1、专题21 一元二次方程新课标对单元考点的要求（1）能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程; 理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。（2）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。（3）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。（4）了解一元二次方程的根与系数的关系。（5）能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。单元知识框架整合思维导图对单元考点解读考点1：一元二次方程的基本概念 1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2bxc0(a，b，c为常数，a0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程2.一般形式：ax
2、2 bxc0 (a，b，c为常数，a0) 3.项数和系数： ax2 bxc0 (a，b，c为常数，a0)一次项： ax2 一次项系数：a二次项： bx 二次项系数：b常数项：c4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程 考点2：一元二次方程的解法（1）开平方法：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；领会降次转化的数学思想（2）配方法：解一元二次方程的一般步骤是现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果
3、q0，方程的根是x=-pq；如果q0,方程无实根介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2
4、+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。考点3：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。 如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之
5、积等于常数项除以二次项系数所得的商。考点4：解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。单元考点例题解析类型1：一元二次方程及其根的应用【例题1】 （2022广东）若是方程的根，则_类型2：一元二次方程的解法【例题2】（2022天津）方程的两个根为（ ）A. B. C. D. 类型3：一元二次方程的根的判别式的应用【例题3】 （2022河南） 一元二次方程
6、的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根类型4：一元二次方程的根与系数的关系【例题4】 （2022贵州黔东南）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，若，则的值为（ ）A. 7B. C. 6D. 类型5：一元二次方程的应用【例题5】 （2022广西河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x则所列方程为( )A. 30（1+x）250B. 30（1x）250C. 30（1+x2）50D. 30（1x2）50单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间
7、120分钟）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1. （2022甘肃威武）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（）A. B. C. D. 2. （2022山东滨州）一元二次方程的根的情况为（ ）A. 无实数根B. 有两个不等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 不能判定3.（2022北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 4. （2022内蒙古呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）A. 4045B. 4044C. 2022D. 15. （2022黑龙江哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次
8、降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）A. B. C. D. 6.一元二次方程x24x80的解是（）Ax12+23，x2223Bx12+23，x2223Cx12+22，x2222Dx123，x2237.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x24x+k0的两个根，则k的值为（）A3B4C3或4D78关于x的方程（x1）（x+2）p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A两个正根B两个负根C一个正根，一个负根D无实数根9将一元二次方程x28x50化成（x+a）2b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A4，21B
9、4，11C4，21D8，6910若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x210x+240的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A16B24C16或24D48二、填空题（本大题有10小题，每空3分，共30分）1.（2022江苏连云港）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_2. （2022湖北荆州）一元二次方程配方为，则k的值是_3.（2022安徽）若一元二次方程有两个相等的实数根，则_4.（2022湖南常德）关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5. （2022黑龙江绥化）设与为一元二次方程的两根，则的值为_6. （2022云南）方程2x2+1=
10、3x解为_7.已知x1，x2是一元二次方程x24x70的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是8若关于x的一元二次方程x2kx20的一个根为x1，则这个一元二次方程的另一个根为 9. （2022四川成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_10. （2022青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为_三、解答题（本大题有7小题，共60分）1.（4分）（2022四川
11、凉山）解方程：x22x302.（12分）（2022贵州贵阳） （1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示用“”填空：a_b，ab_0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程x2+2x1=0；x23x=0；x24x=4；x24=03.（8分）（2022四川南充）已知关于x的一元二次方程有实数根（1）求实数k的取值范围（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值4.（8分） （2022四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年
12、投入资金的增长率相同（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？5.（12分）（2022四川凉山）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个根为x1，x2，则x1x2，x1x2材料2：已知一元二次方程x2x10的两个实数根分别为m，n，求m2nmn2的值解：一元二次方程x2x10两个实数根分别为m，n，mn1，mn1，则m2nmn2mn（mn）111根据上述材料，结合你所学的知识，完
13、成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x23x10的两个根为x1，x2，则x1x2 ；x1x2 （2）类比应用：已知一元二次方程2x23x10的两根分别为m、n，求的值（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s23s10，2t23t10，且st，求的值6.（8分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？7（8分）已知关于x，y的方程组ax+23y=-103，x+y=4与x-
14、y=2，x+by=15的解相同（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b0的解试判断该三角形的形状，并说明理由专题21 一元二次方程新课标对单元考点的要求（1）能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程; 理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。（2）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。（3）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。（4）了解一元二次方程的根与系数的关系。（5）能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。单元知识框架整合思维导图对单元考点解读考点1：一元
15、二次方程的基本概念 1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2bxc0(a，b，c为常数，a0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程2.一般形式：ax2 bxc0 (a，b，c为常数，a0) 3.项数和系数： ax2 bxc0 (a，b，c为常数，a0)一次项： ax2 一次项系数：a二次项： bx 二次项系数：b常数项：c4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程 考点2：一元二次方程的解法（1）开平方法：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；领会降次转化的数学思想（2）配方法：解一元二次方程的
16、一般步骤是现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-pq；如果q0,方程无实根介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对
17、这个内容会有进一步的理解。（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。考点3：一元二次方程根与系
18、数的关系（韦达定理）。 如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。考点4：解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。单元考点例题解析类型1：一元二次方程及其根的应用【例题1】 （2022广东）若是方程的根，则_【答案】
19、1【解析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值把x=1代入方程，得12+a=0，解得a=1【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值类型2：一元二次方程的解法【例题2】（2022天津）方程的两个根为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】将进行因式分解，计算出答案【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程类型3：一元二次方程的根的判别式的应用【例题3】 （2022河南） 一元二次方程的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根C
20、. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根【答案】A【解析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解一元二次方程根的情况是有两个不相等的实数根.【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根类型4：一元二次方程的根与系数的关系【例题4】 （2022贵州黔东南）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，若，则的值为（ ）A. 7B. C. 6D. 【答案】B【解析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即一元二次方程的两根分别记为，+=2，=3，=-a=-3
21、，a=3，故选B【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键类型5：一元二次方程的应用【例题5】 （2022广西河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x则所列方程为( )A. 30（1+x）250B. 30（1x）250C. 30（1+x2）50D. 30（1x2）50【答案】A【解析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的由题意可得，【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这
22、是一道典型的增长率问题单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1. （2022甘肃威武）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果x2-2x=2，x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键2. （2022山东滨州）一元二次方程的根的情况为（ ）A. 无实数根B. 有两个不等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 不能判定【
23、答案】A【解析】先计算判别式值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况（5）2426-230，方程无实数根【点睛】本题考查了一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根3.（2022北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可一元二次方程有两个相等的实数根，=0，解得，故C正确【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时0；
24、当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键4. （2022内蒙古呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）A. 4045B. 4044C. 2022D. 1【答案】A【解析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解，是方程的两个实数根，【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键5. （2022黑龙江哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是
25、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格（1-降低的百分率），把相关数值代入即可设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，故选：C【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价6.一元二次方程x24x80的解是（）Ax12+23，x2223Bx12+23，x2223Cx12+22，x2222Dx123，x223【答案】B【解析】方程利用配方法求出解即可一元二次方程x24x80，移项得：x24x8，配方得：x24x
26、+412，即（x2）212，开方得：x223，解得：x12+23，x22237.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x24x+k0的两个根，则k的值为（）A3B4C3或4D7【答案】C【分析】当3为腰长时，将x3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意【解析】当3为腰长时，将x3代入x24x+k0，得：3243+k0，解得：k3；当3为底边长时，关于x的方程x24x+k0有两个相等的实数根，（4）241k0，解得：k4，此时两腰之和为4，43，符合题意
27、k的值为3或48关于x的方程（x1）（x+2）p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A两个正根B两个负根C一个正根，一个负根D无实数根【答案】C【分析】先把方程（x1）（x+2）p2化为x2+x2p20，再根据方程有两个不相等的实数根可得1+8+4p20，由2p20即可得出结论【解析】关于x的方程（x1）（x+2）p2（p为常数），x2+x2p20，1+8+4p29+4p20，方程有两个不相等的实数根，两个的积为2p2，一个正根，一个负根，9将一元二次方程x28x50化成（x+a）2b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A4，21B4，11C4，21D8，69【答案】A【
28、分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【解析】x28x50，x28x5，则x28x+165+16，即（x4）221，a4，b21，10若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x210x+240的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A16B24C16或24D48【答案】B【解析】解方程得出x4，或x6，分两种情况：当ABAD4时，4+48，不能构成三角形；当ABAD6时，6+68，即可得出菱形ABCD的周长如图所示：四边形ABCD是菱形，ABBCCDAD，x210x+240，因式分解得：（x4）（x6）0，解得：x4或x6，分两种情况：
29、当ABAD4时，4+48，不能构成三角形；当ABAD6时，6+68，菱形ABCD的周长4AB24二、填空题（本大题有10小题，每空3分，共30分）1.（2022江苏连云港）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_【答案】1【解析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可关于x的一元二次方程的一个解是，【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键2. （2022湖北荆州）一元二次方程配方为，则k的值是_【答案】【解析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解故答案为：1【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关
30、键3.（2022安徽）若一元二次方程有两个相等的实数根，则_【答案】2【解析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值，由题意可知：， ，解得：【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键4.（2022湖南常德）关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解关于的一元二次方程无实数解，解得：，故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解
31、根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根5. （2022黑龙江绥化）设与为一元二次方程的两根，则的值为_【答案】20【解析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；=9-4=50，=，故答案为：20；【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键6. （2022云南）方程2x2+1=3x解为_【答案】【解析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解移项得：，或，解得：，故答案为：【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键7.
32、已知x1，x2是一元二次方程x24x70的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解【解析】根据题意得则x1+x24，x1x27所以，x12+4x1x2+x22（x1+x2）2+2x1x2161428若关于x的一元二次方程x2kx20的一个根为x1，则这个一元二次方程的另一个根为 【答案】-2【解析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解a1，bk，c2，x1x2=ca=-2关于x的一元二次方程x2kx20的一个根为x1，若x1=1，则根据x1x2=ca=-2知道 x2=-29. （2022四
33、川成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_【答案】【解析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，由公式法解一元二次方程可得，根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键10. （2022青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）设剪去的正方形边长为xcm，则可列
34、出关于x的方程为_【答案】【解析】设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键三、解答题（本大题有7小题，共60分）1.（4分）（2022四川凉山）解方程：x22x30【答案】【解析】利用因式分解法解一元二次方程即可得，或，或，故方程的解为【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键2.（12分）（2022贵州贵阳） （1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示用“”填空：a_b，a
35、b_0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程x2+2x1=0；x23x=0；x24x=4；x24=0【答案】（1），；（2）x1=-1+，x2=-1-；x1=0，x2=3；x1=2+，x2=2-；x1=-2，x2=2【解析】（1）由题意可知：a0，b0，ab，ab0；故答案为：，；（2）x2+2x1=0；移项得x2+2x=1，配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，则x+1=，x1=-1+，x2=-1-；x23x=0；因式分解得x(x-3)=0，则x=0或x-3=0，解得x1=0，x
36、2=3；x24x=4；配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，则x-2=，x1=2+，x2=2-；x24=0因式分解得(x+2) (x-2)=0，则x+2=0或x-2=0，解得x1=-2，x2=2【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法还考查了实数与数轴3.（8分）（2022四川南充）已知关于x的一元二次方程有实数根（1）求实数k的取值范围（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值【答案】（1）k； （2）k=3【解析】（1）一元二次方程有实数根0，即32-4（k-2）0，解得
37、k（2）方程的两个实数根分别为，解得k=3【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键4.（8分） （2022四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】（1）20% （2）18个【解析】【分析】（1）
38、先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据题意得：，解这个方程得，经检验，符合本题要求答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，由题意得：，解得为正整数，最多可以改造18个小区答：该市2022年最多可以改造18个老旧小区【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的
39、关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式5.（12分）（2022四川凉山）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个根为x1，x2，则x1x2，x1x2材料2：已知一元二次方程x2x10的两个实数根分别为m，n，求m2nmn2的值解：一元二次方程x2x10两个实数根分别为m，n，mn1，mn1，则m2nmn2mn（mn）111根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x23x10的两个根为x1，x2，则x1x2 ；x1x2 （2）类比应用：已知一元二次方程2x23x10的两根分别为m、n，求的值（3）思维拓展：
40、已知实数s、t满足2s23s10，2t23t10，且st，求的值【答案】（1）； （2）（3）或【解析】（1）一元二次方程2x2-3x-10的两个根为x1，x2，故答案为：；（2）一元二次方程2x2-3x-10的两根分别为m、n，（3）实数s、t满足2s2-3s-10，2t2-3t-10，s、t可以看作方程2x2-3x-10的两个根，或，当时，当时，综上分析可知，的值为或【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键6.（8分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求
41、量大增，为满足市场需求工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？【答案】见解析。【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量【解析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000（1+x）224200解得x12（舍去），x20.110%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%（2）24200（1+0.1）26620（个）答：预计4月份平均日产量为26620个7（8分）已知关于x，y的方程组ax+23y=-103，x+y=4与x-y=2，x+by=15的解相同（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b0的解试判断该三角形的形状，并说明理由【答案】见解析。【解析】（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是程组x+y=4x-y=2的解，解得，x=3y=1，代入原方程组得，a43，b12；（2）当a43，b12时，关于x的方程x2+ax+b0就变为x2-4 3x+120，解得，x1x223，又（23）2+（23）2（26）2，以23、23、26为边的三角形是等腰直角三角形