1、专题2 基本不等式一、 典例分析1（2020上海）下列不等式恒成立的是ABCD2（2021乙卷）下列函数中最小值为4的是ABCD3（2015上海）已知，若，则A有最小值B有最小值C有最大值D有最大值4（2015福建）若直线过点，则的最小值等于A2B3C4D55（2015湖南）若实数，满足，则的最小值为AB2CD46（2014重庆）若，则的最小值是ABCD7（2013山东）设正实数，满足则当取得最大值时，的最大值为A0B1CD38（2020天津）已知，且，则的最小值为9（2020江苏）已知，则的最小值是10（2019天津）设，则的最小值为二、 真题集训1（2013福建）若，则的取值范围是A，B，
2、C，D，2（2012浙江）若正数，满足，则的最小值是ABC5D63（2012陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为和，其全程的平均时速为，则ABCD4（2020山东）（多选）已知，且，则ABCD5（2019上海）若，且，则的最大值为6 （2018天津）已知，且，则的最小值为7 （2017天津）若，则的最小值为8 （2011湖南）设，且，则的最小值为9 （2014浙江）已知实数，满足，则的最大值是10（2011浙江）设，为实数，若，则的最大值是11（2011浙江）若实数，满足，则的最大值是12 （2011重庆）若实数，满足，则的最大值是典例分析答案1（2020上海）下列不等式恒成立的是ABCD分
3、析：利用恒成立，可直接得到成立，通过举反例可排除解答：解：显然当，时，不等式不成立，故错误；，故正确；显然当，时，不等式不成立，故错误；显然当，时，不等式不成立，故错误故选：点评：本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题2（2021乙卷）下列函数中最小值为4的是ABCD分析：利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项，利用基本不等式求出最值，即可判断选项，利用特殊值验证，即可判断选项解答：解：对于，所以函数的最小值为3，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以等号取不到，所以，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，
4、即时取等号，所以函数的最小值为4，故选项正确；对于，因为当时，所以函数的最小值不是4，故选项错误故选：点评：本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题3（2015上海）已知，若，则A有最小值B有最小值C有最大值D有最大值分析：根据基本不等式的性质判断即可解答：解：，且，有最小值，故选：点评：本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题4（2015福建）若直线过点，则的最小值等于A2B3C4D5分析：将代入直线得：，从而，利用基本不等式求出即可解答：解：直线过点，所以，当且
5、仅当即时取等号，最小值是4，故选：点评：本题考查了基本不等式的性质，求出，得到是解题的关键5（2015湖南）若实数，满足，则的最小值为AB2CD4分析：由，可判断，然后利用基础不等式即可求解的最小值解答：解：，（当且仅当时取等号），解可得，即的最小值为，故选：点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题6（2014重庆）若，则的最小值是ABCD分析：利用对数的运算法则可得，再利用基本不等式即可得出解答：解：，则，当且仅当取等号故选：点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题7（2013山东）设正实数，满足则当取得最大值时，的最大值为A0B1CD3分析：依
6、题意，当取得最大值时，代入所求关系式，利用配方法即可求得其最大值解答：解：，又，均为正实数，（当且仅当时取“” ，此时，当且仅当时取得“”，满足题意的最大值为1故选：点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到是关键，考查配方法求最值，属于中档题8（2020天津）已知，且，则的最小值为4分析：由，利用基本不等式即可求出解答：解：，且，则，当且仅当，即，或， 取等号，故答案为：4点评：本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题9（2020江苏）已知，则的最小值是分析：方法一、由已知求得，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值；方法二、由，运用基本不等式，计算可得所求最
7、小值解答：解：方法一、由，可得，由，可得，则，当且仅当，可得的最小值为；方法二、，故，当且仅当，即，时取得等号，可得的最小值为故答案为：点评：本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题10（2019天津）设，则的最小值为分析：利用基本不等式求最值解答：解：，则；，由基本不等式有：，故：；（当且仅当时，即：，时，等号成立），故的最小值为；故答案为：点评：本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题真题集训 答案1解：，变形为，即，当且仅当时取等号则的取值范围是，故选：2解：正数，满足，当且仅当时取等号，即的最小值是5故选：3解：设小王从甲地到乙地按时速分别为和，
8、行驶的路程则综上可得，故选：4解：已知，且，所以，则，故正确利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，且，所以：，故正确，故错误由于，且，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立故正确故选：5解：，；故答案为：6解：，且，可得：，则，当且仅当即时取等号函数的最小值为：故答案为：7解：【解法一】，当且仅当，即，即，或，时取“”；上式的最小值为4【解法二】，当且仅当，即，即，或，时取“”；上式的最小值为4故答案为：48解：，且，当且仅当时等号成立，的最小值为9故答案为99解：，、是方程：的两个实数根，即即的最大值为故答案为：10解：令则即解得的最大值是故答案为12解：，整理求得的最大值是故答案为：12解：由基本不等式得，即，所以，令，由可得，所以因为，所以，即，所以故答案为：