1、专题18 解三角形（5）实际应用问题一、 典例分析题型五：利用正余弦定理解决实际应用问题1（2021乙卷）魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高如图，点，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高A表高B表高C表距D表距2（2014四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的高度是，则河流的宽度等于ABCD3（2014上海）某货船在处看灯塔在北偏东方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达处，看到灯塔在北偏东方向，
2、此时货船到灯塔的距离为海里4（2014新课标）如图，为测量山高，选择和另一座的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高5（2014四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度约等于（用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：，6（2021甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，三点，且，在同一水平面上的投影，满足，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约
3、为A346B373C446D473二、真题集训1（2015上海）如图，三地有直道相通，千米，千米，千米现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）甲的路线是，速度为5千米小时，乙的路线是，速度为8千米小时乙到达地后原地等待设时乙到达地（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米当时，求的表达式，并判断在，上的最大值是否超过3？说明理由2（2014上海）如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设点、在同一水平面上，从和看的仰角分别为和（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
4、（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，求的长（结果精确到0.01米）3（2013江苏）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？典例分析答案题型五：利用正余弦定理解决实际应用问题1（2021乙卷）魏晋时期刘徽撰写的海
5、岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高如图，点，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高A表高B表高C表距D表距分析:根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出解答:解：，故，即，解得，故表高故选：点评:本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2（2014四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的高度是，则河流的宽度等于ABCD分析:由题意画出图形，由两角差的正切求出的正切
6、值，然后通过求解两个直角三角形得到和的长度，作差后可得答案解答:解：如图，在中，又，在中，河流的宽度等于故选：点评:本题给出实际应用问题，求河流在、两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题3（2014上海）某货船在处看灯塔在北偏东方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达处，看到灯塔在北偏东方向，此时货船到灯塔的距离为海里分析:由题意利用方位角的定义画出示意图，再利用三角形，解出的长度解答:解：由题意画出图形为：因为，所以，又由于某船以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到，所以（海里）在中，利用正弦定理得：，所以；故答案为
7、：【点评:此题考查了学生对于题意的正确理解，还考查了利用正弦定理求解三角形及学生的计算能力4（2014新课标）如图，为测量山高，选择和另一座的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高分析:中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得；中，由条件利用正弦定理求得；中，根据，计算求得结果解答:解：中，中，由正弦定理可得，解得中，故答案为：150点评:本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题5（2014四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度约等于（用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：，分析:过点作垂直于
8、的延长线，垂足为，分别在、中利用三角函数的定义，算出、的长，从而可得，即为河流在、两地的宽度解答:解：过点作垂直于的延长线，垂足为，则中，根据正弦定理，得故答案为：点评:本题给出实际应用问题，求河流在、两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题6（2021甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，三点，且，在同一水平面上的投影，满足，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为A346B373C44
9、6D473分析:本题要注意各个三角形不共面，在每个三角形中利用正弦定理求边长，进而找到高度差解答:解：过作于，过作于，则，则在中，在中，由正弦定理知，故选：点评:理解仰角的概念，各个三角形不共面，因此做好辅助线是关键真题集训答案1（2015上海）如图，三地有直道相通，千米，千米，千米现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）甲的路线是，速度为5千米小时，乙的路线是，速度为8千米小时乙到达地后原地等待设时乙到达地（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米当时，求的表达式，并判断在，上的最大值是否超过3？说明理由解：（1）由题意可得，设此时甲运
10、动到点，则千米，千米；（2）当时，乙在上的点，设甲在点，当时，乙在点不动，设此时甲在点，当时，故的最大值没有超过3千米2（2014上海）如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设点、在同一水平面上，从和看的仰角分别为和（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，求的长（结果精确到0.01米）解：（1）设的长为米，则，即，解得，即的长至多为28.28米（2）设，则，由正弦定理得，即，答：的长为26.93米3（2013江苏）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径一种是从沿
11、直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：（1）在中，因为，所以，从而由正弦定理，得答：索道的长为（2）假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，所以由余弦定理得，因，即，答：当时，甲、乙两游客距离最短（3）由正弦定理，得，乙从出发时，甲已经走了，还需走才能到达设乙步行的速度为，由题意得，解得，答：为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在范围内