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2023年高考数学一轮复习《9.2椭圆》精练(含答案解析)

1、9.2椭圆题组一 椭圆定义及应用1(2022高三下广东月考)设P为椭圆上一点,分别是C的左,右焦点若,则()ABCD2(2021新高考)已知F1,F2是椭圆C: 的两个焦点,点M在C 上,则|MF1|MF2|的最大值为() A13B12C9D63(2022东北三省模拟)已知椭圆C:上的动点P到右焦点距离的最小值为,则()A1BCD4(2022柳州模拟)已知A(3,1),B(3,0),P是椭圆 上的一点,则 的最大值为 5(2022合肥模拟)已知的内角,的对边分别为,若, ,则面积的取值范围为 6(2022佛山模拟)若椭圆的焦点在y轴上,则实数k的取值范围是 .7(2022郑州模拟)已知椭圆的左

2、、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,椭圆上一点P满足|OP|3,则F1PF2的面积为 8(2022贵州模拟)设P为椭圆和双曲线的一个公共点,且P在第一象限,F是M的左焦点,则M的离心率为 , .9(2022株洲模拟)已知、是椭圆的两个焦点,M为椭圆上一点,若为直角三角形,则 10(2022奉贤模拟)已知曲线的焦距是10,曲线上的点到一个焦点的距离是2,则点到另一个焦点的距离为 .11(2021岳阳模拟)椭圆 的左、右焦点分别为 ,点P在椭圆上,如果 的中点在y轴上,那么 是 的 倍 12(2022新高考卷)已知椭圆C: C的上顶点为A,两个焦点为 离心率为 ,过 且垂直于 的直线与C交于D

3、,E两点, 则ADE的周长是 题组二 椭圆的标准方程1(2022安徽合肥)已知椭圆的右焦点为F,椭圆上的两点PQ关于原点对称,若6,且椭圆C的离心率为,则椭圆C的方程为( )ABCD2(2021四川自贡高三(文)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在y轴上,其面积为8,过点F1的直线l与椭圆C交于点A,B且F2AB的周长为32,则椭圆C的方程为( )ABCD3(2022云南)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的

4、焦点在轴上,且椭圆的离心率为,面积为,则椭圆的标准方程为( )ABCD4(2022海南)已知椭圆的两个焦点分别为,过的直线与交于,两点若,则椭圆的方程为( )ABCD5(2021山西太原五中高三(文)已知两定点、和一动点,若是与的等差中项,则动点的轨迹方程为( )ABCD6(2022陕西模拟)已知椭圆的离心率是,若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为,此时椭圆的方程是 题组三 椭圆的离心率1(2021芜湖模拟)已知方程 表示椭圆,且该椭圆两焦点间的距离为4,则离心率 () ABCD2(2022安徽模拟)一个底面半径为1,高为3的圆柱形容器内装有体积为的液体,当容器倾斜且其中液体体积不变时,

5、液面与容器壁的截口曲线是椭圆,则该椭圆离心率的取值范围是()ABCD3(2022枣庄模拟)已知点分别为椭圆的左、右焦点,点P为直线上一个动点若的最大值为,则椭圆C的离心率为()ABCD4(2022柯桥模拟)已知椭圆,则该椭圆的离心率()ABCD5(2023高三上江汉开学考)已知椭圆:的两个焦点为,过的直线与交于A,B两点.若,则的离心率为()ABCD6(2022岳阳模拟)已知椭圆 及圆O:,如图,过点与椭圆相切的直线l交圆O于点A,若 ,则椭圆离心率的为()ABCD7(2022湖南模拟)中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A,左顶点为B,左焦点为F已知 ,记该椭圆的离心率为e,则() ABCD8(

6、2022毕节模拟)已知,是椭圆的左、右焦点,是椭圆的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,则椭圆的离心率为()ABCD9(2022安徽模拟)已知椭圆)的左右焦点分别为和为C上一点,且的内心为,则椭圆C的离心率为()ABCD10(2022辽宁模拟)已知分别为椭圆的左,右焦点,直线与椭圆C的一个交点为M,若,则椭圆的离心率为 11(2022海宁模拟)如图,点F为椭圆的左焦点,直线分别与椭圆C交于A,B两点,且满足,O为坐标原点,若,则椭圆C的离心率 题组四 直线与椭圆的位置关系1(2022四川成都)已知椭圆,过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,O为坐标原点,若为锐角,则直线l的斜率k

7、的取值范围为()ABCD2(2022全国专题练习)直线与椭圆相交两点,点是椭圆上的动点,则面积的最大值为()A2BCD33(2022江苏省)椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为()ABCD4(2022全国高三专题练习)直线和曲线的位置关系为_.5(2022全国专题练习)不论为何值,直线与椭圆有公共点,则实数的范围是_.6(2022全国高二专题练习)椭圆上的点到直线的距离的最大值为_.7(2022全国单元测试)直线与椭圆相交于A、B两点,椭圆上的点P使PAB的面积等于12,这样的点P共有_个.8(2022云南)椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆经过点且长轴长为.(1)求椭圆的

8、标准方程;(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于,两点,求弦长.题组五 弦长及中点弦1(2022福建)已知直线,椭圆若直线l与椭圆C交于A,B两点,则线段AB的中点的坐标为()ABCD2(2021全国课时练习)已知双曲线方程,则以为中点的弦所在直线的方程是()ABCD3(2022湖南永州市第一中学 )已知椭圆的一个顶点为,直线与椭圆交于两点,若的左焦点为的重心,则直线的方程为()ABCD4(2022广东)斜率为的直线与椭圆相交于,两点,且过的左焦点,线段的中点为,的右焦点为,则的周长为_.5(2022上海市 )已知直线交椭圆于两点,且线段的中点为,则直线的斜率为_.6(2022全国高三专题练习)

9、已知椭圆()与直线交于A、B两点,且中点的坐标为,则此椭圆的方程为_7(2022江苏 )若椭圆的弦AB被点平分,则AB所在的直线方程为_8(2022河北 )已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,过点且斜率为的直线交椭圆于,两点,若是线段的中点,则椭圆的方程为 _9(2021黑龙江 )已知椭圆,过点作直线交椭圆于,两点,且点是的中点,则直线的方程是_.10 (2022湖南邵阳 )椭圆方程为椭圆内有一点,以这一点为中点的弦所在的直线方程为,则椭圆的离心率为_9.2椭圆9.2 椭圆题组一 椭圆定义及应用1(2022高三下广东月考)设P为椭圆上一点,分别是C的左,右焦点若,则()ABCD【答案】C【解

10、析】椭圆的长半轴长为3,由椭圆的定义可知 ,由 ,可得 故答案为:C2(2021新高考)已知F1,F2是椭圆C: 的两个焦点,点M在C 上,则|MF1|MF2|的最大值为() A13B12C9D6【答案】C【解析】由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6,则由基本不等式可得|MF1|MF2|,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故答案为:C3(2022东北三省模拟)已知椭圆C:上的动点P到右焦点距离的最小值为,则()A1BCD【答案】A【解析】根据椭圆的性质,椭圆上的点到右焦点距离最小值为,即 ,又,所以,由,所以;故答案为:A4(2022柳州模拟)已知

11、A(3,1),B(3,0),P是椭圆 上的一点,则 的最大值为 【答案】9【解析】根据题意可得: a=4,b=,c=3, 则点B为椭圆的左焦点,取椭圆的右焦点F(3,0),|PB|+|PF|=8,即|PB| =8-|PF|,即点A在椭圆内, |PA|+ |PB|= |PA|-|PF|+816,所以,而椭圆上的点到一个焦点距离是2,则点到另一个焦点的距离为;若曲线是焦点在y轴上的椭圆,则0a16,所以,舍去;若曲线是双曲线,则a2,不合题意,所以点P到上焦点的距离为2,则它到下焦点的距离.故答案为:或10.11(2021岳阳模拟)椭圆 的左、右焦点分别为 ,点P在椭圆上,如果 的中点在y轴上,那

12、么 是 的 倍 【答案】5【解析】由题得 , 由题得 轴,当 时, ,所以 ,所以 ,所以 是 的5倍.故答案为:512(2022新高考卷)已知椭圆C: C的上顶点为A,两个焦点为 离心率为 ,过 且垂直于 的直线与C交于D,E两点, 则ADE的周长是 【答案】13【解析】椭圆离心率为,则a=2c,可设C:, 则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c, 则AF1F2为正三角形,则直线DE的斜率, 由等腰三角形性质可得,|AE|=|EF2|, |AD|=|DF2|, 由 椭圆性质得ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a, 设D(x1,y1),E(x2,y2),直线DE为, 与椭

13、圆方程联立,得13x2+8cx-32c2=0, 则, 则, 解得, 即ADE的周长=4a=13 故答案为:13题组二 椭圆的标准方程1(2022安徽合肥)已知椭圆的右焦点为F,椭圆上的两点PQ关于原点对称,若6,且椭圆C的离心率为,则椭圆C的方程为( )ABCD【答案】A【解析】由椭圆的定义及椭圆的对称性可得由椭圆C的离心率为得,所以故选:A2(2021四川自贡高三(文)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在y轴上,其面积为8,过点F1的直线l与椭圆C交于点A,B且F2AB的周长为32,则椭圆C的方程为(

14、 )ABCD【答案】B【解析】焦点F1,F2在y轴上,可设椭圆标准方程为,由题意可得,即,F2AB的周长为32,4a32,则a8,故椭圆方程为故选:B3(2022云南)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上,且椭圆的离心率为,面积为,则椭圆的标准方程为( )ABCD【答案】D【解析】设椭圆的标准方程为(),焦距为,则:解得故选:D4(2022海南)已知椭圆的两个焦点分别为,过的直线与交于,两点若,则椭圆的方程为( )ABCD【答案】D【解析】,所以可得,又因为,所以可得,即为短轴的顶点,设为

15、短轴的上顶点,所以,所以直线的方程为:,由题意设椭圆的方程为:,则,联立,整理可得:,即,可得,代入直线的方程可得,所以,因为,所以,整理可得:,解得:,可得,所以椭圆的方程为:,故选:D5(2021山西太原五中高三(文)已知两定点、和一动点,若是与的等差中项,则动点的轨迹方程为( )ABCD【答案】B【解析】、,是与的等差中项,则,即,点在以、为焦点的椭圆上,因此,椭圆的方程是.故选:B.6(2022陕西模拟)已知椭圆的离心率是,若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为,此时椭圆的方程是 【答案】【解析】由已知,所以,则,设椭圆上的任一点的坐标为,则,若,则当时,由得,满足题意,此时,椭圆

16、方程为,若,则时,则,即,但时,无解综上,椭圆方程为故答案为:题组三 椭圆的离心率1(2021芜湖模拟)已知方程 表示椭圆,且该椭圆两焦点间的距离为4,则离心率 () ABCD【答案】B【解析】因为方程 表示椭圆,所以 , ,所以 ,所以 ,因为焦距为 ,所以 ,解得 ,所以 , 所以 故答案为:B2(2022安徽模拟)一个底面半径为1,高为3的圆柱形容器内装有体积为的液体,当容器倾斜且其中液体体积不变时,液面与容器壁的截口曲线是椭圆,则该椭圆离心率的取值范围是()ABCD【答案】C【解析】当液面倾斜至如图所示位置时, 设,.因为圆柱底面积为,故液体体积为,解得,即,故,所以,即,所以离心率,

17、即椭圆离心率的取值范围是.故答案为:3(2022枣庄模拟)已知点分别为椭圆的左、右焦点,点P为直线上一个动点若的最大值为,则椭圆C的离心率为()ABCD【答案】D【解析】根据对称性,不妨设点在第一象限且坐标为,如图,记直线与轴的交点为,设,则,由于,故,所以,所以,因为,当且仅当时等号成立,即时等号成立,所以,整理得,所以,解得,所以,即椭圆C的离心率为.故答案为:D4(2022柯桥模拟)已知椭圆,则该椭圆的离心率()ABCD【答案】C【解析】因为椭圆的方程为,即,故,又,故.故答案为:C.5(2023高三上江汉开学考)已知椭圆:的两个焦点为,过的直线与交于A,B两点.若,则的离心率为()AB

18、CD【答案】C【解析】设,则,. 由椭圆的定义可知,所以,所以,.在ABF1中,.所以在AF1F2中,即整理可得:,所以故答案为:C6(2022岳阳模拟)已知椭圆 及圆O:,如图,过点与椭圆相切的直线l交圆O于点A,若 ,则椭圆离心率的为()ABCD【答案】A【解析】由题意得是等边三角形,则直线的倾斜角为,其斜率为,故直线的方程为,代入椭圆方程整理得,其判别式,化简可得,则,又,所以,故答案为:A.7(2022湖南模拟)中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A,左顶点为B,左焦点为F已知 ,记该椭圆的离心率为e,则() ABCD【答案】C【解析】根据角平分线定理 , 结合 及离心率 有 ,化简得 设

19、 又 , ,当 时, 恒成立,故 在 上单调递减,所以 。故答案为:C.8(2022毕节模拟)已知,是椭圆的左、右焦点,是椭圆的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,则椭圆的离心率为()ABCD【答案】D【解析】由题知,所以直线的方程为, 因为,所以直线的倾斜角为,所以直线的方程为联立,解得,因为为等腰三角形,所以,即,整理得:所以椭圆的离心率为故答案为:D.9(2022安徽模拟)已知椭圆)的左右焦点分别为和为C上一点,且的内心为,则椭圆C的离心率为()ABCD【答案】D【解析】连接,延长交轴于,则,又,所以,故,即,又,所以,即.故答案为:D.10(2022辽宁模拟)已知分别为椭圆的

20、左,右焦点,直线与椭圆C的一个交点为M,若,则椭圆的离心率为 【答案】【解析】由题可知,为直角三角形,直线过原点,故, 又,则,在中,即,又,解得:或(舍去).故答案为:.11(2022海宁模拟)如图,点F为椭圆的左焦点,直线分别与椭圆C交于A,B两点,且满足,O为坐标原点,若,则椭圆C的离心率 【答案】【解析】由题知: 令连接,所以,且,从而故答案为:题组四 直线与椭圆的位置关系1(2022四川成都)已知椭圆,过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,O为坐标原点,若为锐角,则直线l的斜率k的取值范围为()ABCD【答案】C【解析】由题意设直线l的方程为,、,联立方程得,则,为锐角,则,即,

21、解得,又,故选:C2(2022全国专题练习)直线与椭圆相交两点,点是椭圆上的动点,则面积的最大值为()A2BCD3【答案】B【解析】由题意联立方程组 ,解得或,因为两点在椭圆上关于原点对称,不妨取 ,则 ,设过点C与AB平行的直线为 ,则与AB的距离即为点C到AB的距离,也就是的边AB上的高,当与椭圆相切时,的边AB上的高最大,面积也最大,联立,得: ,令判别式 ,解得 ,此时与间的距离也即是的边AB上的高为 ,所以的最大面积为 ,故选:B.3(2022江苏省)椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为()ABCD【答案】A【解析】设与已知直线平行,与椭圆相切的直线为 ,则所以 所以

22、椭圆上点P到直线的最短距离为 故选:A4(2022全国高三专题练习)直线和曲线的位置关系为_.【答案】相交【解析】曲线为:可得直线恒过,由知定点在椭圆内部,所以直线与椭圆的位置关系为相交.故答案为:相交.5(2022全国专题练习)不论为何值,直线与椭圆有公共点,则实数的范围是_.【答案】【解析】方法一: 把直线代入椭圆1,化为其中(注意这个坑),直线与椭圆1有公共点,恒成立,化简为上式对于任意实数都成立,解得实数的范围是 方法二:因为直线恒过定点所以代入得即因为是椭圆,所以故的取值范围是故答案为:6(2022全国高二专题练习)椭圆上的点到直线的距离的最大值为_.【答案】【解析】设与直线平行的直

23、线与椭圆相切,由得,由得,解得设直线与直线的距离为,当时,直线为,则,当时,直线为,则,因为,所以椭圆1上的点到直线的距离的最大值为.故答案为:7(2022全国单元测试)直线与椭圆相交于A、B两点,椭圆上的点P使PAB的面积等于12,这样的点P共有_个.【答案】2【解析】易知直线过点,则即为直线与椭圆交点,不妨设,设到直线的距离为,则,解得,作与直线平行且与椭圆相切的直线,设,联立椭圆方程化简得,由解得,则或,又因为与距离为,与距离为,故这样的点P共有2个.故答案为:2.8(2022云南)椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆经过点且长轴长为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点且斜率为1的直线

24、与椭圆交于,两点,求弦长.【答案】(1)(2)【解析】(1)由题意设椭圆的方程为,因为椭圆经过点且长轴长为,所以,所以椭圆方程为,(2)因为直线过点且斜率为1,所以直线的方程为,设,将代入,得,整理得,所以,所以题组五 弦长及中点弦1(2022福建)已知直线,椭圆若直线l与椭圆C交于A,B两点,则线段AB的中点的坐标为()ABCD【答案】B【解析】由题意知,消去y,得,则,所以A、B两点中点的横坐标为:,所以中点的纵坐标为:,即线段AB的中点的坐标为.故选:B2(2021全国课时练习)已知双曲线方程,则以为中点的弦所在直线的方程是()ABCD【答案】B【解析】设直线交双曲线于点、,则,由已知得

25、,两式作差得,所以,即直线的斜率为,故直线的斜率为,即.经检验满足题意故选:B.3(2022湖南永州市第一中学 )已知椭圆的一个顶点为,直线与椭圆交于两点,若的左焦点为的重心,则直线的方程为()ABCD【答案】B【解析】设,椭圆的左焦点为,点,且椭圆左焦点恰为的重心,两式相减得:将代入得:,即直线的斜率为,直线 过中点,直线的方程为所以直线的方程为.故选:B4(2022广东)斜率为的直线与椭圆相交于,两点,且过的左焦点,线段的中点为,的右焦点为,则的周长为_.【答案】【解析】由题意知:直线l的方程为,当时,所以,设,则则,整理得,所以,则的周长为.故答案为:.5(2022上海市 )已知直线交椭

26、圆于两点,且线段的中点为,则直线的斜率为_.【答案】【解析】由题意,设,因为的中点为,所以.又.于是,即所求直线的斜率为.故答案为:.6(2022全国高三专题练习)已知椭圆()与直线交于A、B两点,且中点的坐标为,则此椭圆的方程为_【答案】【解析】由于的中点坐标为且满足直线方程,即有,解得,则的中点坐标为设,由得,则,的中点坐标为,即,则,即,故,又,解得,故椭圆方程为故答案为:7(2022江苏 )若椭圆的弦AB被点平分,则AB所在的直线方程为_【答案】【解析】设直线与椭圆的交点为 为的中点, ;两点在椭圆上,则 两式相减得 ;则 ; ;故所求直线的方程为 ,即 ;故答案为:8(2022河北

27、)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,过点且斜率为的直线交椭圆于,两点,若是线段的中点,则椭圆的方程为 _【答案】【解析】根据题意,抛物线的焦点为,则椭圆的焦点在轴上,且,可以设该椭圆的标准方程为:,则,设点坐标为,点坐标为,有,可得:,又由直线的斜率为,则,的中点的坐标为,则、,代入中,可得,又由,则,故要求椭圆的标准方程为:;故答案为:9(2021黑龙江 )已知椭圆,过点作直线交椭圆于,两点,且点是的中点,则直线的方程是_.【答案】【解析】设,因为点是的中点,可得,由,两式相减得,即,所以直线的方程为,即.故答案为:.10(2022湖南邵阳 )椭圆方程为椭圆内有一点,以这一点为中点的弦所在的直线方程为,则椭圆的离心率为_【答案】【解析】设直线与椭圆交于,则.因为AB中点,则.又,相减得:.所以所以所以,所以,即离心率.故答案为:.