1、专题17 解三角形（4）范围、最值问题一、 典例分析题型四：范围、最值问题1（2018江苏）在中，角，所对的边分别为，的平分线交于点，且，则的最小值为2（2014重庆）已知的内角，满足，面积满足，记，分别为，所对的边，在下列不等式一定成立的是ABCD3（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成的角）若，则的最大值是A BCD4（2014江苏）若的内角满足，则的最小值是5（2020浙江）在锐角中，角，所对的边分别为，已知（）求角的大小；（）求的取
2、值范围6（2020新课标）中，（1）求；（2）若，求周长的最大值二、真题集训1（2016北京）在中，（）求的大小；（）求的最大值2（2015湖南）设的内角、的对边分别为、，且为钝角（）证明：；（）求的取值范围3（2013江西）在中，角，所对的边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围4（2013重庆）在中，内角、的对边分别是、，且（）求；（）设，为的面积，求的最大值，并指出此时的值5（2013福建）如图，在等腰直角中，点在线段上，（）若，求的长；（）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值6（2013新课标）在内角、的对边分别为，已知（）求；（）若，求面积的
3、最大值典例分析答案题型四：范围、最值问题1（2018江苏）在中，角，所对的边分别为，的平分线交于点，且，则的最小值为分析：根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可解答：解：由题意得，即，得，得，当且仅当，即时，取等号，故答案为：9点评：本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键2（2014重庆）已知的内角，满足，面积满足，记，分别为，所对的边，在下列不等式一定成立的是ABCD分析：根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论解答：解：的内角，满足，化为，设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，由，及正弦定理得，即，面积满足
4、，即，由可得，显然选项，不一定正确，即，正确，即，但，不一定正确，故选：点评：本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题3（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成的角）若，则的最大值是ABCD分析：在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，过作，交于点，连接，利用锐角三角函数定义表示出，设，则，利用锐角三角函数定义表示出，利用勾股定理表示出，表示出，
5、即可确定出的值解答：解：，过作，交于，连接，则，设，则，由，得，在直角中，令，则函数在，单调递减，时，取得最大值为，若在的延长线上，在直角中，令，则可得时，函数取得最大值，则的最大值是故选：点评：此题考查了正弦定理，锐角三角函数定义，以及解三角形的实际应用，弄清题意是解本题的关键4（2014江苏）若的内角满足，则的最小值是分析：根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论解答：解：由正弦定理得，得，由余弦定理得，当且仅当时，取等号，故，故的最小值是故答案为：点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键5（2020浙江）在锐角中，角，所对的边分别为，已知
6、（）求角的大小；（）求的取值范围分析：（）根据正弦定理可得，结合角的范围，即可求出，（）根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出解答：解：（），为锐角三角形，（）为锐角三角形，为锐角三角形，解得，的取值范围为，点评：本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题6（2020新课标）中，（1）求；（2）若，求周长的最大值分析：（1）运用余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；（2）方法一、运用正弦定理和三角函数的和差公式，结合余弦函数的图象和性质，可得所求最大值方法二、运用余弦定理和基本不等式，即可得到所求最大值解答：解：（1）
7、设的内角，所对的边分别为，因为，由正弦定理可得，即为，由余弦定理可得，由，可得；（2）由题意可得，又，可设，由正弦定理可得，可得，则周长为，当，即时，的周长取得最大值另解：，又，由，则（当且仅当时，“”成立），则周长的最大值为点评：本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换和图象与性质，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题真题集训答案1（2016北京）在中，（）求的大小；（）求的最大值解：（）在中，（）由得：，故当时，取最大值1，即的最大值为12（2015湖南）设的内角、的对边分别为、，且为钝角（）证明：；（）求的取值范围解：（）由和正弦定理可得，即又为钝角，；（）由（
8、）知，由二次函数可知的取值范围为，3（2013江西）在中，角，所对的边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围解：（1）由已知得：，即，即，又为三角形的内角，则；（2）方法一：，即，由余弦定理，得，即，则的取值范围为，方法二：，即，由余弦定理，得，即，又，的取值范围为，4（2013重庆）在中，内角、的对边分别是、，且（）求；（）设，为的面积，求的最大值，并指出此时的值解：（）由余弦定理得：，为三角形的内角，；（）由（）得，由正弦定理得：，及得：，则，则当，即时，取最大值35（2013福建）如图，在等腰直角中，点在线段上，（）若，求的长；（）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值解：（）在中，由余弦定理可得，解得的长为1或3；（）设，在中，由正弦定理可得：，同理，故因为，所以，所以当时，的最大值为1，此时，的面积最小，面积的最小值6（2013新课标）在内角、的对边分别为，已知（）求；（）若，求面积的最大值解：（）由已知及正弦定理得：，即，为三角形的内角，；（），由已知及余弦定理得：，整理得：，当且仅当时，等号成立，则面积的最大值为