1、第八章平面向量一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1已知向量，且，则一定共线的三点是()AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，D【解析】 因为，选项A，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；选项B，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项C，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项D，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；故选：A.【答案】 A2已知非零向量、满足，则向量与向量夹角的余弦值为()ABCD【解析】 因为，所以可设，则，因为，所以，即.则，故选：A.【答案】 A3(2022北京工业大学附属
2、中学三模)已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为()AB2CD2【解析】 如图，设，当时，取得最小值，过作，即取得最小值为，因为与的夹角为，所以，所以.故选：A.【答案】 A4(2022内蒙古海拉尔第二中学高三期末)已知平面向量、满足，且与的夹角为，若，则的最小值为( )A1BCD【解析】 如图所示，设，则，可令，则，点在上，因为与的夹角为，则，当时，线段最短，此时取最小值，即.故选：C.【答案】 C5(2022江苏南京市天印高级中学模拟)已知平面向量，满足，且与的夹角为，则()ABCD3【解析】 因为，且与的夹角为，所以，故选：C【答案】 C6(2022江苏淮安模拟)已知，在上
3、的投影为1，则在上的投影为()A-1B2C3D【解析】 因为，在上的投影为1，所以，即；所以在上的投影为；故选：C.【答案】 C7(2022重庆八中模拟)中，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为()ABCD【解析】 由题可知，所以是直角三角形，设内切圆半径为，则，解得，设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，所以，则，所以，因为M为边上的动点，所以；当与重合时，所以的取值范围是，故选：C【答案】 C8(2022四川成都七中模拟)在等腰梯形中，是腰上的动点，则的最小值为()AB3CD【解析】 如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得，设，其，则，所以，所以，所
4、以当时，取最小值，故选：C【答案】 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9(2022山东烟台二中模拟)中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结如图，五角星是由五个全等且顶角为36的等腰三角形和一个正五边形组成已知当时，则下列结论正确的为()ABCD【解析】 对于A，连接DH，如图，由DF=FH，得：，A正确；对于B，连接AF，由得：AF垂直平分DH，而，即，则，B正确；对于C，与不共线，C不正确；对于D，连接CH，BH，由选项
5、A知，而，则四边形是平行四边形，D不正确.故选：AB【答案】 AB10(2022东北育才双语学校模拟)已知向量，将向量绕原点逆时针旋转90得到向量，将向量绕原点顺时针旋转135得到向量，则()ABCD【解析】 由题意得，所以，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D正确，故选：BCD【答案】 BCD11(2022山东聊城三模)在平面四边形中，则()ABCD【解析】 因为，可得，所以为等边三角形，则 ，故A正确；因为，所以，又，所以 ，得，所以，则，故B正确；根据以上分析作图如下：由于与不平行，故C错误；建立如上图所示的平面直角坐标系，则，所以，故D正确；故选：ABD.【答案】 ABD12(20
6、22湖南长郡中学模拟)如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则()ABCD【解析】 由题意，分别以所在的直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为正八边形，所以，作，则，因为，所以，所以，同理可得其余各点坐标，对于A中，故A正确；对于B中，故B正确；对于C中，所以，故C正确；对于D中，故D不正确.故选：ABC.【答案】 ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
7、把答案填在题中的横线上13(2022安徽模拟)给出下列命题：若同向，则有；与表示的意义相同；若不共线，则有；恒成立；对任意两个向量，总有；若三向量满足，则此三向量围成一个三角形其中正确的命题是_填序号【解析】 对于，若同向，则与同向，所以，故正确；对于，与前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故不正确；对于，若不共线，则有，故不正确；对于，若，则，故不正确；对于，对任意两个向量，总有，故正确；对于，若三向量满足，若中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故不正确故答案为：【答案】 14(2022陕西交大附中模拟)已知在平行四边形中，则值为_【解析】 由题设可得如下图：，而，所以
8、，又，所以，则，故，可得，即.故答案为：【答案】 15(2022河北高三期中)如图，在等腰直角中，斜边，M为AB的中点，D为AC的中点，将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则_【解析】 连接MD，由于为等腰直角三角形，因此MD=BC=，故答案为：.【答案】 #16(2022山东师范大学附中模拟)边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_.【解析】 如下图所示：设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，当为正方形的某边的中点时，当与正方形的顶点重合时，即，因此，.故答案为：.【答案】 四、解答题：本大题共6小题，共70分
9、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标【解析】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为3c，所以3c(3，24)(3，4)(0，20)所以M(0，20)又因为2b，所以2b(12，6)(3，4)(9，2)，所以N(9，2)所以(9，18)【答案】 (1) (6，4
10、2) (2) m1，,n1 (3) (9，18)18已知向量，若，求：(1)实数m的取值范围；(2)函数定义域.【解析】(1)由题意得，即m的取值范围为；(2)由题意知，即，由(1)知，根据指数函数的单调性得：，解得或，所以函数的定义域为.【答案】(1)；(2).19已知两个不共线的向量a，b满足a(1，)，b(cos ，sin )，R(1)若2ab与a7b垂直，求|ab|的值；(2)当时，若存在两个不同的，使得|ab|ma|成立，求正数m的取值范围【解析】(1)由条件知|a|2，|b|1，又2ab与a7b垂直，所以(2ab)(a7b)815ab70，所以ab1所以|ab|2|a|22ab|b
11、|24217，故|ab|(2)由|ab|ma|，得|ab|2|ma|2即|a|22 ab3|b|2m2|a|2，即42ab34m2，72(cos sin )4m2所以4sin4m27由，得，因为存在两个不同的满足题意，所以数形结合知4sin6，4)，即64m274，即m2，又m0，所以m即实数m的取值范围为【答案】 (1) (2) 20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影【解析】(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB
12、)sin B，所以cos A.因为0Ab，所以AB，则B，由余弦定理得52c225c，解得c1.故向量在方向上的投影为|cos Bccos B1.【答案】 (1) (2) 21在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(1，0)，|1，且AOC，其中O为坐标原点(1)若，设点D为线段OA上的动点，求|的最小值；(2)若，向量m，n(1cos ，sin 2cos )，求mn的最小值及对应的值【解析】 (1)设D(t，0)(0t1)，由题意知C，所以，所以|2tt2t2t1，所以当t时，|最小，为(2)由题意得C(cos ，sin )，m(cos 1，sin )，则mn1cos2sin
13、22sin cos 1cos 2sin 21sin，因为，所以2，所以当2，即时，sin取得最大值1所以mn的最小值为1，此时【答案】 (1) (2) mn的最小值为1，此时22在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m(cos B，2cos2 1)，n(c，b2a)，且mn0(1)求C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足，|，c2，求ABC的面积【解析】 (1)因为m(cos B，cos C)，n(c，b2a)，mn0，所以ccos B(b2a)cos C0，在ABC中，由正弦定理得sin Ccos B(sin B2sin A)cos C0，sin A2sin Acos C，又sin A0，所以cos C，而C(0，)，所以C(2)由知，所以2，两边平方得4|2b2a22bacos ACBb2a2ba28又c2a2b22abcos ACB，所以a2b2ab12由得ab8，所以SABCabsin ACB2【答案】 (1) (2) 2