1、专题12 三角恒等变换一、 典例分析1（2021甲卷）若，则ABCD2（2020新课标）已知，则ABC1D23（2020新课标）已知，则ABCD4（2020新课标）已知，且，则ABCD5（2019全国）已知，则ABC3D56（2019上海）已知有下列两个结论：存在在第一象限，在第三象限；存在在第二象限，在第四象限；则A均正确B均错误C对错D错对7（2018新课标）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则ABCD18（2015重庆）若，则A1B2C3D49（2019新课标）函数的最小值为10（2019江苏）已知，则的值是11（2021浙江）设函数（）求函数的最小正周期
2、；（）求函数在，上的最大值12（2018浙江）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，（）求的值；（）若角满足，求的值二、 真题集训1（2019新课标）已知，则ABCD2（2018新课标）若在，是减函数，则的最大值是ABCD3（2016新课标）若，则ABCD4（2014新课标）设，且，则ABCD5（2020江苏）已知，则的值是6（2018新课标）已知，则7（2017上海）设、，且，则的最小值等于8（2016上海）若函数的最大值为5，则常数9（2016浙江）已知，则，10（2015天津）已知函数，（）求的最小正周期；（）求在区间，内的最大值和最小值11（2015四川）如图，
3、、为平面四边形的四个内角（）证明：；（）若，求的值12（2016天津）已知函数（1）求的定义域与最小正周期；（2）讨论在区间，上的单调性典例分析答案1（2021甲卷）若，则ABCD分析：把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解，进一步求得，再由商的关系可得的值解答：解：由，得，即，则，解得，则，故选：点评：本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题2（2020新课标）已知，则ABC1D2分析：利用两角和差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可解答：解：由，得，即，得，即，即，则，故选：点评：本题主要考查三角函数值的化简和求解，结合两角和差的正切公式以
4、及配方法是解决本题的关键难度中等3（2020新课标）已知，则ABCD分析：利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可解答：解：，即，得，即，得故选：点评：本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键难度不大4（2020新课标）已知，且，则ABCD分析：利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得的值解答：解：由，得，即，解得（舍去），或，则故选：点评：本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基础题5（2019全国）已知，则ABC3D5分析：利
5、用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简所求表达式为正切函数的形式，代入求解即可解答：解：，则故选：点评：本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式以及二倍角公式的应用6（2019上海）已知有下列两个结论：存在在第一象限，在第三象限；存在在第二象限，在第四象限；则A均正确B均错误C对错D错对分析：考虑运用二次方程的实根的分布，结合导数判断单调性可判断；运用特殊值法，令，结合两角和的正切公式，计算可得所求结论，可判断解答：解：由，即为，设，可得，若，可得上式关于的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得，即有，考虑，当时，递减，可得（1），则方程无解，在第三象限不可能，故错；可令，由，即为
6、，可得，解得，存在在第四象限，故对故选：点评：本题考查三角函数的正切公式，以及方程思想、运算能力，属于基础题7（2018新课标）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则ABCD1分析：推导出，从而，进而由此能求出结果解答：解：角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，解得，故选：点评：本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题8（2015重庆）若，则A1B2C3D4分析：直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求
7、解即可解答：解：，则故选：点评：本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力9（2019新课标）函数的最小值为分析：先利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的 单调性即可去求解最小值解答：解：，令，则，令的开口向下，对称轴，在，上先增后减，故当即时，函数有最小值故答案为：点评：本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角函数时化简求值中的应用及利用余弦函数，二次函数的性质求解最值的应用，属于基础试题10（2019江苏）已知，则的值是分析：由已知求得，分类利用万能公式求得，的值，展开两角和的正弦求的值解答：解：由，得，解得或当时，；当时，综上，的
8、值是故答案为：点评：本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是中档题11（2021浙江）设函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在，上的最大值分析：（）由，可得，然后利用周期公式求出周期；（），由，得到的取值范围，再利用整体法求出的最大值解答：解：函数，（）函数，则最小正周期为；（）函数，因为，所以，所以当，即时，点评：本题考查了三角函数的图像性质，涉及求解函数的周期以及最值问题，考查了运算能力，属于基础题12（2018浙江）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，（）求的值；（）若角满足，求的值分析：（）由已知条件即可求，则的值可得；
9、（）由已知条件即可求，再由代值计算得答案解答：解：（）角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，；（）由，得，又由，得，则，或的值为或点评：本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题真题集训答案1解：，可得：，解得：故选：2解：，由，得，取，得的一个减区间为，由在，是减函数，得则的最大值是故选：3解：，故选：4解：由，得：，即，当时，成立故选：5解：因为，则，解得，故答案为：6解：，两边平方可得：，两边平方可得：，由得：，即，故答案为：7解：根据三角函数的性质，可知，的范围在，要使，则：，即，那么：，、的最小值为故答案为：8解：由于函数，其中，故的最大值为，故答案为：9解：，故答案为：；110解：（）化简可得的最小正周期；（），在区间，内的最大值和最小值分别为，11证明：（）等式成立（）由，得，由（）可知：，连结，在中，有，在中，有，所以，则：于是，连结，同理可得：，于是所以12解：（1），即函数的定义域为，则，则函数的周期；（2）由，得，即函数的增区间为，当时，增区间为，此时，由，得，即函数的减区间为，当时，减区间为，此时，即在区间，上，函数的减区间为，增区间为，