1、专题19 一次函数新课标对单元考点的要求一、函数（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。（2）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。（3）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。（4）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系, 理解函数值的意义。（5）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。二、一次函数（1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次 函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式。（2）能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b，k0） 探索
2、并理解k0和 k0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k 0，向上平移b个单位长度；b0，b0一、二、三y随x的增大而增大k0，b0一、三、四y=kx+b(k0)k0一、二、四y随x的增大而减小k0，b0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴当=0，即b=0时，直线经过原点当0（或ax+b0和 k0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k
3、 0，向上平移b个单位长度；b0，b0一、二、三y随x的增大而增大k0，b0一、三、四y=kx+b(k0)k0一、二、四y随x的增大而减小k0，b0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴当=0，即b=0时，直线经过原点当0（或ax+b0）（a，b为常数，且a0）的形式从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件3一次函数与二元一次方程组一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m0，n0）都能写成y=ax+b（a，b
4、为常数，且a0）的形式因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标考点6：一次函数的应用1主要题型：（1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等2用一次函数解决实际问题的一般步骤为：（1）设定实际
5、问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答3方案最值问题：对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案4方法技巧求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分
6、段函数的取值，再进行比较显然，第（2）种方法更简单快捷。考点7：一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积（1）一次函数y=kxb的图象与两条坐标轴的交点：与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（，0）.（2）直线（b0）与两坐标轴围成的三角形面积为s=单元考点例题解析类型1：函数的有关概念及图象【例题1】（2022广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为下列判断正确的是（ ）A. 2是变量B. 是变量C. r是变量D. C是常量【答案】C【解析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可2与为常量，C与r为变量，故选C【点睛】本题考查变量与常量的概念
7、，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键【例题2】（2022贵州遵义）遵义市某天的气温（单位：）随时间（单位：）的变化如图所示，设表示0时到时气温的值的极差（即0时到时范围气温的最大值与最小值的差），则与的函数图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据函数图象逐段分析，进而即可求解【详解】解：根据函数图象可知，从0时至5时，先变大，从5到10时，的值不发生变化大概12时后变大，从14到24时，不变，的变化规律是，先变大，然后一段时间不变又变大，最后不发生变化，反映到函数图象上是先升，然后一段平行于的线段，再升，最后不变故选A【点睛】本题考查了函数图象，理解题意是解题的
8、关键类型:2：一次函数的图象与性质【例题3】 （2022甘肃兰州）若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-34即可得出结论一次函数y=2x+1中，k=20，y随着x的增大而增大点（-3，y1）和（4，y2）是一次函数y=2x+1图象上的两个点，-34，y1y2故选：A【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键【例题4】（2022辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据一次函数的图象与性质即可得一
9、次函数一次项系数为10，常数项为，函数图象经过一、二、四象限故选：A【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键类型3：用待定系数法求解一次函数的解析式【例题5】（2022贵州铜仁）在平面直角坐标系内有三点A(1，4)、B(3，2)、C(0，6)（1）求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；（2）判断A、B、C三点是否在同一直线上，并说明理由【答案】（1）直线AB的解析式y=x+5； （2）点A、B、C三点不在同一条直线上，理由见解析【解析】【分析】（1）根据A、B两点的坐标求得直线AB的解析式；（2）把C的坐标代入看是否符合解析式即可判定【详解】（
10、1）解：设A(1，4)、B(3，2)两点所在直线解析式为y=kx+b，解得，直线AB的解析式y=x+5；（2）解：当x=0时，y=0+56，点C(0，6)不在直线AB上，即点A、B、C三点不在同一条直线上【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，以及判定是否是直线上的点，掌握一次函数图像上的点的坐标特征是关键类型4：一次函数与方程、不等式【例题6】（2022湖北鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法如图，一次函数ykx+b（k、b为常数，且k0）的图象与直线yx都经过点A（3，1），当kx+bx时，x的取值范围是（） A. x3B. x3C. x1D. x1【答案】A【解析】根据不等式kx+b
11、x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解即可由函数图象可知不等式kx+bx的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围，当kx+bx时，x的取值范围是，故选A【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键类型5：一次函数的应用【例题7】（2022云南）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消
12、毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍怎样购买才能使总费用W最少？并求出最少费用，【答案】（1）每桶甲消毒液的价格是45元、每桶乙消毒液的价格是35元； （2）当甲消毒液购买18桶，乙消毒液购买12桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1230元【解析】【分析】（1）设每桶甲消毒液的价格是a元、每桶乙消毒液的价格是b元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）根据题意可得出关于a的一元一次不等式组 ，解之即可得出a的取值范围，再根据所需资金总额=甲种消毒液的价格购进数量+乙种消毒液的价格购进数量，即可得出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题【详解】（1）解：设每桶甲消毒液的价格是a元、每桶乙消毒液的价格是b元，依题意，得：，解得：，答：每桶甲消毒液的价格是45元、每