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【浙教版】九年级数学下册期末高效复习专题3:圆的基本性质(含解析)

1、专题 3 圆的基本性质题型一 点与圆的位置关系例 1 2017大冶校级月考若 O 的半径为 5 cm,平面上有一点 A, OA6 cm,那么点 A 与 O 的位置关系是( A )A点 A 在O 外 B点 A 在O 上C点 A 在O 内 D不能确定【解析】 O 的半径为 5 cm, OA6 cm, d r,点 A 与 O 的位置关系是点 A 在 O外变式跟进12016宜昌在公园的 O 处附近有 E, F, G, H 四棵树,位置如图 1 所示(图中小正方形的边长均相等)现计划修建一座以 O 为圆心, OA 为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则 E, F, G, H 四棵树中需要被移除的为( A

2、 )图 1A E, F, G B F, G, HC G, H, E D H, E, F【解析】 OA , OE2 OA,点 E 在 O 内; OF2 OA,点 F 在 O1 22 5内; OG1 OA,点 G 在 O 内; OH 2 OA,点 H 在 O 外22 22 2题型二 垂径定理及其推论例 2 如图 2, O 的直径 CD10,弦 AB8, AB CD,垂足为 M,则 DM 的长为( D )A5 B6 C7 D8图 2 例 2 答图【解析】 连结 OA,如答图所示 O 的直径 CD10, OA5,弦 AB8, AB CD, AM AB 84,12 12在 Rt AOM 中, OM OA

3、2 AM2 3,52 42 DM OD OM538.【点悟】 已知直径与弦垂直的问题中,常连半径构造直角三角形,其中斜边为圆的半径,两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离,从而运用勾股定理来计算变式跟进2如图 3, AB 为 O 的直径,弦 CD AB 于点 E,若 CD8,且 AE BE14,则 AB 的长度为( A )A10 B5 C12 D.53图 3 第 2 题答图【解析】 如答图,连结 OC,设AE x, AE BE14, BE4 x, OC2.5 x, OE1.5 x, CD AB, CE DE CD124,Rt OCE 中, OE2 CE2 OC2,(1.5 x)24 2(2.5

4、x)2, x2, AB10.3有一座弧形的拱桥如图 4,桥下水面的宽度 AB 为 7.2 m,拱顶与水面的距离 CD 的长为2.4 m,现有一艘宽 3 m,船舱顶部为长方形并且高出水面 2 m 的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?图 4 第 3 题答图解:如答图,连结 ON, OB. OC AB, D 为 AB 中点, AB7.2 m, BD AB3.6 m.12又 CD2.4 m,设 OB OC ON r,则 OD( r2.4)m.在 Rt BOD 中,由勾股定理得 r2( r2.4) 23.6 2,解得 r3.9. CD2.4 m,船舱顶部为长方形并高出水面 2 m, CE2.4

5、20.4(m), OE r CE3.90.43.5(m),在 Rt OEN 中, EN2 ON2 OE23.9 23.5 22.96(m 2), EN1.72(m) MN2 EN21.723.44 m3,此货船能顺利通过这座弧形拱桥题型三 圆周角定理的综合例 3 2017市南区一模如图 5,在直径为 AB 的 O 中, C, D 是 O 上的两点, AOD58, CD AB,则 ABC 的度数为_61_图 5【解析】 AOD58, ACD AOD29, CD AB, CAB ACD29, AB 是直径, ACB90, ABC902961.【点悟】 (1)在同圆(或等圆)中,圆心角(或圆周角)、

6、弧、弦中只要有一组量相等,则其他对应的各组量也分别相等,利用这个性质可以将问题互相转化,达到求解或证明的目的;(2)注意圆中的隐含条件(半径相等)的应用;(3)圆周角定理及其推论,是进行圆内角度数转化与计算的主要依据,遇直径,要想到直径所对的圆周角是 90,从而获得到直角三角形;遇到弧所对的圆周角与圆心角,要想到同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍以及同弧所对的圆周角相等变式跟进4如图 6, O 是正方形 ABCD 的外接圆,点 P 在 O 上,则 APB_45_图 6 第 4 题答图【解析】 如答图,连结 OA, OB.根据正方形的性质,得 AOB90.再根据圆周角定理,得 APB45.52

7、017永嘉二模如图 7,已知 AB 是半圆 O 的直径, OC AB 交半圆于点 C, D 是射线 OC上一点,连结 AD 交半圆 O 于点 E,连结 BE, CE.(1)求证: EC 平分 BED;(2)当 EB ED 时,求证: AE CE.图 7 第 5 题答图证明:(1) AB 是半圆 O 的直径, AEB90, DEB90. OC AB, AOC BOC90, BEC45, DEC45. BEC DEC,即 EC 平分 BED;(2)如答图,连结 BC, OE,在 BEC 与 DEC 中, BE DE, BEC DEC,EC EC, ) BEC DEC, CBE CDE. CDE90

8、 A ABE, ABE CBE. AOE COE, AE CE.题型四 弧长的计算例 4 如图 8, ABC 是正三角形,曲线 CDEF 叫做“正三角形的渐开线” ,其中, , ,圆心依次按 A, B, C循环,它们依次相连结若 AB1,则曲线 CDEF 的长是CD DE EF _4_(结果保留 )图 8【解析】 的长是 , 的长是 , 的长是 2,则CD 120 1180 23 DE 120 2180 43 EF 120 3180曲线 CDEF 的长是 24.23 43变式跟进6一个扇形的半径为 8 cm,弧长为 cm,则扇形的圆心角为_120_163【解析】 设扇形的圆心角为 n,根据题意

9、得 ,解得 n120,扇形的圆163 n 8180心角为 120.题型五 扇形的面积计算例 5 2016河南如图 9,在扇形 AOB 中, AOB90,以点 A 为圆心, OA 的长为半径作 交 于点 C,若 OA2,则阴影部分的面积是 OC AB 3 13图 9 例 5 答图【解析】 如答图,连结 OC, AC, OAC 是等边三角形,扇形 OBC 的圆心角是 30,阴影部分的面积等于扇形 OBC 的面积减去弓形 OC 的面积 S 扇形 OBC , S 弓形 OC30 22360 13 22 , S 阴影 .60 22360 34 23 3 13 (23 3) 3 13【点悟】 求不规则图形

10、的面积,常转化为易解决的基本图形,然后求出各图形的面积,通过面积的和差求出结果变式跟进7若扇形的半径为 3 cm,扇形的面积为 2 cm2,则该扇形的圆心角为_80_,弧长为_ _cm.43【解析】 由 2,解得 n80,由 2 l3,解得 l .n 32360 12 438如图 10,以 AB 为直径的 O 经过 AC 的中点 D, DE BC 于点 E,若 DE1, C30,则图中阴影部分的面积是 49 33图 10【解析】 C30, DE1, DEC90, DC2, OD BC, ODA30, OD OA, OAD ODA30, AOD120, OA , S 阴影 2 233 120 (

11、233)2 360 12 33 49.33题型六 圆锥例 6 2017西湖区校级三模一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 120且半径为 6 的扇形,则这个圆锥的底面半径为( B )A2 B2 C2.5 D3【解析】 设这个圆锥的底面半径为 r,根据题意,得 2 r ,解得 r2.120 6180【点悟】 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形;(2)圆锥的底面周长是其侧面展开图的弧长;(3)圆锥的母线就是其侧面展开扇形的半径变式跟进9一个圆锥的底面半径是 5 cm,其侧面展开图是圆心角为 150的扇形,则圆锥的母线长为( B )A9 cm B12 cm C15 cm D18 cm【解析】 设圆锥的母线长为

12、 l,根据题意得 25 ,解得 l12.即圆锥的母线长150 l180为 12 cm.过关训练1一个圆锥形的圣诞帽底面半径为 12 cm,母线长为 13 cm,则圣诞帽的侧面积为( B )A312 cm 2 B156 cm 2C78 cm 2 D60 cm 2【解析】 圆锥的底面周长是 12224,则圆锥的侧面积是2413156(cm 2)1222017连云港三模一个滑轮起重装置如图 1 所示,滑轮的半径是 15 cm,当重物上升15 cm 时,滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 按顺时针方向旋转的角度约为( 取 3.14,结果精确到 1)( C )图 1A115 B60C57 D29【解析】

13、根据题意得 15 ,解得 n 57, OA 绕轴心 O 按顺时针方向旋n 15180 180转的角度约为 57.3一个隧道的横截面如图 2 所示,它的形状是以点 O 为圆心,5 为半径的圆的一部分, M 是 O 中弦 CD 的中点, EM 经过圆心 O 交 O 于点 E.若 CD6,则隧道的高( ME 的长)为( D )图 2A4 B6C8 D9【解析】 M 是 O 弦 CD 的中点,根据垂径定理: EM CD,又 CD6,则有 CM CD3,12设 OM 是 x,在 Rt COM 中,有 OC2 CM2 OM2,即 523 2 x2,解得 x4, EM549.42017大庆模拟如图 3 是圆

14、内接正方形 ABCD,分别将 , , , 沿边长AB BC CD DA AB, BC, CD, DA 向内翻折,已知 BD2,则阴影部分的面积为_4_图 3【解析】 由圆内接正方形的性质知,正方形的边长等于半径的 倍,阴影部分的面积2( )2( )24.2 252016贵港如图 4,在 Rt ABC 中, C90, BAC60,将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 60后得到 ADE,若 AC1,则线段 BC 在上述旋转过程中扫过部分(阴影部分)的面积是_ _(结果保留 ) 2图 4【解析】 C90, BAC60, AC1, AB2, S 扇形 BAD , S 扇形60 22360 23CAE ,

15、则 S 阴影 S 扇形 DAB S ABC S ADE S 扇形 ACE .60 12360 6 23 6 26将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如图 5 所示,已知水杯的半径是 4 cm,水面宽度 AB 是 4 cm.3(1)求水的最大深度(即 CD)是多少?(2)求杯底有水部分的面积(阴影部分)图 5解:(1) OD AB, AB4 cm,3 BC AB 4 2 (cm),12 12 3 3在 Rt OBC 中, OB4 cm, BC2 (cm),3 OC 2(cm),OB2 BC2 42 ( 23) 2 DC OD OC422(cm)水的最大深

16、度(即 CD)是 2 cm;(2) OC2, OB4, OC OB,12 ABO30, OA OB, BAO ABO30, AOB120, S AOB ABOC 4 24 ,12 12 3 3S 扇形 OAB ,120 42360 163 S 阴影 S 扇形 S AOB cm2.(163 43)72017苏州一模如图 6,已知 Rt ABD 中, A90,将斜边 BD 绕点 B 顺时针方向旋转至 BC,使 BC AD,过点 C 作 CE BD 于点 E.(1)求证: ABD ECB;(2)若 ABD30, BE3,求 的长CD 图 6解:(1)证明: A90, CE BD, A BEC90.

17、BC AD, ADB EBC.将斜边 BD 绕点 B 顺时针方向旋转至 BC, BD BC.在 ABD 和 ECB 中, ABD ECB; ADB EBC, A BEC,BD CB, )(2) ABD ECB, AD BE3. A90, ABD30, BD2 AD6, BC AD, A ABC180, ABC90, DBC60, 的长为 2.CD 60 618082017高密模拟如图 7, AB 为圆 O 的直径, CD AB 于点 E,交圆 O 于点 D, OF AC 于点 F.(1)求证: OF BD;12(2)当 D30, BC1 时,求圆中阴影部分的面积图 7 第 8 题答图解:(1)

18、证明: OF AC, AF FC, OA OB, BC2 OF, AB CD, , BC BD, OF BD;BC BD 12(2)如答图,连结 OC,则 OC OA OB, D30, A D30, COB2 A60, AOC120, AB 为 O 的直径, ACB90,在 Rt ABC 中, BC1, AB2, AC , OF AC,3 AF CF, OA OB, OF 是 ABC 的中位线, OF BC ,12 12 S AOC ACOF ,12 12 3 12 34S 扇形 AOC OA2 ,13 3 S 阴影 S 扇形 AOC S AOC . 3 3492017河北区二模如图 8,在

19、Rt ABC 中, ABC90,点 M 是 AC 的中点,以 AB为直径作 O 分别交 AC, BM 于点 D, E.(1)求证: MD ME;(2)如图,连结 OD, OE,当 C30时,求证:四边形 ODME 是菱形图 8证明:(1)在 Rt ABC 中,点 M 是 AC 的中点, MA MB, A MBA,四边形 ABED 是圆内接四边形, ADE ABE180,而 ADE MDE180, MDE MBA.同理可得 MED A, MDE MED, MD ME;(2) C30, A60, ABM60, OAD 和 OBE 为等边三角形, BOE60, BOE A, OE AC,同理可得 O

20、D BM,四边形 DOEM 为平行四边形,而 OD OE,四边形 ODME 是菱形102017东莞校级模拟如图 9, O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别交于点E, F.(1)当 E F 时,则 ADC_90_;(2)当 A55, E30时,求 F 的度数;(3)若 E , F ,且 ,请你用含有 , 的代数式表示 A 的大小图 9解:(1) E F, DCE BCF, ADC E DCE, ABC BCF F, ADC ABC,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, ADC ABC180, ADC90;(2)在 ABE 中, A55, E30, ABE180 A E95, ADF180 ABE85,在 ADF 中, F180 ADF A40;(3) ADC180 A F, ABC180 A E,又 ADC ABC180,180 A F180 A E180,2 A E F180, A90 90 . E F2 2