分的面积 682428，错误综上，正确的有.12第 16 题解图17. 证明：(1)四边形 ABCD 是菱形，ADCD ， A C，DEAB， DFCB，AEDC FD90，在ADE 和CDF 中，A CAED CFDAD CD )ADECDF(AAS)；(2)四边形 ABCD 是菱
20、形，AB CB，由(1)得 ADECFD，AE CF，BE BF，BEFBFE.18. 证明：(1)CE 平分BCD，CF 平分 GCD，BCE DCE， DCF GCF，EFBC，BCE FEC，EFCGCF，DCEFEC， EFCDCF，OEOC ， OFOC ，OEOF；(2)点 O 为 CD 的中点，OD OC，又OEOF，四边形 DECF 是平行四边形，CE 平分 BCD，CF 平分GCD，DCE BCD，12DCF DCG，12DCEDCF (BCDDCG)90，即ECF90，12四边形 DECF 是矩形能力提升拓展1. C 【解析】设 AM2a，BM b，则 S 正方形ABCD
21、AB2 4a2b 2，由题意可知 EF(2a b)2(ab)b， AM2 EF， 2a2 b，a b， 正方形 EFGH 的面积2 2 2为 S，故 b2S ，S 正方形 ABCD4a 2b 29b 29S.2. A 【解析】四边形 ABCD 是矩形，EAF90， AEAFc ，EF45，FDN 与MBE 均为等腰直角三角形，BE BM ca，DF DN c b，ME (ca)，FN (cb)，2 2MN c (ca) (cb) a b c，RtEAF 斜边上2 2 2 2 2 2的高 h c， S22AMN MNh ( a b c) c c(abc) 12 12 2 2 2 22 123.
22、B 【解析】在矩形 ABCD 中，CD AB 2，AD BC 3，BADD90，点 E 是边 CD 的中点， DE CD1，在 RtADE 中，AE 12 AD2 DE2 32 12， BFAE，AFB 90， FAB ABF 90，FAB 10EAD 90，ABF EAD，ABFEAD， ，则ABEA BFAD ，解得 BF .210 BF3 31054. C 【解析】A. ADBC，AEFCBF， ，AE AD BC，AF CF，故 A 正确，不符AECB AFCF 12 12 12合题意；B. 如解图，过 D 作 DMBE 分别交 AC、BC 于点N、M ， DEBM，BE DM，四边形
23、 BMDE 是平行四边形，BMDE BC， BMCM，MN12为BCF 中线，CN NF， BEAC 于点F，DMBE，DN CF，DFDC，DCFDFC，故 B 正确，不符合题意；C.图中与AEF 相似的三角形有ACD， BAF，CBF， CAB，BEA 共有 5 个，故 C 错误；D. 设 ADa，ABb，由BAE ADC，有 ， a b， tanCAD ，故ba a2b 2 CDAD ba 22D 正确，不符合题意故选 C.第 4 题解图5. 2 【解析】如解图，过点 C 作 CFAB 于点 F，连接3CP， 菱形 ABCD 的周长为 16， AB4， 面积为8 ， ABCF8 ，解得
24、CF2 ，由勾股定理得 BF3 3 32，F 与 E 重合， CBE60. A，C 关于 BD 对称，BC2 CF2AP CP， APPEPCPECE，EP AP 的最小值为 CE2. 3第 5 题解图6. 【解析】如解图，把ADF 绕点 A 顺时针旋转90得到ABH，由旋转的性质得，BH DF， AHAF，BAHDAF，EAF 45，EAHBAH BAEDAFBAE90EAF45，EAHEAF45，在AEF 和AEH 中， ，AH AFEAH EAFAE AE )AEFAEH(SAS)，EF EH，AEBAEF，BEBHBEDF EF，故正确；ANMADB DAN45DAN，AEB90BAE
25、90(HAE BAH )90(45BAH )45BAH，ANMAEB， AEB AEF ANM，故 正确；ACBD，AOM ADF90，MAO45NAO， DAF45NAO，OAMDAF，故正确；如解图，连接 NE，MAN MBE45，AMNBME ， AMNBME， ， ， AMBEMN，AMBAMBM MNME AMMN BMMENME， AENABD45， EAN45 ， NAE NEA45，AEN 是等腰直角三角形，AE AN， AMNBME，2AFEBME， AMNAFE， ， EF MN，AB AO，S AEFS MNFE ANAE 12 2 2AHE HEAB EFAB MN A
26、O2 MNAO2S AMN，故12 12 12 2 2 12正确故答案为.第 6 题解图7. 证明：(1)由题意知：在DEA 和DEC 中，AD CDAE CEDE DE)DEADEC(SSS)，ADECDE，ADBC，CBDADB CDB，BCCDAD，又ADBC，四边形 ABCD 为平行四边形，ADCD ，平行四边形 ABCD 为菱形；(2)CBEBCE23，设CBE2x， BCE3x，BE BC，BEC BCE3x，在BEC 中，2x3x3x180，解得 x22.5，CBE BDC45 ，BCD90 ，又四边形 ABCD 是菱形，四边形 ABCD 为正方形教材改编题1. 12 【解析】根
27、据菱形的性质，结合图形面积的割补知阴影部分面积是菱形面积的一半，又菱形面积为 6824，阴影部12分面积为 12.2. 证明：(1)CFBD，ODE FCE，E 是 CD 中点，CEDE ，在ODE 和FCE 中，ODE FCECE DEDEO CEF)ODEFCE(ASA)；(2)由(1)知ODE FCE.OD FC，CFBD，四边形 CODF 是平行四边形，四边形 ABCD 是矩形，OCOD，四边形 CODF 是菱形拓展变式：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形，ACBD ， ABCD，又BDAE，四边形 ABDE 是平行四边形，AE BD，AE AC；(2)解： 如解图，过点 O 作 OFCD 于点 F，拓展变式题解图四边形 ABCD 是矩形，CDA90 ，AE AC5，CDDE3.易得 CFDF .32EF ，92在 RtADE 中，由勾股定理可得 AD4，OAOC ，OF 为ACD 的中位线，OF AD2.12在 RtOEF 中，tan OEC .OFEF 49