1、第十二章圆锥曲线一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆上有两点，(点A在x轴上方)，满足，若，则直线的斜率为( )ABC2D3【解析】 因为，所以设，则有，根据椭圆定义：，可知：，因为，所以，即，解得：，所以，在中，即为直线的斜率，又，所以直线的斜率为2.故选：C.【答案】 C2已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若且线段的长为，则该椭圆方程为( )ABCD【解析】 设椭圆的半焦距为，因为点在以线段为直径的圆上，所以.又因为，所以.又因为，所以是等腰直角三角形，于是也是等腰直角三角形，得，解得，得，
2、所以椭圆方程为.故选：D.【答案】 D3(2022重庆市第八中学高三(下)第一次调研检测)已知双曲线的左右焦点分别为，实轴长为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值时，该双曲线的渐近线方程为( )ABCD【解析】 因为双曲线的实轴长为，所以，由双曲线的定义可得：，则，所以，当且仅当三点共线时取等号，如图，与渐近线垂直时，取得最小值，因为，所以，可得，所以双曲线的渐近线方程为：，故选：D. 【答案】 D4(2022天津市第一中学高三第三次月考)在平面直角坐标系中，双曲线：的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，与轴的交点为，则的离心率为( )ABCD【解析】 由
3、双曲线的对称性，不妨设在轴的上方，因为过且垂直于轴，故，所以直线，整理得到，故.因为，故，整理得到，所以即，故.故选：B.【答案】 B5(2022四川省成都市石室中学高三专家联测卷(二)已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为ABCD【解析】 曲线右焦点为，周长 要使周长最小，只需 最小，如图所示，当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a=，故选B【答案】 B6(2022陕西省西安中学高三二模)已知双曲线：(，)的上、下顶点分别为，点在双曲线上(异于顶点)，直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为( )ABCD【解析】 设点，又，则 ，所以，又因为点在双曲线上得，所以，
4、故，所以，则双曲线的渐近线方程为.故选：B【答案】 B7(2022湖南省雅礼中学高三第六次月考)已知抛物线()与双曲线(，)有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是ABCD【解析】 因为抛物线与双曲线焦点相同，所以，因为与x轴垂直，所以可求得点A的坐标为，将其代入双曲线方程可得：，因为，代入上式可得：，化简得：，两边同时除以得：，解得或(舍)，设渐近线斜率为k，由，解得，所以倾斜角应大于，所以区间可能是，故选B.【答案】 B8(2022四川省成都市石室中学高三二模)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，
5、则直线OM的斜率的最大值为( )A1BCD【解析】 因为，设，显然当时，当时，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时，设，因为，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，则，当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为.故选：C【答案】 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9(2022重庆市育才中学二模)已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )AB当离心率为时，的最大值为C椭圆C离心率的取值范围为D存在点Q使得【解析】 由长轴长为4
6、，故，由点Q在椭圆上，根据椭圆的定义得，故A正确；当离心率为时，可得，则的最大值为.故B正确；点在椭圆内部，故，椭圆C离心率为，故选项C不正确； 由选项C知， 故不存在点Q使得，选项D错误.故选：AB.【答案】 AB10(2022江苏省苏州中学等四校高三(下)期初联合检测)设为双曲线C：的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，直线l：为双曲线C的一条渐近线，则( )AB弦PQ长的最小值为6C存在点P，使得D点P到直线m：距离的最小值为1【解析】 由题知，a1，渐近线，c2，故A正确；|PQ|为双曲线右支上的焦点弦，则其为通径，即与x轴垂直时最短，故B正确；根据双曲线定义知，在右支上
7、存在点P，即当P为双曲线右顶点时，取最小值3，故C正确；直线m和双曲线的渐近线平行，故双曲线上点P到直线m的距离没有最小值，故D错误.故选：ABC.【答案】 ABC11(2022海南省嘉积中学高三(下)四校联考)设分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若为正三角形，则( )AB双曲线的离心率C双曲线的焦距为D的面积为【解析】 在正三角形中，由双曲线的对称性知，由双曲线定义有：，因此，即半焦距，则，A正确；双曲线的离心率，B正确；双曲线的焦距，C不正确；的面积为，D正确.故选：ABD【答案】 ABD12(2022湖南省衡阳市第八中学高三第五次月考)抛物线有如下光学性质：由其焦点射
8、出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q下列说法正确的是( )A若，则B若，则C若，则平分D若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线【解析】 如图，若，则，C的焦点为，则，选项A正确；延长交直线于点M，则，M，B，Q三点共线，选项D正确；若，则，C的焦点为，直线，可得，选项B不正确；时，因为，所以又，所以平分，选项C正确故选：ACD.【答案】 ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2
9、0分把答案填在题中的横线上13(2022黑龙江省哈三中高三一模)椭圆内，过点且被该点平分的弦所在的直线方程为_【解析】 设直线与椭圆的两个交点为，因为在椭圆上，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以的方程为：，即，故答案为：.【答案】 14(2022浙江省名校协作体高三(下)3月联考)已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，则此双曲线离心率的取值范围为_【解析】 设、的内切圆圆心分别为、，设圆切、分别于点、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，由切线长定理可得，所以，则，所以点的横坐标为.故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴，
10、故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.在中，所以，所以，则，所以，即，所以，可得，可得，则，因此，.故答案为：.【答案】 15(2022黑龙江省鹤岗市第一中学高三(上)期末)已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共焦点，是它们在第一象限的交点，且，则的最小值为_【解析】 由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，在双曲线的右支上，由椭圆的定义，由双曲线的定义，所以有，因为，由余弦定理可得，整理得，所以，当且仅当时取等号，故答案为：【答案】 16(2022河北省衡水中学高三六调)如图，已知抛物线及两点和，其中.过、分别作轴的垂线，交抛物线于、两点，直线与轴交于点，此时就称、确定了.依此
11、类推，可由、确定、.记，、.给出下列三个结论：数列是递减数列；对任意，；若，则.其中，所有正确结论的序号是_【解析】 由题意知，直线的斜率为，则直线的方程为，令，则，即，在等式两边取倒数得.，由此可得出，命题正确；，则，由知，对任意的，即数列是单调递减数列，命题正确；若，则，命题正确.故答案为：.【答案】 .四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(2022重庆市育才中学高三(下)入学考试)已知抛物线的焦点为点在上， (1)求;(2)过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由【解析】 (1)因为
12、点在上，所以 ，因为，所以由焦半径公式得 ，由解得，所以(2)由(1)知抛物线的方程为，焦点坐标为，当直线与轴平行时，此时的方程为，的方程为，此时为等腰直角三角形且，故.当直线与轴不平行且斜率存在时，若为定值，则定值比为，下面证明.要证明，只需证明，只需证，即，设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，联立方程得，设，则，所以，联立方程得，所以，所以，所以，即，所以.综上，为定值，.【答案】 (1) ；(2)是定值，.18(2022重庆市育才中学高三第五次适应性考试)离心率为的椭圆C：的左、右焦点分别为，过右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点(A，B均不为椭圆的顶点)，直线分别交
13、y轴于M，N两点，.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，求.【解析】 (1)由椭圆的离心率，可得，又由椭圆的右焦点，可得，所以，则，所以椭圆的方程为.(2)设直线，且，联立方程组，整理得，可得，由，则有，故，同理，则，由，可得，可得整理的，解得或，又由椭圆的定义，可得，当时，可得；当时，可得.【答案】 (1) (2)或19(2022西南大学附属中学校高三第六次月考)已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点.【解析】
14、(1)等轴双曲线的离心率为，椭圆的离心率，又直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切，即，可得，即，则椭圆的方程为：；(2)若直线的斜率不存在，设方程为，则点，由，即，解得，此时直线的方程为；若直线的斜率存在，设的方程为，由题意可得，设，则，整理可得：，且，由，可得，即，即，故直线的方程为，即直线过定点，综上所述：直线过定点【答案】 (1) (2)答案见解析20(2022云南省师范大学附属中学高三第七次月考)已知抛物线：，焦点为F，点是上任一点(除去原点)，过点P作的切线交准线于点Q(1)求抛物线在处的切线方程；(2)若点在第一象限，点R在准线上且位于点Q右侧证明：；求面积的最小值【
15、解析】 (1)由得，则切线斜率为，故切线方程为，即(2)设，由(1)得切线斜率为所以，且切线为，即令得，即当时，；，满足当时，所以因为在第一象限，所以，故综上，由得，点到切线的距离为，所以，令，则，所以当，；当，故当时，取最小值所以当时，取最小值【答案】 (1) (2) 证明见解析；21(2022北京市北京大学附属中学高三2月开学考试)已知椭圆C：的左右焦点分别为，且短轴上的一个顶点和构成边长为2的等边三角形.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设为椭圆C的左顶点，若过点的直线l与椭圆C交于PQ两点，直线分别与直线交于点MN，且，求直线l的方程.【解析】 (1)由题意可得：，解得：，所以椭圆C
16、的方程为，离心率.(2)由题意，要构成，则直线l的斜率不为0.可设直线l的.设，则，消去x，可得：，所以.所以设，所以.因为，所以.直线AP：，令x=2，解得.同理可求得：.所以.因为，所以.因为，所以，即，即，解得：，所以直线l的方程为：，即【答案】 (1)椭圆C的方程为，离心率 (2)22(2022海南省嘉积中学高三(下)四校联考)如图所示，已知圆，点，点为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点.(1)当点在圆上运动时，求点的运动轨迹的方程；(2)判断直线和曲线的位置关系，并给出证明.【解析】 (1)点在线段的垂直平分线上，.又点在半径上，且圆半径为.故当点在圆上运动时，点满足，即点的运动轨迹为以为焦点的椭圆，且，因此点的运动轨迹的方程为.(2)直线与椭圆相切，证明如下：若，此时或的方程为或，它们与椭圆相切，若或，此时的方程为或，它们与椭圆C相切，若，设点与点的中点为，直线斜率为，则其垂直平分线的斜率为，直线的方程为，即 ，又点在圆上， ，将代入得直线：，由，得，判别式， 将代入解得，所以直线与椭圆相切，综上所述：直线与椭圆相切.【答案】 (1) (2)直线与椭圆相切，证明见解析.