1、专题12 全等三角形新课标对单元考点的要求（1）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。（2）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。（3）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。（4）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。（5）证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（6）理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。（7）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。（8）能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三
2、角形。对单元考点解读考点1：全等三角形1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。2全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。 考点2：全等三角形的判定（1）“边角边”简称“SAS”； （2）“角边角”简称“ASA” ；（3）“边边边”简称“SSS”； （4）“角角边”简称“AAS”； （5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。考点3：角平分线的性质角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。注意以下重点方法技巧1.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤（
3、1）确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），（2）回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，（3）正确地书写证明格式.2.三角形中作辅助线的常用方法（1）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明.（2）在用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再用外角定理.（3）有角平分线时，通常在角的两边截取
4、相等的线段，构造全等三角形.（4）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。（5）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。（6）截长补短法作辅助线。（7）延长已知边构造三角形.（8）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。（9）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。（10）连接已知点，构造全等三角形。（11）取线段中点构造全等三有形。3.全等三角形辅助线做法顺口溜图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与
5、半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 单元考点例题解析类型1：与角平分线有关的问题【例题1】（2022云南）如图，OB平分AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ）A. OD=OEB. OE=OFC. ODE =OEDD. ODE=OFE类型2：全等三角形性质与判定【例题2】（2022福建）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BFEC，ABDE，BE求证：AD类型3：解决全等三角形时，辅助线的添加问题【例题3】
6、已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A作APB的平分线PC交AB于点CB过点P作PCAB于点C且AC=BCC取AB中点C，连接PCD过点P作PCAB，垂足为C单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）1.如图，点B、F、C、E在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCDEF的是（）A ADBACDFCABEDDBFEC2如图，ABCABC，ACB=90，ACB=20，则BCB的度数为（）A20B40C7
7、0D903如图：若ABEACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）A2B3C5D2.54.已知，如图，ABCDEF，ACDF，BCEF则不正确的等式是（）AAC=DFBAD=BECDF=EFDBC=EF5.如图，若ABCDEF，A=45，F=35，则E等于（）A35 B45 C60 D1006如图，ABCCDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（）A1=2BAC=CA CAB=AD DB=D7如图，已知和都是等腰三角形，交于点F，连接，下列结论：；平分；其中正确结论的个数有（ ）A1个B2个C3个D4个8在中，平分，交于点，垂足为点，若，则的长为（ ）A3BC2D6二、填空题（本大题有
8、10小题，每空3分，共33分）1. 如图，请添加一个条件_，使2.如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，ACDF，请你添加一个适当的条件 使得ABCDEF3如图，已知在ABD和ABC中，DABCAB，点A、B、E在同一条直线上，若使ABDABC，则还需添加的一个条件是_（只填一个即可）4如图，若OADOBC，且0=65，BEA=135，则C的度数为 5如图，在ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD=_6如图，ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得ADCBEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 7如图的六边形花环是
9、用六个全等的直角三角形拼成的，则ABC度8如图，CDAB于点D，BEAC于点E，ABEACD，C=42，AB=9，AD=6，G为AB延长线上一点则EBG的度数为_（2）CE的长为_9.如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF若A=55，B=88，则F的度数为_10如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是则的面积是_三、解答题（本大题有6小题，共63分）1.（10分）（2022广东） 如图，已知，点P在上，垂足分别为D，E求证：OPDOPEOPDOPE2.（10分） （2022贵州铜仁）如图，点C在上，求证：3.（10分）（2022甘肃兰州） 如图1是小军
10、制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，求的大小4.（10分）如图，在ABC中，BC，过BC的中点D作DEAB，DFAC，垂足分别为点E、F（1）求证：DEDF；（2）若BDE40，求BAC的度数5.（12分）如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，CAD=CBD=15，E为AD延长线上的一点，且CE=CA. (1)求证：DE平分BDC； (2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.6.（11分）如图，在四边形中，点E，F分别在，上，求证：专题12 全等三角形新课标对单元考点的要求（1）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。（2）掌握基本事实：两边及其夹角分别相
11、等的两个三角形全等。（3）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。（4）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。（5）证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（6）理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。（7）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。（8）能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形。对单元考点解读考点1：全等三角形1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与
12、另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。2全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。 考点2：全等三角形的判定（1）“边角边”简称“SAS”； （2）“角边角”简称“ASA” ；（3）“边边边”简称“SSS”； （4）“角角边”简称“AAS”； （5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。考点3：角平分线的性质角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。注意以下重点方法技巧1.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤（1）确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），（2）回顾三角形判定，搞清我们还
13、需要什么，（3）正确地书写证明格式.2.三角形中作辅助线的常用方法（1）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明.（2）在用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再用外角定理.（3）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.（4）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。（5）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三
14、角形。（6）截长补短法作辅助线。（7）延长已知边构造三角形.（8）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。（9）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。（10）连接已知点，构造全等三角形。（11）取线段中点构造全等三有形。3.全等三角形辅助线做法顺口溜图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 单元考点例题解析类型1：与角平分线有关的问题【例题1】
15、（2022云南）如图，OB平分AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ）A. OD=OEB. OE=OFC. ODE =OEDD. ODE=OFE【答案】D【解析】根据OB平分AOC得AOB=BOC，又因为OE是公共边，据全等三角形的判断即可得出结果OB平分AOCAOB=BOC当DOEFOE时，可得以下结论：OD=OF，DE=EF，ODE=OFE，OED=OEFA答案中OD与OE不是DOEFOE的对应边，A不正确；B答案中OE与OF不是DOEFOE的对应边，B不正
16、确；C答案中，ODE与OED不是DOEFOE的对应角，C不正确；D答案中，若ODE=OFE，在DOE和FOE中， DOEFOE（AAS）D答案正确故选：D【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键类型2：全等三角形性质与判定【例题2】（2022福建）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BFEC，ABDE，BE求证：AD【答案】见解析【解析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论证明：BFEC，即BCEFABC和DEF中，AD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、证明三角形全等是解题的关键类型3：解决全等三角形时，辅助线的添加问题【例题3】已知：如图，点P
17、在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A作APB的平分线PC交AB于点CB过点P作PCAB于点C且AC=BCC取AB中点C，连接PCD过点P作PCAB，垂足为C【答案】B【解析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论A利用SAS判断出PCAPCB，CA=CB，PCA=PCB=90，点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；C利用SSS判断出PCAPCB，CA=CB，PCA=PCB=90，点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；D利用HL判断出PCAPCB，CA=CB，点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，B过线段外一
18、点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意。单元核心素养达标检测（试卷满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）1.如图，点B、F、C、E在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCDEF的是（）B ADBACDFCABEDDBFEC【解答】选项A、添加AD不能判定ABCDEF，故本选项正确；选项B、添加ACDF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加ABDE可用AAS进行判定，故本选项错误；选项D、添加BFEC可得出BCEF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误故选：A2如图，ABCABC，ACB=90
19、，ACB=20，则BCB的度数为（）A20B40C70D90【答案】C【解析】ACBACB，ACB=ACB，BCB=ACBACB=703如图：若ABEACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）A2B3C5D2.5【答案】B【解析】ABEACF，AB=5，AC=AB=5，AE=2，EC=ACAE=52=3 4.已知，如图，ABCDEF，ACDF，BCEF则不正确的等式是（）AAC=DFBAD=BECDF=EFDBC=EF【答案】C【解析】AABCDEF，AC=DF，故此结论正确；BABCDEF，AB=DE；DB是公共边，ABBD=DEBD，即AD=BE；故此结论正确；CABCDEF，AC=D
20、F，故此结论DF=EF错误；DABCDEF，BC=EF，故此结论正确。5.如图，若ABCDEF，A=45，F=35，则E等于（）A35 B45 C60 D100【答案】D【解析】ABCDEF，A=45，F=35D=A=45E=180DF=1006如图，ABCCDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（）A1=2BAC=CA CAB=AD DB=D【答案】C【解析】ABCCDA，BC=DAAB=CD，1=2，AC=CA，B=D，A，B，D是正确的，C、AB=AD是错误的7如图，已知和都是等腰三角形，交于点F，连接，下列结论：；平分；其中正确结论的个数有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【
21、分析】证明BADCAE,再利用全等三角形的性质即可判断；由BADCAE可得ABF=ACF，再由ABF+BGA=90、BGA=CGF证得BFC=90即可判定；分别过A作AMBD、ANCE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分BFE,即可判定；由AF平分BFE结合即可判定【详解】解：BAC=EAD BAC+CAD=EAD+CAD,即BAD=CAE在BAD和CAE中 AB=AC, BAD=CAE,AD=AE BADCAE BD=CE 故正确；BADCAEABF=ACFABF+BGA=90、BGA=CGFACF+BGA=90,BFC=90故正确；分别过A作AMBD、ANCE垂
22、足分别为M、NBADCAESBAD=SCAE, BD=CEAM=AN平分BFE，无法证明AF平分CAD故错误；平分BFE，故正确故答案为C【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键8在中，平分，交于点，垂足为点，若，则的长为（ ）A3BC2D6【答案】A【解析】证明ABDAED即可得出DE的长DEAC，AED=B=90，AD平分BAC，BAD=EAD，又AD=AD，ABDAED，DE=BE=3，故选：A【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键二、填空题（本大题有1
23、0小题，每空3分，共33分）1. 如图，请添加一个条件_，使【答案】AD（答案不唯一）【解析】根据角边角可证得，即可可添加AD，理由如下：，DCE=ACB，AD，故答案为：AD（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键2.如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，ACDF，请你添加一个适当的条件 使得ABCDEF【答案】A=D【解析】根据全等三角形的判定定理填空添加A=D理由如下：FB=CE，BC=EF又ACDF，ACB=DFE在ABC与DEF中，ABCDEF（AAS）3如图，已知在ABD和ABC中，DABCAB，点A、B、E在同一
24、条直线上，若使ABDABC，则还需添加的一个条件是_（只填一个即可）【答案】ADAC(DC或ABDABC等）【解析】利用全等三角形的判定方法添加条件即可求解DABCAB，ABAB，当添加ADAC时，可根据“SAS”判断ABDABC；当添加DC时，可根据“AAS”判断ABDABC；当添加ABDABC时，可根据“ASA”判断ABDABC故答案为ADAC(DC或ABDABC等)【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件4如图，若OADOBC，且0=65，BEA=135，则C的度数为 【答案】C=35【解析】OADOBC，C=D，OBC
25、=OAD，0=65，OBC=18065C=115C，在四边形AOBE中，O+OBC+BEA+OAD=360，65+115C+135+115C=360，解得C=355如图，在ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD=_【答案】3.【解析】先判断点G为ABC的重心，然后利用三角形重心的性质求出AG，从而得到AD的长D、E分别是BC，AC的中点，点G为ABC的重心，AG=2DG=2，AD=AG+DG=2+1=3故答案为3【点睛】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：16如图，ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条
26、件，使得ADCBEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 【答案】AC=BC【解析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得ADC=BEC=90，再证明EBC=DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定ADCBEC添加AC=BC，ABC的两条高AD，BE，ADC=BEC=90，DAC+C=90，EBC+C=90，EBC=DAC，在ADC和BEC中，ADCBEC（AAS）7如图的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则ABC度【答案】30【解析】由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出ABC的度数正六边形的每个内角的
27、度数为：(6-2)1806=120，所以ABC1209030，8如图，CDAB于点D，BEAC于点E，ABEACD，C=42，AB=9，AD=6，G为AB延长线上一点则EBG的度数为_（2）CE的长为_【答案】（1）EBG=138；（2）CE=3【解析】（1）ABEACD，EBA=C=42，EBG=18042=138；（2）ABEACD，AC=AB=9，AE=AD=6，CE=ACAE=96=39.如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF若A=55，B=88，则F的度数为_【答案】37。【解析】求出AC=DF，根据SSS推出ABCDEF由（1）中全等三角形的性质得
28、到：A=EDF，进而得出结论即可AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CFAC=DF在ABC和DEF中，ABCDEF（SSS）F=ACBA=55，B=88ACB=180（A+B）=180（55+88）=37F=ACB=3710如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是则的面积是_【答案】【解析】根据中线平分三角形面积直接计算即可是上的中线，是中边上的中线SABE= SABD，SABD= SABCSABE= SABC=6【点睛】本题主要考查三角形中线的性质，掌握中线平分三角形面积是解题的关键三、解答题（本大题有6小题，共63分）1.（10分）（2022广东） 如图，已知，点P在上，垂
29、足分别为D，E求证：OPDOPE【答案】见解析【解析】根据角平分线的性质得，再用HL证明OPDOPE证明：，为的角平分线，又点P在上，又（公共边），【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键2.（10分） （2022贵州铜仁）如图，点C在上，求证：【答案】见解析【解析】直接根据一线三垂直模型利用AAS证明即可ABBD，EDBD，ACCE，B=D=ACE=90，BAC+BCA=90=BCA+DCE，BAC=DCE，在ABC和CDE中，ABCCDE（AAS）【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知一线三垂直模型是解题的关键3.（10分）（2022
30、甘肃兰州） 如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，求的大小【答案】【解析】首先根据题意证明，然后根据全等三角形对应角相等即可求出的大小，在和中，【点睛】此题考查了三角形全等的性质和判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质和判定方法全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)4.（10分）如图，在ABC中，BC，过BC的中点D作DEAB，DFAC，垂足分别为点E、F（1）求证：DEDF；（2）若BDE40，求BAC的度数【答案】见解析。【解析】（1）证明：DEAB，DFAC，BEDCFD90，
31、D是BC的中点，BDCD，在BED与CFD中，BED=CFDB=CBD=CD，BEDCFD（AAS），DEDF；（2）解：BDE40，B50，C50，BAC805.（12分）如图，已知点D为等腰直角ABC内一点，CAD=CBD=15，E为AD延长线上的一点，且CE=CA. (1)求证：DE平分BDC； (2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.【答案】见解析。【解析】(1)证明：在等腰直角ABC中，CAD=CBD=15，BAD=ABD=45-15=30，BD=AD，BDCADC，DCA=DCB=45.由BDE=ABD+BAD=30+30=60，EDC=DAC+DCA=15+45=6
32、0，BDE=EDC，DE平分BDC.(2)证明：连接MC，DC=DM，且MDC=60，MDC是等边三角形，即CM=CD.又EMC=180-DMC=180-60=120，ADC=180-MDC=180-60=120，EMC=ADC.又CE=CA，DAC=CEM=15，ADCEMC，EM=AD=DB.6.（11分）如图，在四边形中，点E，F分别在，上，求证：【答案】见解析【解析】连接AC，证明ACEACF，得到CAE=CAF，再利用角平分线的性质定理得到CB=CD连接AC，AE=AF，CE=CF，AC=AC，ACEACF（SSS），CAE=CAF，B=D=90，CB=CD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是连接AC，证明三角形全等