1、专题22 二次函数新课标对单元考点的要求（1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。（2）能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。（3）会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值, 能解决相应的实际问题。（4）知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。单元知识框架整合思维导图对单元考点解读考点1：二次函数的基本概念与特征1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征：
2、 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项考点2：二次函数的图象与性质考点3：二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律:在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法2：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）考点4：二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中考点5：二次函
3、数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.考点6：二次函数的性质（重点）1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值考点7：二次函数解析式1.二次函数
4、解析式的形式（1）一般式：（，为常数，）；（2）顶点式：（，为常数，）；（3）两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.2.二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，常利用待定系数法用待定系数法求二次函数解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛
5、物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式考点8：二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
6、当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边，则，在轴的右侧，则，概括的说就是“左同右异”。3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的考点9：二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于轴
7、对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开
8、口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式考点10：二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：（1）当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. （2）当时，图象与轴只有一个交点； （3）当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3.二次函数与一元二次方程的关系列表记忆理解二次函数yax2bxc的图象和x轴交点有
9、三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次函数yax2bxc的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2bxc=0的根.注意：二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就
10、是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.单元考点例题解析类型1.求抛物线的顶点、对称轴、最值【例题1】（2022贵州黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_类型2.二次函数的图像与性质及函数值的大小比较【例题2】（2022陕西）已知二次函数y=x22x3的自变量x1，x2，x3
11、对应的函数值分别为y1，y2，y3当1x10，1x23时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）A. B. C. D. 类型3.二次函数 yax2bxc(a0)的图像与系数a，b，c的关系 【例题3】（2022贵州毕节）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：；其中正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个类型4.二次函数表达式的确定【例题4】（2022内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 类型5.二次函数与一元二次方程【例题5】（2022黑龙江大庆）
12、已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为_类型6.二次函数的应用【例题6】（2022河南） 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度（1）求抛物线的表达式（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（
13、本大题有10小题，每小题3分，共30分）1.（2022湖南株洲）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ）A. B. C. D. 2.（2022黑龙江哈尔滨）抛物线的顶点坐标是（ ）A. B. C. D. 3.（2022浙江湖州）把抛物线y=x2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( )A. y=-3B. y=+3C. y=D. y=4.（2022甘肃兰州）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5.（2022新疆）已知抛物线，下列结论错误的是（ ）A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，
14、y随x的增大而增大6.（2022牡丹江）如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：；若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47.（2022湖北恩施）已知抛物线，当时，；当时，下列判断：；若，则；已知点，在抛物线上，当时，；若方程的两实数根为，则其中正确的有（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 48.（2022山东潍坊）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）A. B. C. D. 49.（2022浙江绍兴）已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（ ）A. 0，4B. 1，5C. 1，5D. 1，510. （202
15、2四川自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）A. 方案1B. 方案2C. 方案3D. 方案1或方案2二、填空题（本大题有10小题，每空3分，共30分）1.（2022牡丹江）抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是_2.（2022四川遂宁）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是_3.（2022湖北荆州）规定：两个函数，的图象关于y轴
16、对称，则称这两个函数互为“Y函数”例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为_4.（2022甘肃威武）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_s5请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴： 6如果将抛物线yx2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 7.抛物线yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为
17、（3，0），对称轴为x1，则当y0时，x的取值范围是 8.如图，抛物线y=-x2+2x+m（m0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧当x=x2-2时，y_0（填“”“=”或“”号）9我们用符号x表示不大于x的最大整数例如：1.51，1.52那么：（1）当1x2时，x的取值范围是；（2）当1x2时，函数yx22ax+3的图象始终在函数yx+3的图象下方则实数a的范围是 10已知二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的y与x的部分对应值如下表：x54202y60646下列结论：a0；当x2时，函数最小值为6；若点（8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上
18、，则y1y2；方程ax2+bx+c5有两个不相等的实数根其中，正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填上）三、解答题（本大题有6小题，共60分）1.（9分）（2022浙江绍兴） 已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）（1）求b，c的值（2）当4x0时，求y的最大值（3）当mx0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值2（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+4x3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D点B的坐标是（1，0）（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y0时x的取值范围（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求
19、平移后图象所对应的二次函数的表达式3. （9分）（2022贵州贵阳）已知二次函数y=ax2+4ax+b（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(1，e)，(3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；（3）点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当2m1时，n的取值范围是1n1，求二次函数的表达式4.（8分）（2022辽宁沈阳）如图用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完（1）若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的
20、长为多少厘米？（2）矩形框架ABCD面积最大值为_平方厘米5.（12分）（2022牡丹江）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是_注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是6.（14分）（2022贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E（1）求抛物线的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点是否存在
21、以点D，E，M，N为顶点四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由专题22 二次函数新课标对单元考点的要求（1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。（2）能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。（3）会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值, 能解决相应的实际问题。（4）知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。单元知识框架整合思维导图对单元考点解读考点1：二次函数的基本概念与特征1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元
22、二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项考点2：二次函数的图象与性质考点3：二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律:在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法2：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）考点4：二次函数与的比
23、较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中考点5：二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.考点6：二次函数的性质（重点）1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值3. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时
24、，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值考点7：二次函数解析式1.二次函数解析式的形式（1）一般式：（，为常数，）；（2）顶点式：（，为常数，）；（3）两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.2.二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，常利用待定系数法用待定系数法求二次函数解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，
25、一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式考点8：二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即
26、抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边，则，在轴的右侧，则，概括的说就是“左同右异”。3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的考点9：二
27、次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便
28、运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式考点10：二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：（1）当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. （2）当时，图象与轴只有一个交点； （3）当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，
29、； 3.二次函数与一元二次方程的关系列表记忆理解二次函数yax2bxc的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次函数yax2bxc的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2bxc=0的根.注意：二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交
30、点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.单元考点例题解析类型1.求抛物线的顶点、对称轴、最值【例题1】（2022贵州黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_【答案】【解析】先把抛物线配方为顶
31、点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可，抛物线的顶点为（-1，-2），将抛物线先绕原点旋转180抛物线顶点为（1，2），旋转后的抛物线为，再向下平移5个单位，即新抛物线的顶点（1，-3）故答案是：（1，-3）【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键类型2.二次函数的图像与性质及函数值的大小比较【例题2】（2022陕西）已知二次函数y=x22x3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3当1x10，1x23时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B
32、【解析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解y=x22x3=(x-1)2-4，对称轴为直线x=1，令y=0，则(x-1)2-4=0，解得x1=-1，x2=3，抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，二次函数y=x22x3的图象如图：由图象知【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式利用数形结合解题是关键类型3.二次函数 yax2bxc(a0)的图像与系数a，b，c的关系 【例题3】（2022贵州毕节）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：；其中正确的有（ ）A. 1个
33、B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断抛物线的开口方向向下，a0，对称轴在y轴右侧，对称轴为x0，a0，b0，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，c0，abc0，故错误；对称轴为x1，b2a，2a+b0，故错误；由图象的对称性可知：当x3时，y0，9a3b+c0，故错误；由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，b24ac0，即b24ac；故正确；由图象可知当x1时，y0，ab+c0，故正确综上所述，正确的结论是：故选：B【点睛】本题考查了图
34、象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键类型4.二次函数表达式的确定【例题4】（2022内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为【点睛】本题考查了抛物线的平移规律关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律类型5.二次函数与一元二次方程【例题5】（2022黑龙江
35、大庆）已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为_【答案】1或【解析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，此时满足，解得；当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，此时满足，解得或，当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意；综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点故答案为：1或【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质类型6.二次函数的应用【例题6】（202
36、2河南） 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度（1）求抛物线的表达式（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离【答案】（1） （2）2或6m【解析】(1)根据题意可知抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，将点代入，得，解得，抛物线的解析式为，(2)由，令，得，解得，爸爸站在水柱
37、正下方，且距喷水头P水平距离3m，当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1.（2022湖南株洲）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案对于二次函数，令，则，抛物线与y轴
38、的交点坐标为，抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，可以排除A选项和D选项；B选项和C选项中，抛物线的对称轴， ，抛物线开口向下，可以排除B选项【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键2.（2022黑龙江哈尔滨）抛物线的顶点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果二次函数解析式为 ，顶点坐标为【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键3.（2022浙江湖州）把抛物线y=x2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( )A. y=-3B. y=+3C.
39、y=D. y=【答案】B【解析】根据二次函数图像平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式.抛物线y=x2向上平移3个单位，平移后的抛物线的解析式为：y=x2+3.【点睛】本题考查二次函数的平移，熟记平移规律是解题的关键.4.（2022甘肃兰州）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断开口向上，对称轴为x=1，x1时，函数值y随x的增大而增大【点睛】本题考查是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质5.（2022新疆）已知抛物线，下列结论错误的是（
40、 ）A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解抛物线中，a0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为6.（
41、2022牡丹江）如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：；若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】根据函数图像的开口方向，对称轴，图像与y轴的交点，即可判断；根据对称轴x= - 2，OA=5OB，可得OA=5，OB1，点A（5，0），点B（1，0），当x1时，y0即可判断；根据对称轴x= - 2以及a+b+c=0得a与c的关系，即可判断；根据函数的最小值是当x2时y4a2bc即可判断.观察图像可知a0，b0，c0，abc0，故错误对称轴为直线x= - 2 ，OA5OB，可得OA=5 ，OB=1点A（5，0），点B（1，0
42、）当x -1时，y0即abc= 0（ac）2b2（abc）（acb）0故正确抛物线的对称轴为直线x=- 2，即 2b4aabc0 5ac0 c5a 9a4c11a0，故正确 当x2时函数有最小值y4a2bc，由am2bm2b4a，可得am2bmc4a2bc若m为任意实数，则am2bm2b4a，故正确 故选C【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图像与系数关系7.（2022湖北恩施）已知抛物线，当时，；当时，下列判断：；若，则；已知点，在抛物线上，当时，；若方程的两实数根为，则其中正确的有（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案
43、】C【解析】利用根的判别式可判断；把，代入，得到不等式，即可判断；求得抛物线的对称轴为直线x=b，利用二次函数的性质即可判断；利用根与系数的关系即可判断a=0，开口向上，且当时，；当时，抛物线与x轴有两个不同的交点，；故正确；当时，-b+c+c，c1，b，故正确；抛物线的对称轴为直线x=b，且开口向上，当x1时，b，则x1+x23，但当c3的结论不成立，故不正确；综上，正确的有，共3个，故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系等知识，解题的关键是读懂题意，灵活运用所学知识解决问题8.（2022山东潍坊）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）A. B. C. D. 4【答案