1、专题17 勾股定理新课标对单元考点的要求探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。单元知识框架整合思维导图定理： 直角三角形的性质:勾股定理 应用:主要用于计算勾股定理直角三角形的判别方法:若三角形的三边满足 则它是一个直角三角形.对单元考点解读考点1：勾股定理1.直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半；(3)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.2.勾股定理： 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即3.勾股定理的作用（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；（2）用于解决带有平方关系的证明问题
2、；（3）与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用 考点2：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC是以C为直角的直角三角形（若c2a2+b2，则ABC是以C为钝角的钝角三角形；若c2a2+b2，则ABC是以C为钝角的钝角三角形；若c2a2+b2，则ABC为锐角三角形）。2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角
3、三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。3.勾股定理的逆定理的综合应用综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意到：如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形 重点总结：直角三角形三种判定方法1.定义法：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.3.勾股定理的逆定理：在一个三角形中，如果 其中两边的平方和 等于第三边的平方，那么这个三角形是直角
4、三角形。考点3：命题、公理、定理、证明1互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。A.命题：判断一件事情的语句，叫做命题。命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。B.命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）和假命题（错误的命题）。所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。C.公理:人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。D.定理:用
5、推理的方法判断为正确的命题叫做定理。E.证明:判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。2.直角三角形的判定方法（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。知识点4：理解勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数 (1)由定义可知，一组数是勾股数必须满
6、足两个条件：满足a2b2c2；都是正整数两者缺一不可(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2b2c2(但不一定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm为边长的三角形是直角三角形单元考点例题解析类型1. 直角三角形的判定【例题1】已知：如图，在ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=ADBD。求证：ABC是直角三角形。 【答案】见解析。【解析】勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=
7、A B2AC2+BC2= A B2ABC是直角三角形。类型2. 勾股定理及其应用【例题2】（2022黑龙江齐齐哈尔）在ABC中，则_【答案】或【解析】画出图形，分ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可情况一：当ABC为锐角三角形时，如图1所示：过A点作AHBC于H，B=45，ABH为等腰直角三角形，,在RtACH中，由勾股定理可知：，情况二：当ABC为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：，故答案为：或【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论类型3.勾股定理的逆定理及其应用【例题3】如果一个三角形的三边长a，b，c
8、满足a2b2c233810a24b26c，试说明这个三角形是直角三角形【答案】见解析。【解析】本题需要将已知等式进行变形，配成完全平方式，求出a，b，c的值，然后再说明将式子变形，得a2b2c233810a24b26c0，即a210a25b224b144c226c1690.整理，得(a5)2(b12)2(c13)20.因此a50，b120，c130，a5，b12，c13.a2b252122132c2，这个三角形是直角三角形类型4.互逆命题与互逆定理【例题4】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
9、(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60的三角形是等边三角形【答案】见解析【解析】求一个命题的逆命题时，分别找出各命题的题设和结论将其互换即可得原命题的逆命题(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题；(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)，真命题；(3)内错角相等，假命题；(4)等边三角形有一个角是60，真命题方法总结：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例即可单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题有9小题，每小题3分，共27分）1.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的
10、是（）A斜边长为5 B三角形的周长为25C斜边长为25 D三角形的面积为20【答案】A解析：此题较简单关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方利用勾股定理求出后直接选取答案两直角边长分别为a=3和b=4，斜边c=52.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A8，15，17B4，5，6C5，8，10D8，39，40【答案】A 【解析】此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2a2=（ca）（c+a）来判断。例如：对于选择支D，82（40+39）（4039），以8，39，40为边长不能组成直角三角形。3下列说法正确
11、的是（）A若a、b、c是ABC的三边，则a2+b2=c2B若a、b、c是RtABC的三边，则a2+b2=c2C若a、b、c是RtABC的三边，A=90，则a2+b2=c2D若a，b，c是RtABC的三边，C=90，则a2+b2=c2【答案】D 【解析】利用勾股定理时，一定要找准直角边和斜边根据勾股定理的内容，即可解答A勾股定理只限于在直角三角形里应用，故A可排除；B虽然给出的是直角三角形，但没有给出哪一个是直角，故B可排除；C在RtABC中，直角所对的边是斜边，C中的斜边应为a，得出的表达式应为b2+c2=a2，故C也排除；D符合勾股定理，正确4已知直角三角形中30角所对的直角边长是cm，则另
12、一条直角边的长是（）A4cm B cm C6cm D cm【答案】C 【解析】根据含30度角的直角三角形求出AB，根据勾股定理求出BC即可C=90，B=30，AC=2cm，AB=2AC=4cm，由勾股定理得：BC=6cm5.ABC中，a、b、c是三角形的三条边，若（a+b）2c2=2ab，则此三角形应是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形【答案】B 【解析】先对已知进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定（a+b）2c2=2ab，a2+b2=c2，ABC是直角三角形6.（2022黑龙江龙东地区）如图，中，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接E
13、F交AD于点P若的面积是24，则PE的长是（ ）A. 2.5B. 2C. 3.5D. 3【答案】A【解析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得ADBC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出SEGD=3，然后证EGPFDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，AB=AC，AD平分与BC相交于点D，ADBC，BD=CD，SABD=12，E是AB的中点，SAED=6，G是AD的中点，SEGD=3，E是AB的中点，G是AD的中点，EGBC，E
14、G=BD=CD，EGP=FDP=90，F是CD的中点，DF=CD，EG=DF，EPG=FPD，EGPFDP（AAS），GP=PD=1.5，GD=3，SEGD=3，即，EG=2，在RtEGP中，由勾股定理，得PE=2.5，故选：A【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键7（2022河北）题目：“如图，B45，BC2，在射线BM上取一点A，设ACd，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个ABC，求d的取值范围”对于其答案，甲答：，乙答：d1.6，丙答：，则正确的是（ ）A. 只有甲答的对B. 甲、丙答案合在一
15、起才完整C. 甲、乙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整【答案】B【解析】过点C作于，在上取，发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于对称，分情况分析即可过点C作于，在上取B45，BC2，是等腰直角三角形若对于d的一个数值，只能作出唯一一个ABC通过观察得知：点A在点时，只能作出唯一一个ABC（点A在对称轴上），此时，即丙的答案；点A在射线上时，只能作出唯一一个ABC（关于对称的AC不存在），此时，即甲的答案，点A在线段（不包括点和点）上时，有两个ABC（二者的AC边关于对称）；故选：B【点睛】本题考查三角形的存在性质，勾股定理，解题关键是发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于对称
16、8.如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.1 B1 C.1 D.【答案】C【解析】先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标图中的直角三角形的两直角边为1和2，斜边长为，1到A的距离是.那么点A所表示的数为1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的位置，再根据A的位置来确定a的值9. （2022青海）如图，在中，D是AB中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，则BF的长为（ ）A. 5B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于
17、斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则在中，又为中线，为中点，即点是的中点，是的中位线，则故选：A【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形的中线性质求出线段的长度是解题的关键二、填空题（本大题有12小题，每空3分，共36分）1.在RtABC中，C=90，b=6，c=10，则a=【答案】8【解析】由题意知道c为斜边，已知两边根据勾股定理即可求得第三边的长RtABC中，C=90，b=6，c=10a=82.(1)7,24,25；（2）8,15,19；（3）0.6,0.8,1.0；(4)3n,4n,5n(n1，且为自然数)上面各组数中，勾股数
18、有_组【答案】2 【解析】判断勾股数要看两个条件，一看能否满足a2b2c2，二看是否都是正整数这两者缺一不可（1）72242252，且7,24,25都是正整数，7,24,25是勾股数（2）82152192，8,15,19不是勾股数（3）0.6,0.8,1.0不是正整数，0.6，0.8，1.0不是勾股数（4）(3n)2(4n)225n2(5n)2 (n1，且为自然数)，且它们都是正整数，3n,4n,5n(n1，且为自然数)是勾股数.3如图，三个正方形中的两个的面积S1=25，S2=144，则另一个的面积S3为 【答案】169 【解析】注意能够根据勾股定理以及正方形的面积公式证明：S1+S2=S3
19、根据直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现：S1+S2=S3则S3为169由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为25和144，所以斜边的平方为144+25=169，即面积S3为1694. 如图，在四边形ABCD中，B90，AB8，BC6，CD24，AD26，则四边形ABCD的面积为【答案】144【解析】连接AC，根据已知条件可求出AC，再运用勾股定理可证ACD为直角三角形，然后可分别求出两个直角三角形的面积，两者面积相加即为四边形ABCD的面积解：连接AC.B90，ABC为直角三角形，AC2AB2BC28262102，AC10.在ACD中，AC2CD2100576676，AD
20、2262676，AC2CD2AD2，ACD为直角三角形，且ACD90.S四边形ABCDSABCSACD681024144.方法总结：将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等5.（2022武汉）如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工取，则，两点的距离是_【答案】【解析】如图所示：过点作于点，先求出，再根据勾股定理即可求出的长如图所示：过点作于点，则BEC=DEC=90，BCE=90-30=60，又，ECD=45=D，即故答案为：【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角
21、形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用6.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是_【答案】10【解析】根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1S2S3，即S3251210.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积7.如图，在ABC中，D为BC边上的点，已知：AB13，AD12，AC15，B
22、D5，则DC= .【答案】9【解析】先用勾股定理的逆定理判定形状，然后用勾股定理求数据AD2BD212252132AB2，由勾股定理的逆定理知ADB为直角三角形ADBC.在RtADC中，由勾股定理，得DC2AC2AD215212292.DC9.8.已知等腰三角形的底角是30，腰长为2，则它的周长是_【答案】【解析】如图，过A作ADBC于D，则ADBADC90，ABAC2，B30，ADAB，由勾股定理得：BD3，同理CD3，BC6，ABC的周长为BC+AB+AC6+2+26+49.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n=_。【答案】2【解析】首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然
23、后利用勾股定理列方程求解。此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2化简得：n2=4n=2，但当n=2时，n+1=10，n=210.如图，在ABC中，已知AB2，ADBC，垂足为D，BD2CD若E是AD的中点，则EC【答案】1【解析】设AEEDx，CDy，根据勾股定理即可求出答案设AEEDx，CDy，BD2y，ADBC，ADBADC90，在RtABD中，AB24x2+4y2，x2+y21，在RtCDE中，EC2x2+y21，EC111.如图，在ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=【答案】【解析】利用三
24、角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+AO2=4， BO2+AO2=，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长AD、BE为AC，BC边上的中线，BD=BC=2，AE=AC=，点O为ABC的重心，AO=2OD，OB=2OE，BEAD，BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=，BO2+AO2=4， BO2+AO2=，BO2+AO2=，BO2+AO2=5，AB=12.如图，在RtABC中，ACB90，CD为中线，延长CB至点E，使B
25、EBC，连结DE，F为DE中点，连结BF若AC8，BC6，则BF的长为_.【答案】2.5 【解析】利用勾股定理求得AB10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是CDE的中位线，则BF=12CD在RtABC中，ACB90，AC8，BC6，AB=AC2+BC2=82+62=10又CD为中线，CD=12AB5F为DE中点，BEBC即点B是EC的中点，BF是CDE的中位线，则BF=12CD2.5三、解答题（本大题有6小题，共57分）1.（6分）如图，在ABC中，ACB90，AB13cm，BC5cm，CDAB于D，求：(1)AC的长； (2)SABC； (3)C
26、D的长【答案】（1）12cm（2）30(cm2)（3）cm【解析】(1)由于在ABC中，ACB90，AB13cm，BC5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出SABC；(3)根据面积公式得到CDABBCAC即可求出CD.解：(1)在ABC中，ACB90，AB13cm，BC5cm，AC12cm；(2)SABCCBAC51230(cm2)；(3)SABCACBCCDAB，CDcm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可2.（9分）如图，已知点P是等边AB
27、C内一点，PA3，PB4，PC5，求APB的度数【答案】见解析【解析】将BPC绕点B逆时针旋转60得BEA，连接EP，判断APE为直角三角形，且APE90，即可得到APB的度数ABC为等边三角形，BABC.可将BPC绕点B逆时针旋转60得BEA，连EP，BEBP4，AEPC5，PBE60，BPE为等边三角形，PEPB4，BPE60.在AEP中，AE5，AP3，PE4，AE2PE2PA2，APE为直角三角形，且APE90，APB9060150.方法总结：本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理解决问题的关键是根据题意构造APE为直角三角形3.（10分）ABC中，AB=15，AC=13
28、，高AD=12，求ABC的周长。【答案】42或32 【解析】此题应分两种情况说明：（1）当ABC为锐角三角形时，在RtABD中，BD=9，在RtACD中，CD=5BC=5+9=14ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当ABC为钝角三角形时，在RtABD中，BD=9，在RtACD中，CD=5，BC=95=4ABC的周长为：15+13+4=32当ABC为锐角三角形时，ABC的周长为42；当ABC为钝角三角形时，ABC的周长为324.（12分）如图，在ABC和DCE中，ACDE，BDCE90，点A，C，D依次在同一直线上，且ABDE（1）求证：ABCDCE（2）连结AE，当BC5，AC12
29、时，求AE的长【答案】见解析。【解析】证明：（1）ABDE，BACD，又BDCE90，ACDE，ABCDCE（AAS）；（2）ABCDCE，CEBC5，ACE90，AE=AC2+CE2=25+144=135.（10分）如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？【答案】见解析【解析】已知走私船的速度，求出走私船所走的路程即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海解题的关键是得出走私船所走的路程，根据题意，CE即为走私船所走的路程由题意可知，ABE和ABC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出设MN与AC相交于E，则BEC90.AB2BC252122132AC2，ABC为直角三角形，且A