1、专题16 解三角形（3）与三角恒等变换综合问题一、 典例分析题型三：与三角函数、三角恒等变换综合的问题1（2017新课标）的内角，的对边分别为，已知，则ABCD2（2019浙江）在中，点在线段上，若，则，3（2016新课标）的内角，的对边分别为，若，则4（2013辽宁）在，内角，所对的边长分别为，且，则ABCD5（2013新课标）已知锐角的内角，的对边分别为，则A10B9C8D56（2013山东）的内角、的对边分别是、，若，则AB2CD17（2013浙江）中，是的中点，若，则8（2021上海）已知、为的三个内角，、是其三条边，（1）若，求、；（2）若，求9（2020新课标）的内角，的对边分别为
2、，已知（1）求；（2）若，证明：是直角三角形10（2016浙江）在中，内角，所对的边分别为，已知（1）证明：；（2）若，求的值二、真题集训1（2015四川）已知、为的内角，是关于方程两个实根（）求的大小（）若，求的值2（2015湖南）设的内角，的对边分别为，（）证明：；（）若，且为钝角，求，3（2014浙江）在中，内角，所对的边分别为，已知，（1）求角的大小；（2）若，求的面积4（2014湖南）如图，在平面四边形中，（）求的值；（）若，求的长5（2013重庆）在中，内角，的对边分别是，且（1）求；（2）设，求的值典例分析答案题型三：与三角函数、三角恒等变换综合的问题1（2017新课标）的内角，
3、的对边分别为，已知，则ABCD分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可解答：解：，由正弦定理可得，故选：点评：本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题2（2019浙江）在中，点在线段上，若，则，分析：解直角三角形，可得，在三角形中，运用正弦定理可得；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值解答：解：在直角三角形中，在中，可得，可得；，即有，故答案为：，点评：本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档题3（2016新课标）的内角，的对边分别为，若，则分析：运用同角的平方关系可得，再由诱导公式和两角和
4、的正弦公式，可得，运用正弦定理可得，代入计算即可得到所求值解答：解：由，可得，由正弦定理可得故答案为：点评：本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题4（2013辽宁）在，内角，所对的边长分别为，且，则ABCD分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据不为0，两边除以，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出的值，即可确定出的度数【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：，即为锐角，则故选：点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键5（2013新课标）已知锐角的内角，的对边分别为，
5、则A10B9C8D5分析：利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出的值，再由与的值，利用余弦定理即可求出的值解答：解：，即，为锐角，又，根据余弦定理得：，即，解得：或（舍去），则故选：点评：此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键6（2013山东）的内角、的对边分别是、，若，则AB2CD1分析：利用正弦定理列出关系式，将，的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出的值，再由，及的值，利用余弦定理即可求出的值解答：解：，由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，解得：或（经检验不合题意，舍去），则故选：点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练
6、掌握定理是解本题的关键7（2013浙江）中，是的中点，若，则分析：作出图象，设出未知量，在中，由正弦定理可得，进而可得，在中，还可得，建立等式后可得，再由勾股定理可得，而，代入化简可得答案解答：解：如图设，在中，由正弦定理可得，代入数据可得，解得，故，而在中，故可得，化简可得，解之可得，再由勾股定理可得，联立可得，故在中，另解：设为，为，正弦定理得又有，联立消去，得，拆开，将1化成，构造二次齐次式，同除，可得，若，则，解得，易得另解：作交于，设，用和相似解得，则，易得故答案为：点评：本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题8（2021上海）已知、为的三个内角，、
7、是其三条边，（1）若，求、；（2）若，求分析：（1）由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得，的值，进而根据正弦定理可得的值解答：解：（1）因为，可得，又，可得，由于，可得（2）因为，可得，又，可解得，或，因为，可得，可得为钝角，若，可得，可得，可得为钝角，这与为钝角矛盾，舍去，所以，由正弦定理，可得点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题9（2020新课标）的内角，的对边分别为，已知（1）求；（2）若，证明：是直角三角
8、形分析：（1）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，解方程得，结合范围，可求的值；（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，可求，即可得证解答：解：（1），解得，；（2）证明：，由正弦定理可得，可得，可得是直角三角形，得证点评：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了方程思想的应用，属于基础题10（2016浙江）在中，内角，所对的边分别为，已知（1）证明：；（2）若，求的值分析：（1）由，利用正弦定理可得：，而，代入化简可得：，由，可得，即可证明，可得，利用即可得出解答：（1）证明：，由，或，化为，或（舍去）解
9、：，点评：本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题真题集训答案1（2015四川）已知、为的内角，是关于方程两个实根（）求的大小（）若，求的值解：（）由已知，方程的判别式：，所以，或由韦达定理，有，所以，从而所以，所以（）由正弦定理，可得，解得，或（舍去）于是，则所以2（2015湖南）设的内角，的对边分别为，（）证明：；（）若，且为钝角，求，解：（）证明：，由正弦定理：，又，得证（），由（1），为钝角，又，综上，3（2014浙江）在中，内角，所对的边分别为，已知，（1）求角的大小；（2）若，求的面积解：（1）由题意得，化为，由得，又，得，即，；（2）由，利用正弦定理可得，得，由，得，从而，故，4（2014湖南）如图，在平面四边形中，（）求的值；（）若，求的长解：（）（），由正弦定理知，5（2013重庆）在中，内角，的对边分别是，且（1）求；（2）设，求的值解：（1），即，由余弦定理得：，又为三角形的内角，则；（2）由题意，即，即，即，解得：或