1、第九章数列一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，成等差数列，则( )ABCD5【解析】 设等比数列的公比为， ，故由题意可得： ，解得，故选：A【答案】 A2已知是数列的前项和，且满足，则()ABCD【解析】 由已知可得，当时，由可得，两式作差可得，则，所以，数列从第二项开始成以为公比的等比数列，则.故选：D.【答案】 D3已知数列，都是等差数列，且，则的值为()A-17B-15C17D15【解析】 因为数列，都是等差数列，设数列，的公差分别为，又，且，则，即，所以，故选：D.【答案】 D4在等比数列中，则( )ABCD2【解析】，等比
2、数列中，而，【答案】A5(2022福建省龙岩第一中学高三(上)期中)已知公差不为0的等差数列的第4，7，16项恰好分别是某等比数列的第4，6，8项，则该等比数列的公比是( )ABC或D【解析】 设等差数列的公差为，因为等差数列的第4，7，16项恰好分别是某等比数列的第4，6，8项，可得，即，解得，所以，所以等比数列的公比为，所以.【答案】 C6(2022山东省聊城市高三(上)期中)设数列满足，则数列的前n项和为( )ABCD【解析】 由题得(1)，又 (2)，(2)-(1)得适合.所以，所以数列是以为首项，以的等比数列，所以.【答案】 C7(2022福建省漳州第一中学高三第五次阶段考)等差数列
3、的前项和为,且，.设，则当数列的前项和取得最大值时, 的值为A23B25C23或24D23或25【解析】 ，等差数列的公差，且，则，且，由，知的前23项为正数，为负数，为正数，从第27项起各项都为负数，而与是绝对值相等，符号相反，相加为零，之后越来越小，所以数列的前项和取得最大值时,的值为，故选D.【答案】 D8用数学归纳法证明时，由k到k+1，不等式左边的变化是()A增加项B增加和两项C增加和两项同时减少项D以上结论都不对【解析】 时，左边，时，左边，由“”变成“”时，两式相减可得 ，故选C.【答案】 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
4、求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9(2022福建龙岩一模)已知数列的前n项和为，则下列选项正确的是()A数列的奇数项构成的数列是等差数列B数列的偶数项构成的数列是等比数列CD【解析】 因为，所以,，,，,，可以看出：偶数项为常数列，可看作是以1为公比的等比数列，奇数项不是等差数列，故选：BC.【答案】 BC10(2022全国模拟)已知等比数列满足，公比，且，则()AB当时，最小C当时，最小D存在，使得【解析】 对A，又，故A正确.对B，C，由等比数列的性质， 故，故当时，最小，B错误，C正确；对D，当时，故，故D错误.故选：AC【答案】 AC11(2022河北省衡水中学高三
5、二模)已知等差数列的前项和为，若，则( )A BC取得最小值时等于5 D设，为的前项和，则【解析】 在等差数列中，因，则公差，则，A，B正确；，当且仅当，即时取“”，因，且，则取最小值时，等于6，C不正确；因，则，D正确.故选：ABD【答案】 ABD12(2022湖北一模)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是()A地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C八级地震释放的能量约为六级地震
6、释放的能量的1000倍D记地震里氏震级为n(n=1，2，9，10)，地震释放的能量为an，则数列an是等比数列【解析】 对于A：当时，由题意得，解得，即地震里氏震级约为七级，故A正确；对于B：八级地震即时，解得，所以，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B错误；对于C：六级地震即时，解得，所以，即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确；对于D：由题意得(n=1，2，9，10)，所以，所以，所以，即数列an是等比数列，故D正确；故选：ACD【答案】 ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13(2022吉林长春模拟)已知
7、数列中，且，其中，则_.【解析】 因为，所以当时，有，得：，因为，所以，显然，即，于是有，于是当时，所以数列是以为周期的周期数列，因为，所以，故答案为：【答案】 14(2022宁夏银川市第二中学高三一模)我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，则_；如果对折次，则_.【解析】 因为
8、，所以，所以.故答案为： ；【答案】 15(2022四川省南充高级中学高三第三次月考)等比数列的前n项和为，则数列的前n项和为_【解析】 依题意，等比数列的前n项和为，则，设等比数列的公比为，则，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的前n项和为.故答案为：【答案】 16(2022陕西周至一模)在庄子天下中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点、，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点、，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，记第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，第个正方形的面
9、积为，则前个正方形的面积之和为_【解析】 设第个正方形的边长为，由题意可得，且，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，前个正方形的面积之和为.故答案为：.【答案】 四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(2022吉林省实验中学高三第三次学科诊断)已知数列的前n项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和为.【解析】 (1)因为，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以.(2)由(1)知，所以，则，由-可得，所以.【答案】 (1)；(2).18(2022
10、重庆市育才中学高三二诊)已知，数列满足，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【解析】 (1)因为，即，所以，以上各式相加得，又，所以.当时，故的通项公式为.(2)由(1)知，则，故.【答案】 (1) (2)19(2022重庆市第八中学高三第三次调研检测)已知正项等比数列的前项和为，是和的等差中项，且.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，且的前项和为，求使得成立的的最小值.【解析】 (1)，.，(2)，.，数列为单调递增，当时，.当时，.【答案】 (1)， (2)20(2022西南大学附属中学校高三第六次月考)已知数列的前项和为，且，是公差不为0的等差数列，且成等比数列，成等差数
11、列(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和【解析】 (1)当，两式相减可得由，代入可得，满足，所以为等比数列，不妨设等差数列公差为，由条件可得，即，解得，所以(2)由(1)可知.【答案】 (1)； (2)21(2022四川省成都市石室中学高三专家联测卷(二)已知数列的前n项和为，且(n为正整数)(1)求数列的通项公式；(2)若对任意正整数n，恒成立，求实数k的最大值【解析】 (1)因为，所以由-，得，所以又因为，解得，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，所以.(2)由(1)知，数列的前n项和.由题意可知，对于任意的正整数n，恒有因为数列单调递增，所以当时，最小，最小值为1所以必有，所以实数k
12、的最大值为1【答案】 (1) (2)122(2022辽宁省大连市第二十四中学等校高三联合模拟)己知等差数列的公差为正实数，满足，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若，且_，求数列的前项和为，以下有三个条件：；从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列为等比数列，并根据题意解决问题.【解析】 (1)设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，解得(负值舍去)，所以，所以；(2)选，由，当时，当时等式也成立，所以，则，所以，则，两式相减得，所以.选，由，当时，所以，所以数列为以1为首项2为公比的等比数列，所以，则，以下步骤同.选，由，得，两式相减得：，又，所以数列为以1为首项2为公比的等比数列，所以，则，以下步骤同.【答案】 (1) (2)