1、专题 1 二次函数题型一 二次函数的图象和性质例 1 对于抛物线 y x22 x3，有下列四个结论：它的对称轴为 x1；它的顶点坐标为(1，4)；它与 y 轴的交点坐标为(0，3)，与 x 轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)；当 x0 时， y 随 x 的增大而减小其中正确的个数为( C )A1 B2 C3 D4【解析】 对称轴为 x 1，正确；b2a 22（ 1） y x22 x3( x1) 24，它的顶点坐标为(1，4)，正确； y x22 x3，当 x0 时， y3，当 y0 时， x22 x30， x11， x23， y x22 x3 与 y 轴的交点坐标为(0，3)，与 x 轴的交
2、点坐标为(1，0)和(3，0)，正确； a10，当 x1 时， y 随 x 的增大而减小，错误故正确的选项有三个【点悟】 二次函数的性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)，增减性等角度分析变式跟进1小张同学说出了二次函数的两个条件：(1)当 x1 时， y 随 x 的增大而增大；(2)函数图象经过点(2，4)则符合条件的二次函数表达式可以是( D )A y( x1) 25 B y2( x1) 214C y( x1) 25 D y( x2) 2202求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与 x 轴的交点坐标(1)y4 x224 x35；(2)y3 x26 x2；(3)y x2 x3；(4)
3、y2 x212 x18.解：(1) y4 x224 x35，对称轴是直线 x3，顶点坐标是(3，1)，解方程 4x224 x350，得 x1 ， x2 ，52 72故它与 x 轴交点坐标是 ， ；(52， 0)( 72， 0)(2) y3 x26 x2，对称轴是直线 x1，顶点坐标是(1，5)，解方程3 x26 x20，得 x11 ， x21 ，153 153故它与 x 轴的交点坐标是 ， ；(1153， 0)(1 153， 0)(3) y x2 x3，对称轴是直线 x ，顶点坐标是 ，12 (12， 114)解方程 x2 x30，无解，故它与 x 轴没有交点；(4) y2 x212 x18，
4、对称轴是直线 x3，顶点坐标是(3，0)，当 y0 时，2 x212 x180， x1 x23，它与 x 轴的交点坐标是(3，0)题型二 二次函数的平移例 2 将抛物线 y2 x21 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度所得的抛物线表达式为( C )A y2( x1) 2 B y2( x1) 22C y2( x1) 22 D y2( x1) 21【点悟】 二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确定抛物线的平移规律变式跟进3将抛物线 y2 x24 x5 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得抛物线表达式是( C )A y2
5、( x1) 27 B y2( x1) 26C y2( x3) 26 D y2( x1) 26题型三 二次函数与一元二次方程和不等式的关系例 3 2016宁夏若二次函数 y x22 x m 的图象与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是_ m1_【解析】 二次函数 y x22 x m 的图象与 x 轴有两个交点， 0，44 m0， m1.【点悟】 抛物线 y ax2 bx c(a0)与 x 轴的交点的横坐标 x1， x2，就是方程ax2 bx c0( a0)的两个根，判断抛物线与 x 轴是否有交点，只要判断 b24 ac 与 0 的大小即可变式跟进4已知二次函数 y x22 x m(m 为常数
6、)的图象与 x 轴的一个交点为(1，0)，则关于 x的一元二次方程 x22 x m0 的两个实数根是( D )A x11， x22 B x11， x23C x11， x22 D x11， x23【解析】 二次函数 y x22 x m(m 为常数)的对称轴是 x1，(1，0)关于 x1 的对称点是(3，0)则一元二次方程 x22 x m0 的两个实数根是 x11， x23.52017高邮二模如图 1，二次函数 y1 ax2 bx c 与一次函数 y2 kx 的图象交于点 A和原点 O，点 A 的横坐标为4，点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称，点 B 的横坐标为 1，则满足 0 y1 y2的
7、 x 的取值范围是_4 x3_图 1 第 5 题答图【解析】 如答图所示，点 A 的横坐标为4，点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称，点 B的横坐标为 1，抛物线的对称轴为 x ，二次函数 y1 ax2 bx c 与一次函数32y2 kx 的图象交于点 A 和原点 O， C 点坐标为(3，0)，则满足 0 y1 y2的 x 的取值范围是4 x3.题型四 二次函数的图象与系数之间的关系例 4 如图 2，已知二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象与 x 轴交于点 A(1，0)，与 y 轴的交点 B 在(0，2)和(0，1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线 x1.下列结论： abc0；
8、4 a2 b c0；4 ac b28 a； a ； b c.13 23其中含所有正确结论的选项是( D )图 2A BC D【解析】 函数开口方向向上， a0，对称轴在原点右侧， ab 异号，抛物线与y 轴交点在 y 轴负半轴， c0， abc0，故正确；图象与 x 轴交于点 A(1，0)，对称轴为直线 x1，图象与 x 轴的另一个交点为(3，0)，当 x2 时， y0，4 a2 b c0，故错误；图象与 x 轴交于点 A(1，0)，当 x1 时， y(1) 2a b(1) c0， a b c0，即 a b c， c b a，对称轴为直线 x1， 1，即b2ab2 a， c b a(2 a)
9、a3 a，4 ac b24 a(3 a)(2 a)216 a20.8 a0，4 ac b28 a，故正确；图象与 y 轴的交点 B 在(0，2)和(0，1)之间，2 c1，23 a1， a ，故正确；23 13 a0， b c0，即 b c，故正确【点悟】 二次函数 y ax2 bx c(a0)，二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；| a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置当 a 与 b 同号时(即 ab0)，对称轴在 y 轴左侧；当 a 与 b 异号时(即 ab0)，
10、对称轴在 y 轴右侧(简称：左同右异)常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点，抛物线与 y 轴交于(0， c)变式跟进62016孝感如图 3 是抛物线 y ax2 bx c(a0)的部分图象，其顶点坐标为(1， n)，且与 x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间则下列结论： a b c0； 3 a b0； b24 a(c n)；一元二次方程 ax2 bx c n1 有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是( C )图 3A1 B2 C3 D4【解析】 抛物线与 x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛物线的对称轴为直线x1，抛物线与 x 轴的另一个交点在点(2，0)和(1，0
11、)之间当 x1 时，y0，即 a b c0，正确；抛物线的对称轴为直线 x 1，即 b2 a，3 a b3 a2 a a，错误；b2a抛物线的顶点坐标为(1， n)， n， b24 ac4 an4 a(c n)，正确；4ac b24a抛物线与直线 y n 有一个公共点，抛物线与直线 y n1 有 2 个公共点，一元二次方程 ax2 bx c n1 有两个不相等的实数根，正确题型五 二次函数的实际应用例 5 2016潍坊旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金 x(元)是 5 的倍数，发现每天的运营规律如下：当 x 不超过 10
12、0 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时，每辆车的日租金每增加 5 元，租出去的观光车就会减少 1 辆，已知所有观光车每天的管理费是 1 100 元(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入租车收入管理费)(2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则 0 x100，由 50x1 1000，解得 x22， x 是 5 的倍数，每辆车的日租金至少为 25 元；(2)设每天的净收入为 y 元，当 0 x100 时， y150 x1 100， y1随 x 的增大而增大，当 x100
13、 时， y1的最大值为 501001 1003 900.当 x100 时， y2 x1 100 x270 x1 100 (x175) 25 025.(50x 1005 ) 15 15当 x175 时， y2的最大值是 5 025，5 0253 900，当每辆车的日租金为 175 元时，每天的净收入最多，最多收入是 5 025 元【点悟】 应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最小值)解题时，要先根据题目提供的条件确定函数关系式，并将它配成顶点式， y a(x h)2 k，再根据二次函数的性质确定最大值或最小值变式跟进72016杭州把一个足球垂直水平地面向上踢，时间
14、 t(s)与该足球距离地面的高度 h(m)适用公式 h20 t5 t2(0 t4)(1)当 t3 时，求足球距离地面的高度；(2)当足球距离地面的高度为 10 m 时，求 t 的值；(3)若存在实数 t1， t2(t1 t2)，当 t t1或 t2时，足球距离地面的高度都为 m(m)，求 m 的取值范围解：(1)当 t3 时， h20 t5 t215(m)，此时足球离地面的高度为 15 m；(2) h10，20 t5 t210，即 t24 t20，解得 t2 或 t2 ，2 2经过 2 或 2 s 时，足球距离地面的高度为 10 m；2 2(3) m0，由题意得 t1和 t2是方程 20t5
15、t2 m 的两个不相等的实数根， b24 ac20 220 m0，解得 m20， m 的取值范围是 0 m20.题型六 二次函数的综合题例 6 2017浙江月考如图 4，抛物线 C1： y x22 x 的顶点为 A，与 x 轴的3 3正半轴交于点 B.(1)将抛物线 C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的 2 倍，求变换后得到的抛物线的表达式；(2)将抛物线 C1上的点( x， y)变为( kx， ky)(|k|1)，变换后得到的抛物线记作 C2，抛物线C2的顶点为 C，求抛物线 C2的表达式(用 k 表示)；(3)在(2)条件下，点 P 在抛物线 C2上，满足 S PAC S ABC，且
16、ACP90.当 k1 时，求k 的值图 4 例 6 答图解：(1) y x22 x (x1) 2 ，3 3 3 3抛物线 C1经过原点 O，点 A(1， )和点 B(2，0)三点，3将抛物线 C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的 2 倍，变换后的抛物线经过原点 O，(2，2 )和(4，0)三点3设变换后抛物线的表达式为 y ax2 bx，将(2，2 )和(4，0)代入，3得 解得4a 2b 23，16a 4b 0， ) a 32，b 23， )变换后抛物线的表达式为 y x22 x；32 3(2)抛物线 C1经过原点 O，点 A(1， )和点 B(2，0)三点，3将抛物线 C1上的点( x
17、， y)变为( kx， ky)(|k|1)，变换后得到的抛物线记作 C2，则抛物线C2过原点 O，( k， k)，(2 k，0)三点，3抛物线 C2的表达式为 y x22 x；3k 3(3) y x22 x (x k)2 k，3k 3 3k 3 O， A， C 三点共线，且顶点 C 为( k， k)3如答图， S PAC S ABC， k1， BP AC，过点 P 作 PD x 轴于 D，过点 B 作 BE AO 于 E.由题意知 ABO 是边长为 2 的正三角形，四边形 CEBP 是矩形， OE1， CE BP2 k1， PBD60， BD k ， PD (2k1)，12 32 P ，k32
18、， 32（ 2k 1） (2k1) 2 ，解得 k .32 3k(k 32)2 3(k 32) 92变式跟进82017诸城校级月考如图 5，在矩形 OABC 中， OA5， AB4，点 D 为边 AB 上一点，将 BCD 沿直线 CD 折叠，使点 B 恰好落在 OA 边上的点 E 处，分别以 OC， OA 所在的直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系图 5(1)求 OE 的长；(2)求经过 O， D， C 三点的抛物线的表达式；(3)一动点 P 从点 C 出发，沿 CB 以每秒 2 个单位长的速度向点 B 运动，同时动点 Q 从 E 点出发，沿 EC 以每秒 1 个单位长的速度向点 C 运
19、动，当点 P 到达点 B 时，两点同时停止运动设运动时间为 t s，当 t 为何值时， DP DQ.解：(1) CE CB5， CO AB4，在 Rt COE 中，OE 3；CE2 CO2 52 42(2)设 AD m，则 DE BD4 m， OE3， AE532，在 Rt ADE 中，由勾股定理可得 AD2 AE2 DE2，即 m22 2(4 m)2，解得 m ，32 D ， C(4，0)， O(0，0)，(32， 5)设过 O， D， C 三点的抛物线为 y ax(x4)，5 a ，解得 a ，32( 32 4) 43抛物线表达式为 y x(x4) x2 x；43 43 163(3) CP
20、2 t， BP52 t，由折叠的性质，得 BD DE ，52在 Rt DBP 和 Rt DEQ 中， DP DQ，BD ED， )Rt DBPRt DEQ(HL)， BP EQ，52 t t， t .过关训练531已知，二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象如图 1 所示，则以下说法不正确的是( C )图 1A根据图象可得该函数 y 有最小值B当 x2 时，函数 y 的值小于 0C根据图象可得 a0， b0D当 x1 时，函数值 y 随着 x 的增大而减小【解析】 由图象可知：A.抛物线开口向上，该函数 y 有最小值，此选项正确；B.当 x2时，图象在 x 轴的下方，函数值小于 0，此选
21、项正确；C.对称轴为 x1， a0，则b0，此选项错误；D.当 x1 时， y 随 x 的增大而减小，此选项正确2抛物线 y( x2) 21 可以由抛物线 y x2平移得到，下列平移方法中正确的是( B )A先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位B先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位C先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位D先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位【解析】 函数 y x2的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位长度，得 y( x2) 2；然后 y 轴向下平移 1 个单位长度，得 y( x2) 21，故选 B.3一次函数 y ax b(a0)与二次函数
22、 y ax2 bx c(a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( C )A B C D 4如图 2，二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象与 x 轴交于点 A(1，0)，其对称轴为直线 x1，下列结论中正确的是( D )图 2A abc0 B2 a b0C4 a2 b c0 D9 a3 b c0【解析】 抛物线的开口向下，则 a0，对称轴在 y 轴的右侧， b0，图象与 y 轴交于正半轴上， c0， abc0；对称轴为 x1， 1， b2 a，2 a b0；b2a当 x2 时，4 a2 b c0；当 x3 时，9 a3 b c0.5已知二次函数 y3 x236 x81.(1)写出它的顶
23、点坐标；(2)当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大；(3)求出图象与 x 轴的交点坐标；(4)当 x 取何值时， y 有最小值，并求出最小值；(5)当 x 取何值时， y0.解：(1) y3 x236 x813( x6) 227，顶点坐标为(6，27)；(2)抛物线的对称轴为 x6，且抛物线的开口向上，当 x6 时， y 随 x 的增大而增大；(3)当 3x236 x810 时，得 x13， x29，该函数图象与 x 轴的交点为(9，0)，(3，0)；(4)抛物线的顶点坐标为(6，27)，当 x6 时， y 有最小值，最小值为27；(5)该函数图象与 x 轴的交点为(9，0)，(3，0
24、)，且抛物线的开口向上，当9 x3 时， y0.6已知二次函数的图象以 A(1，4)为顶点，且过点 B(2，5)(1)求该二次函数的表达式；(2)求该二次函数图象与 y 轴的交点坐标解：(1)由顶点 A(1，4)，可设二次函数关系式为 y a(x1) 24( a0)二次函数的图象过点 B(2，5)，5 a(21) 24，解得 a1.二次函数的关系式是 y( x1) 24；(2)令 x0，则 y(01) 243，图象与 y 轴的交点坐标为(0，3)7如图 3，已知抛物线 y x2 bx c 经过 A(1，0)， B(3，0)两点图 3(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)当 0 x3 时，求
25、y 的取值范围；(3)点 P 为抛物线上一点，若 S PAB10，求出此时点 P 的坐标解：(1)把 A(1，0)， B(3，0)分别代入 y x2 bx c 中，得 解得1 b c 0，9 3b c 0， ) b 2，c 3， )抛物线表达式为 y x22 x3. y x22 x3( x1) 24，顶点坐标为(1，4)；(2)由图可得当 0 x3 时，4 y0；(3) A(1，0)， B(3，0)， AB4.设 P(x， y)，则 S PAB AB|y|2| y|10，12| y|5， y5.当 y5 时， x22 x35，解得 x12， x24，此时 P 点坐标为(2，5)或(4，5)；当
26、 y5 时， x22 x35，方程无解综上所述， P 点坐标为(2，5)或(4，5)8如图 4，在一面靠墙的空地上用长为 24 m 的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃设花圃的宽 AB 为 x m，面积为 S m2.(1)求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)已知墙的最大可用长度为 8 m，求所围成花圃的最大面积；若所围花圃的面积不小于 20 m2，请直接写出 x 的取值范围图 4解：(1) S x(244 x)4 x224 x(0 x6)；(2) S4 x224 x4( x3) 236，由 244 x8，244 x0，解得 4 x6，当 x4 时，花圃有最大面积为 32；令
27、4 x224 x20 时，解得 x11， x25，墙的最大可用长度为 8，即 244 x8， x4，4 x5.92017三原校级月考东方小商品市场一经营者将每件进价为 80 元的某种小商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100 件后来经过市场调查，发现这种小商品单价每降低 1 元，其销量可增加 10 件(1)该经营者经营这种商品原来一天可获利润_2_000_元；(2)若设后来该小商品每件降价 x 元，该经营者一天可获利润 y 元若该经营者经营该商品一天要获利润 2 090 元，求每件商品应降价多少元？求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求出当 x 取何值时，该经营者所获利润最大，且最
28、大利润为多少元？解：(1)若商店经营该商品不降价，则一天可获利润：100(10080)2 000(元)；(2)设该商品每件降价 x 元，依题意，得(10080 x)(10010 x)2 090，即 x210 x90，解得 x11， x29.答：每件商品应降价 1 元或 9 元；根据题意得 y(10080 x)(10010 x)10 x2100 x2 000，当 x 5 时， y 最大 2 250 元，b2a答：该经营者所获最大利润为 2 250 元102016泰安如图 6，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标为(2，9)，与 y 轴交于点 A(0，5)，与 x 轴交于点
29、 E， B.图 6(1)求二次函数 y ax2 bx c 的表达式；(2)过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交抛物线于点 C，点 P 为抛物线上的一点(点 P 在 AC 上方)，作 PD 平行于 y 轴交 AB 于点 D，问当点 P 在何位置时，四边形 APCD 的面积最大？并求出最大面积解：(1)设抛物线的表达式为 y a(x2) 29，把 A(0，5)代入得 4a95，解得 a1， y( x2) 29 x24 x5；(2)当 y0 时， x24 x50，解得 x11， x25， E(1，0)， B(5，0)，设直线 AB 的表达式为 y mx n，把 A(0，5)， B(5，0)代入，得
30、 m1， n5， y x5，设 P(x， x24 x5)，则 D(x， x5)， PD x24 x5 x5 x25 x， AC4，四边形 APCD 的面积 ACPD 4( x25 x)2 x210 x，12 12当 x 时，四边形 APCD 的面积最大，最大面积为 .102（ 2） 52 252112017双台子区校级一模如图 7，在平面直角坐标系中，二次函数 y x2 bx c 的图象与 x 轴交于 A， B(3，0)两点，与 y 轴交于 c(0，3)，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的动点(1)求出二次函数的表达式；图 7(2)连结 PO， PC，并将 POC 沿 y 轴对折，得到四边形
31、 POP C，那么是否存在点 P，使得四边形 POP C 为菱形？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)当点 P 运动到什么位置时，四边形 ACPB 的面积最大？求出此时 P 的坐标和四边形 ACPB的最大面积解：(1)把 B(3，0)， C(0，3)代入 y x2 bx c，得 解得9 3b c 0，c 3， ) b 2，c 3， )这个二次函数的表达式为 y x22 x3；(2)存在理由如下：如答图，作 OC 的垂直平分线交直线 BC 下方的抛物线于点 P，垂足为点 E.则 PO PC， POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP C， OP OP， CP CP， OP
32、OP CP CP，四边形 POP C 为菱形， C 点坐标为(0，3)， E 点坐标为 ，点 P 的纵坐标为 ，(0， 32) 32把 y 代入 y x22 x3，得32x22 x3 ，解得 x ，32 2102点 P 在直线 BC 下方的抛物线上， x ，2 102满足条件的点 P 的坐标为 ；(2 102 ， 32)第 11 题答图 第 11 题答图(3)如答图，作 PF x 轴于点 F，交 BC 于点 E， BC 的表达式为 y x3，设 E(m， m3)，P(m， m22 m3)则 PE m3( m22 m3) m23 m ，(m32)2 94S BCP S BEP S CEP PEFB EPOF EPOB12 12 12 312 (m 32)2 94 ，32(m 32)2 278 0，当 m 时， S 最大 ，32 32 278此时 P ；(32， 154) A(1，0)， B(3，0)， C(0，3)，又 S 四边形 ACPB S ABC S PBC， S ABC 436定值，12当 PBC 的面积最大时，四边形 ACPB 的面积最大，最大面积为 6 .278 758