1、第五章 导数及其应用一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1已知，为的导函数，则的图像大致是()ABCD【解析】 ，为奇函数，则函数的图像关于原点对称，排除选项A、D，令，当，在递减，故选B【答案】 B2若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为()ABCD【解析】 因为函数，所以，设切点为，则切线方程为：，将点代入得，即，解得或，所以切点横坐标之和为，故选：D.【答案】 D3(2021河南省高三阶段练)已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是()ABCD【解析】 因为在区间上不是单调函数，所以在区间上有解，即在区间上有解令，则当时，；当时，故在上单调递减
2、，在上单调递增又因为，且当时，所以在区间上单调递增，所以，解得.故选：A【答案】 A4(2022四川省南充高级中学高三阶段练)已知函数在处取得极值0，则()A2B7C2或7D3或9【解析】 ，根据题意：，解得或，当时，函数单调递增，无极值点，舍去.当时，在和时，函数单调递增；在时，函数单调递减，故函数在出有极小值，满足条件.综上所述：.故选：B.【答案】 B5(2022陕西省宝鸡中学模拟)已知曲线与在区间上有两个公共点，则实数的取值范围是()ABCD【解析】 曲线与在区间上有两个公共点，即在区间上有两根，设，则，故当时，单调递增；当时，单调递减.又，故在区间上有两根则故选：A【答案】 A6(2
3、022四川省凉山三模)函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是()ABCD【解析】 由题意，函数，可得，若时，当时，可得，在上单调递减，此时函数在没有最小值，不符合题意；当时，令，即，即与的交点，画出函数与的图象，如图所示，结合图象，可得存在，使得，当时，单调递减；当时，单调递增，此时函数在上有最小值，符合题意，综上可得，实数a的取值范围是.故选：A.【答案】 A7(2022西北工业大学附属中学模拟)已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是()ABCD 【解析】 由得，令，若，则 ，此时在单调递增，在 单调递减，这与是的极小值点矛盾，故舍去.若，可知是的极大值点，故不符合题意.若，此时在
4、单调递增，在 单调递减，可知是的极大值点，故不符合题意.当 ，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极小值点，符合题意.若，在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.综上可知：故选：B【答案】 B8(2022安徽省亳州高三期末)已知，若时，恒成立，则的最小值为()ABCD【解析】 令，则在上恒成立，所以在上单调递减，因为，所以，因为，所以，两边取对数得，即，故，令，当时，当时，故在上取得最大值，故，综上：的最小值为.故选：C.【答案】 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9(2022广
5、东省信宜市第二中学高三开学考试)已知，下列说法正确的是()A在处的切线方程为B的单调递减区间为C的极大值为D方程有两个不同的解【解析】 对于A，由()，得，则，所以在处的切线方程为，所以A错误，对于B，由，得，所以的单调递减区间为，所以B正确，对于C，由，得，当时，当时，所以当时，取得极大值，所以C正确，对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，当时， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误，故选：BC【答案】 BC10(2022湖北省宜城市第一中学高三阶段练)已知则下列说法正确的有()A函数有唯一零点B函数的单调递减区间为C函数有极大值D若关于x的方程有三个不同的根则实数a的取值范
6、围是【解析】 由得：，即，故函数有唯一零点，由题可知：，设，则，由得：；由得；故在上单调递增在上单调递减，作出图象，并将的部分图象关于x轴对称可得的图象如下：观察图象可得函数的单调递减区间为，B错，函数在时有极大值，C对，方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是，D对，故选：ACD.【答案】 ACD11(2022广东省模拟)已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为()ABC1D【解析】 设，则，所以在上单调递增，所以，所以，又在上恒成立，所以在上单调递增，所以对恒成立，即恒成立令，当时，故，解得或，所以a的值可以为，故选：AD.【答案】 AD12已知定义域为的函数的图象连续不断，且，当时，若，
7、则实数的取值可以为()A1BCD1【解析】 依题意可得：，故，令，则，所以函数为奇函数，因为当时，即当时，故在上单调递减，由为奇函数可知，在上单调递减，因为，故，即，故，故，故实数的取值范围为.由选项可知：BCD正确；故选：BCD.【答案】 BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13(2022山东省模拟)已知直线与曲线相切，则_.【解析】 对求导，得，设切点为，则，解得，故答案为：3.【答案】 314(2022重庆八中模拟)写出一个具有性质的函数_.的定义域为；当时，.【解析】 由知，对数函数形式的函数满足要求，又由知，在定义城上是增函数，故符合题意，故答
8、案为：(答案不唯一).【答案】 (答案不唯一)15(2022江西省萍乡二模)已知函数是上的奇函数，且，若非零正实数满足，则的小值是_【解析】 因为函数为奇函数，可得，由，可得，又因为，可得，所以函数为单调递增函数，所以，即，即，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的小值是.故答案为：【答案】 16(2022辽宁省二模)若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为_.【解析】 ，其中，分离参数为，令，定义域为，有.令，则，所以在上单调递增，又，故存在，使得，可得函数f(x)的递增区间为(0，m)，递减区间为 ，有，可得：，故实数a的取值范围为1，+)【答案】 1，+)四、解答题：本大题共6小题，共
9、70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(2022天津市滨海新区塘沽第一中学三模)已知函数(1)若函数在点处的切线斜率为0，求a的值(2)当时设函数，求证：与在上均单调递增；【解析】 (1)的定义域为，依题意得，所以.(2)， ，因为当时，所以在上单调递增，且，故，即，在上单调递增；，而，在上单调递减，且，故，在上单调递增，且，故，即，函数在上单调递增；【答案】 (1)(2)见解析18(2022北京工业大学附属中学三模)已知函数(1)讨论函数在区间内的单调性；(2)若函数在区间 内无零点，求的取值范围【解析】 (1)， ()当，即时， ，在单调递减()当，即时， ，在单调递增()
10、当，即时，当时， ，单调递增；当时，单调递减综上所述，()当时，在单调递减()当时，在单调递增()当时，在单调递增，在单调递减(2)由(1)知：当时，即 ，在无零点当时，即，在无零点当时，在单调递增，在单调递减 ， 只需 即可即 ， 综上所述，【答案】 (1)见解析(2)19(2022吉林省长春模拟)已知函数，(1)当时，过做函数的切线，求切线方程；(2)若函数存在极值，求极值的取值范围【解析】 (1)由题，当时，设切点为，则，故切线方程为，又切线过，故，即，设，则，故为增函数.又，故有唯一解，故切点为，斜率为1，故切线方程为，即；(2)因为，为减函数，故若函数存在极值，则在区间上有唯一零点设
11、为，则，即，故极值，设，则，故为增函数，故，故，即，故极值的取值范围【答案】 (1)(2)20(2022北京市十一学校高三阶段练)已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)判断函数的极值点的个数，并说明理由.【解析】 (1)当时，定义域为，.因为，所以.所以在点处的切线方程为：，即.(2)函数定义域为，.当时，显然无极值点；当时，所以在上单调递增，故此时无极值点.当时，令，解得或，或时，时，所以在和上单调递增，在上单调递减，故此时有两个极值点.当时，令，解得或，或时，时，所以在和上单调递增，在上单调递减，故此时有两个极值点.当时，令，解得或，或时，时，所以在和上单调递增，在上单调递减，
12、故此时有两个极值点.综上：当或时，无极值点；当或或时，有两个极值点.【答案】 (1)(2)综上：当或时，无极值点；当或或时，有两个极值点.21(2022西北工业大学附属中学模拟)已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若对、，使恒成立，求a的取值范围.【解析】 (1)的定义域为，设，则，所以在上为增函数，所以当时，即，所以在上单调递增；当时，即，所以在上为减函数.综上可得，的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)对，使恒成立，即对，成立.由(1)知在0，1上单调递减，在1，2上单调递增，所以，为和中的较大者，又，得.，即.在0，2上，即，解之，得或，对，使恒成立时，a的取值范围为.【答案】 (
13、1)的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)22(2022福建省南平三模)已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证：函数有两个零点，且.【解析】 (1)定义域为，当时，在上单调递增；当时，由得，当时，单调递减，当时，单调递增；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)当时，因为，所以，无零点.当时，由，得，即，设，则有，因为在上成立，所以在上单调递减，当时，所以等价于，即，所以的零点与在上的零点相同.若，由(1)知在上单调递减，在上单调递增，又， ，所以在和上各有一个零点，即在上有两个零点，综上有两个零点.不妨设，则，相减得，设，则，代入上式，解得，所以，因为，所以，因此要证，只需证，即证，设，则，所以在递增，即，因为，所以可化成，又因为，所以.【答案】 (1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)证明见解析